人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)B版-必修5-第三章 不等式-3.3 一元二次不等式及其解法【省一等獎(jiǎng)】

不等式的解法·典型例題分析

例1

解關(guān)于x的不等式：15-ax＜10-4x．解

原式(4-a)x＜-5．當(dāng)4-a=0時(shí)，即0＜-5．x∈；例2

解關(guān)于x的不等式x2-ax-2a2＜0．解

原式(x+a)(x-2a)＜0．當(dāng)-a＞2a時(shí)，2a＜x＜-a；當(dāng)-a=2a時(shí)，x∈；當(dāng)-a＜2a時(shí)，-a＜x＜2a．綜上所述：當(dāng)a＜0時(shí)，2a＜x＜-a；當(dāng)a=0時(shí)，x∈；當(dāng)a＞0時(shí)，-a＜x＜2a．例3

關(guān)于x的不等式ax2-ax+1＜0的解集是，求a的取值范圍．解

當(dāng)a=0時(shí)，不等式為1＜0，x∈．當(dāng)a≠0時(shí)，不等式為一元二次不等式，欲使ax2-ax+1＜0的解集是空集，需使a＞0，Δ≤0．即

0＜a≤4．綜上所述0≤a≤4．例4

解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．分析

如果多項(xiàng)式f(x)可分解為n個(gè)一次式的積，則一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況．解(1)原不等式可化為x(2x+5)(x-3)＞0數(shù)軸．然后從右上開始畫曲線順次經(jīng)過(guò)三個(gè)根，其解集如圖(5-10)的陰影部分．(2)原不等式等價(jià)于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴

原不等式解集為{x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2}．說(shuō)明

用“穿根法”解不等式時(shí)應(yīng)注意：①各一次項(xiàng)中x的系數(shù)必為正；②對(duì)于偶次或奇次重根可參照(2)的解法轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如圖(5-11)．例5

解下列不等式：(1)解

原不等式等價(jià)于用“穿根法”∴

原不等式解集為(-∞，-2)∪[-1，2)∪[6，+∞)．(2x2-3x+1)(3x2-7x+2)＞0(2x-1)(x-1)(3x-1)·(x-2)＞0用“穿根法”例6

解下列不等式：觀察這個(gè)不等式組，由于要求2x2-3x-9＞x2+2x-3，同時(shí)要求x2+2x-3≥0，所以①式可以不解．如圖5-14∴x≤-3或x＞6．(2)分析

當(dāng)x+3≥0時(shí)，不等式兩邊平方，當(dāng)x+3＜0時(shí)，在由于同時(shí)滿足②、③式，所以①式免解．(3)分析

當(dāng)x-3＞0時(shí)，不等式兩邊平方，當(dāng)x-3≤0時(shí)，原式解集為．觀察不等式組，設(shè)有可以免解的不等式．如圖5-4例7

解下列不等式：(1)(x2-2x-15)＞(x+13)；(3)2(log2x)2-5(log2x)+2＜0．觀察這個(gè)不等式組，②式可以不解．∴-4＜x＜-3或5＜x＜7．(3)設(shè)t=log2x，(x＞0)原式轉(zhuǎn)化為2t2-5t+2＜0，例8

設(shè)a＞0；a≠1解關(guān)于x的不等式xlogax＜a3x2．分析

這是指數(shù)與對(duì)數(shù)的混合型不等式，可采用“取對(duì)數(shù)法”．在兩邊取對(duì)數(shù)的時(shí)候用到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，因此必須對(duì)a進(jìn)行討論后再取對(duì)數(shù)．解

當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式兩邊取對(duì)數(shù)，得logax·logax＜loga(a3x2)(logax)2＜3+2logax當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式等價(jià)于