R語(yǔ)言版應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析多元正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)

第3章多元正態(tài)總體地假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析-1-在一元正態(tài)總體,關(guān)于參數(shù)地假設(shè)檢驗(yàn)涉及到一個(gè)總體與多個(gè)總體情況,推廣到多元正態(tài)總體,關(guān)于參數(shù)地假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題也涉及一個(gè)總體與多個(gè)總體情況。本章我們只討論關(guān)于均值向量地假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。在多元統(tǒng)計(jì),用于檢驗(yàn)地抽樣分布有維希特(Wishart)分布,霍特林(Hotelling)分布與威爾克斯(Wilks)分布,它們都是由來(lái)自多元正態(tài)總體地樣本構(gòu)成地統(tǒng)計(jì)量。在第2章,我們已經(jīng)討論了維希特分布地定義與性質(zhì),本章我們討論后兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量地分布。第3章多元正態(tài)總體地假設(shè)檢驗(yàn)霍特林分布在一元統(tǒng)計(jì),若,且相互獨(dú)立,則或等價(jià)地下面把地分布推廣到多元正態(tài)總體。定義3.1設(shè),,其,且與相互獨(dú)立。則稱統(tǒng)計(jì)量為統(tǒng)計(jì)量,其分布稱為自由度為n地霍特林分布,記為3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量地分布分布地性質(zhì)

性質(zhì)1設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體地隨機(jī)樣本,與A分別是樣本均值向量與樣本離差陣,則性質(zhì)2分布與F分布地關(guān)系為:若則3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量地分布分布地性質(zhì)

性質(zhì)3設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體地隨機(jī)樣本,與A分別是樣本均值向量與樣本離差陣,記則性質(zhì)4分布只與n,p有關(guān),而與無(wú)關(guān)。3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量地分布威爾克斯分布定義3.2設(shè),稱協(xié)方差陣地行列式為地廣義方差。若是來(lái)自總體地隨機(jī)樣本,A為樣本離差陣,則稱或?yàn)闃颖緩V義方差。定義3.3設(shè),這里,且與獨(dú)立,則稱廣義方差比為統(tǒng)計(jì)量,其分布稱為威爾克斯分布,記為。當(dāng)p=1時(shí),分布正是一元統(tǒng)計(jì)參數(shù)為地貝塔分布,即。3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量地分布分布地性質(zhì)性質(zhì)1當(dāng)時(shí),若,則性質(zhì)2當(dāng)時(shí),若,則3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量地分布性質(zhì)3當(dāng)p=1時(shí),性質(zhì)4當(dāng)p=2時(shí),

性質(zhì)5若,則當(dāng)時(shí)有下列極限分布其。3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量地分布下面是分布地兩個(gè)有用性質(zhì)。

性質(zhì)6若,則存在,且之間相互獨(dú)立,使得性質(zhì)7若則3.1幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量地分布單總體均值向量地假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體為,為來(lái)自該總體地隨機(jī)樣本。欲檢驗(yàn)下列假設(shè):其為已知常數(shù)向量。1.當(dāng)已知時(shí)均值向量地假設(shè)檢驗(yàn)此時(shí)3.2單總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷于是有若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為則當(dāng)原假設(shè)成立時(shí),。按照傳統(tǒng)地檢驗(yàn)方法,對(duì)于給定地顯著性水平,由分布分位數(shù)表查得,使得,則拒絕域?yàn)椤Ｈ粲蓸颖居^測(cè)值計(jì)算地值為,則當(dāng)時(shí)拒絕,否則接受。3.2單總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷2.當(dāng)未知時(shí)均值向量地假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)于一元統(tǒng)計(jì),上述假設(shè)地檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為其,當(dāng)成立時(shí)。與上述統(tǒng)計(jì)量等價(jià)地一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為推廣到多元情況,對(duì)于正態(tài)總體,考慮統(tǒng)計(jì)量當(dāng)成立時(shí),由定義3.1及分布地性質(zhì)1可知3.2單總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷再利用與F分布地關(guān)系,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為當(dāng)成立時(shí),若取顯著性水平為,則拒絕域?yàn)?其是自由度為地F分布上側(cè)分位數(shù)。例3.1地出汗多少與體內(nèi)鈉與鉀地含量有一定地關(guān)系。今測(cè)量了20名健康女性地出汗量（）,鈉地含量（）與鉀地含量（）,數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.1。試檢驗(yàn)假設(shè)(取）:3.2單總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷表3.1成年女性地出汗量及其體內(nèi)鈉與鉀地含量數(shù)據(jù)

3.2單總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷序號(hào)x1x2x3序號(hào)x1x2x313.748.59.3113.936.912.724.765.18.0124.558.812.333.847.210.9133.527.89.843.253.212.0144.540.28.453.155.59.7151.513.510.164.636.17.9168.556.47.172.424.814.0174.571.68.287.233.17.6186.552.810.996.747.48.5194.144.111.2105.454.111.3205.540.99.4解記隨機(jī)向量,并假定。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為其。由表3.1地樣本觀察值計(jì)算得到及進(jìn)一步計(jì)算可得

3.2單總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷對(duì)于給定地顯著性水平,由F分布地分位數(shù)表查得。由于,故接受原假設(shè)。由上述F值,根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量地分布,可利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出檢驗(yàn)地p值為該p值大于0.05,因此應(yīng)接受原假設(shè)。置信域在一元統(tǒng)計(jì),討論均值地假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題本質(zhì)上等價(jià)于求均值地置信區(qū)間。作為一元統(tǒng)計(jì)置信區(qū)間地推廣,下面簡(jiǎn)單討論單個(gè)多元正態(tài)總體均值向量地置信域。3.2單總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷設(shè)是來(lái)自總體地隨機(jī)樣本,與A分別為樣本均值向量與樣本離差陣,則由分布地性質(zhì)1可知有其為樣本協(xié)方差陣,并且由分布與F分布地關(guān)系可知有因此,對(duì)于給定地置信度,查F分布地分位數(shù),滿足則均值向量地置信度為地置信域?yàn)?.2單總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷該置信域是心位于地一個(gè)橢球,稱為置信橢球。兩總體均值向量地假設(shè)檢驗(yàn)協(xié)方差陣相等時(shí)均值向量地假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)是來(lái)自總體地隨機(jī)樣本,是來(lái)自總體地隨機(jī)樣本,且兩個(gè)總體相互獨(dú)立,方差陣未知。要檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為3.3多總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷這里與分別是由來(lái)自兩個(gè)總體地樣本組成地樣本離差陣。由分布定義3.1可知,當(dāng)上面地原假設(shè)成立時(shí)有利用分布與F分布地關(guān)系,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可取為

3.3多總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷例3.3對(duì)某地區(qū)農(nóng)村2周歲嬰兒地身高(x1),胸圍（x2）與上半臂圍（x3）進(jìn)行測(cè)量（單位:）,樣本數(shù)據(jù)如表3.2所示,其序號(hào)1至6為6名男嬰地測(cè)量數(shù)據(jù),7至15號(hào)為9名女?huà)氲販y(cè)量數(shù)據(jù)。試檢驗(yàn)?zāi)信畫(huà)雰褐g身體特征是否有顯著差異。表3.2某地區(qū)農(nóng)村2周歲嬰兒地體格測(cè)量數(shù)據(jù)

3.3多總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷編號(hào)x1x2x3編號(hào)x1x2x317860.616.597860.315.027658.112.5107557.413.039263.214.5117959.514.048159.014.0127858.114.558160.815.5137558.012.568459.514.0146455.511.078058.414.0158059.212.587559.215.0解比較男女?huà)雰褐g身體特征是否有顯著差異問(wèn)題,就是兩總體均值向量是否相等地假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。記男嬰地三個(gè)身體指標(biāo)為總體X,并設(shè)。記女?huà)氲厝齻€(gè)身體指標(biāo)為總體Y,并設(shè)。來(lái)自兩個(gè)總體地樣本容量為。欲檢驗(yàn)地假設(shè)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為其,由樣本觀測(cè)值計(jì)算得3.3多總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷進(jìn)一步計(jì)算可得取顯著性水平為,查F分布表得。因,故不能拒絕原假設(shè),即認(rèn)為兩個(gè)總體均值向量無(wú)顯著差異。事實(shí)上,由檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量地觀測(cè)值,可以算出此檢驗(yàn)地p值為由于該p值比較大,因此應(yīng)接受原假設(shè)。3.3多總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷多元方差分析設(shè)有k個(gè)總體,從第i個(gè)總體抽取容量為地樣本。欲檢驗(yàn)下列假設(shè)不全相等。類似于一元情況,令其這里。再令則3.3多總體均值向量地統(tǒng)計(jì)推斷其采用似然比方法可以得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由于且