三角函數(shù)最值問題

與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題對(duì)于與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題，我們可以把函數(shù)式化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，從而利用三角函數(shù)的最值來求解下面我們分類加以說明.一、y=a+bsinx型例1 求函數(shù)y=5?3sinx的最大和最小值.v分析》根據(jù)正弦函數(shù)的最值情況來定.解:y二sinx的最大值和最小值分別是1和?1,y=5-3sinx的最大值和最小值分別是麻口2.二、y=asinx+bcosxS例2當(dāng)04x4工時(shí),求函數(shù)y=3sinx+4cos齡勺最值.2<分析>這是關(guān)于sinx?cos.由勺一次齊次式，可化成一個(gè)地的一個(gè)三角函數(shù)式.、 4，,,W-：y=3sinx+4cosx=5sin（x+0）（p是滿足tan,1的銳角）30<x<—,°Wx+°W工+伊?,.當(dāng)x+浴工時(shí)，2 —Ynax=5sin（x+。）=5sin—=5,e? 4 ?/）、 _3而e? 4 ?/）、 _3而sin°二一，sin（一+0）=cos溶一,，）5 2 5=5xi-Jmin故丫皿=5,乂而=3一a+bsinx向二、y= 型c+dsinx例3求函數(shù)y=5—3sinx的最值2+sinx，分析〉可利用反求法犀由y=--到絲得（y+3）sinx=5-2y,若y=-3矛盾,2+sinxTOC\o"1-5"\h\z, 5-2v\smx= -y+3 ,2/|sinx|<L.\sin2x<b；；；）-,<1,即3y2-26y+16<09 o解得:、力48???］喇=8,%血=牙四、y=asin2x+bcos'x型例4求函數(shù)歹=3sin'x+4cos°x的最值.（分析＞這是關(guān)于sidx、cos1的二次齊次式，可先降次.解：v解：vy=3sin2x+4cos2x=31-cos2x/1+cos2x +4 =I+lcos2x.22?“耐=4,又皿=3.五、y=a^sin2x+b?sinxcosx+c?cos'x型列5求函數(shù)y=sirr'x+2sinxcosx+3cos，x的最直解：*/y=sin2x+2sinxcosx+3cos2xl-cos2x.-3+cos2x= +sm2x+3 2 2=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+-)+24?.?丫1^=2,0，兒山=2—71.六、y=asin2x+bsinx+c型例6求函數(shù)y=2cos，-sir^x-4cosx+2,xw［二，史］的最值.;彳(分析>對(duì)「這種二次非齊次式，可以行作是可化為二次函數(shù)的函數(shù)求解.1^：vy=2cos2x-sin2x-4cosx+2=3cos2x-4cosx+1=3(cosx--)--TOC\o"1-5"\h\zpn In 1 1X/—<x<————<cosx<—,3 3 2 2?二當(dāng)x=4時(shí)，(cosx)—=-；,y.=7；3 2 4當(dāng)*=工時(shí)'(cosx)nwx=1yn.=-iX

七、y=Hsinx+cosx)+bsinxcosx型例7求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最值.(分析》注意到(sinx+cosx)1-2sinxcosx.?UjE!sinx+cosx看作是一個(gè)整體，利用換元法.箱：設(shè)sinx+cosx=t,vt=sinx+cosx=>/2sm(x+—),4TOC\o"1-5"\h\z/.-V2<r<V2 -It2=(sinx+cosxy=l+2sinxcosx,/.sinxcosx= 2_ 2代入得：y=t+^~^=-t2+t--=-(r+l)2-1,2 2 22-V2<r<V2.?.當(dāng)t=-i時(shí)，yKin=-i；當(dāng)t=/寸，丫==；+3備選例題例1設(shè)函數(shù)/(k)=J5cos^ sincoxcoscox+a(ct)>0。€H)且?guī)瑪?shù)/(x)的圖象在J軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是J6(I)求HKJ值：(n)如果(n)如果/(x)在區(qū)間3片上的最小值為力求神值.W：(I)/(x)=，cos20x+；sin2ox+豐+a=sinIcox+—I3依題意得2。?工+工二工，解之得。=1.632 2

TOC\o"1-5"\h\z(II)由(I)f(x)=sin(x+—)+—+tz3 2又當(dāng)—時(shí)，X+—G[o,—1,36 3 6故一;&sin(K+g)Wl,從何(x)在l工，2］上取得最小值」+立+a,.36J 2 2因此，由題設(shè)知一1+蟲+0=豆.22網(wǎng)2已知向量a=(2cos—,tan(-+—)),6=(V2sin(-+—),tan(—--)；2 24 24 24求函數(shù)的最大值是小正周期并寫出函數(shù)在[o.引上的單調(diào)區(qū)間.W：/(x)=ab=2\/2cos—sin(—+—)+tan(—+—)tan(--—)2 24 24 24x,x,tan—121+tan-2hB 1+tan—>AX.xyJ2 2二272cos—(——sin—+——cos—)+ -22 2 2 2i.x=2sin-cos-+2cos—1 /=sinx+cosx=V2sin(x+-).4函數(shù)的最小正周期是2〃最小值是&:該函數(shù)在區(qū)間0,-上的單調(diào)遞增在區(qū)間總爐L調(diào)遞減.4 4沖不阿股電的他由攻irt域?qū)徶品治鑫宸N不同題型的三角函數(shù)值域詳細(xì)分析題里主要對(duì)象：三角函數(shù)值域分析題型展示目的：通過多種不同題型的展示，學(xué)生能弟清晰的掌樨好三角函數(shù)中值域不同的不一樣的解法，可以對(duì)「三犯函數(shù)的值域內(nèi)容掌握I?.更加清晰。題/型/展/示題型一:/⑶?sinx.1的位域?yàn)閛/(.V)=cos(2.r-j)-Fl的值域?yàn)?M-2sin(2"少-1在區(qū)間［0⑥上的值域?yàn)?o6 2題型二：/3=而\.1的值域?yàn)?/(.V)■sin2x-2cos*x的值域?yàn)?。f(x)=cos2.v+cos2x-1的ffl域?yàn)閛題型三：/(x)=sinX?cosX的假域?yàn)?/(x).2sin.tcosx+|cos2.r的值域?yàn)椤?(x)-3sinxcosg+cos,x的值域?yàn)?翹跑四：/(X)?COJ.8S*的值域?yàn)閛/(x)?sin2x-cost的值域?yàn)椤?(.r)=cos2.x+sinx的值域?yàn)?題型五：/(*)=2sin/sin2x的最小值為?/(n)二sin2xsin2x在【乂間［0.k］上的值域?yàn)?。同學(xué)們，可以觀察五種不同題型的內(nèi)容，獨(dú)立思考各種題型的解法,感受題中題干給出內(nèi)容的不同解題方向,這對(duì)于在解答海中數(shù)學(xué)題中是一個(gè)作常的思維訓(xùn)練過程,也可以更好的完善自身對(duì)題型掌握的精準(zhǔn)度.題/型/詳/解題屈一：/(x)=$inK+1的ff(域?yàn)閛/(.t)=co$(2x-卞+1的值域?yàn)閏/⑶=2$in(2*+「-1在區(qū)間［0.上的值域?yàn)??6 2該種題型是二角函數(shù)值域題a質(zhì)甚礎(chǔ)的值域題型,借助三角函數(shù)自號(hào)的圖象,結(jié)合函數(shù)定義域進(jìn)行相應(yīng)的侑域，要準(zhǔn)備的掌握三角函數(shù)圖象的內(nèi)容ofix)=sinx+l的值域?yàn)?解析：-IS3nxsI,04sinx-l42,，/a)=sin?r+l的值域?yàn)椋?Z-/(x)=co?(2.r-I的俏域?yàn)?解析：-l，cos(2x-三)Ml,OMco§(2.”土)?lg2??二/(x)=cos(2x-三).1的值域?yàn)椋?。］。

'')/(.0=2sin(2"力-I在區(qū)間［0,3上的值域?yàn)?TOC\o"1-5"\h\z6 2解析：OS'S：,0S2xS^. + ,2 6 66-gSsin(2x4*}S1，-1S2sin(2x+*)42，-2￡2sin(2x4--)-1SI.2 6 6 6???/(x)-2sin(2x*)1的值域?yàn)?2用。對(duì)于遨II進(jìn)行詳細(xì)的分析之后，同學(xué)們要注意三角函數(shù)自。的酸小傷為負(fù)I,坡大值為正1,尤其加上區(qū)間的限制后,?定注意其最值是否經(jīng)過原函數(shù)的搔值點(diǎn)。"'，道題"，同學(xué)們定要細(xì)心；'，種題型的“題/型/詳/解題電二3/(*)二sin：x+1的優(yōu)域?yàn)椤?(.V)?sin*x-2cos:x的值域?yàn)?f(x)scos2.vicos2x-1的值域?yàn)閍該種題型是三角函數(shù)值域題型中,相對(duì)比較簡單,但容易概念并混亂的題型。卜:要借助同用正弦值的平方與余弦值的平方為I作為過渡對(duì)象.七要觀察式廣中的最高次扉為二次對(duì)象，所以其相應(yīng)的函數(shù)對(duì)象可以類比,次函數(shù)的橫式./(幻=sin、+1的值域?yàn)閛解析：0sin:x5I.I?sin'"l?2,/(x)n疝的值域?yàn)椋?,2］。/(x)=sin?^-2cos/x的值域?yàn)?。解析：由sintv+co『x=I?sin*x=I-cos'a:>/(x)?I-cos?x-2cos7x?l-3cos:x,-IScosx￡1,OScosrSI,-3&-3cos'a40,-2Sl-3cos:x^I. /(x)?sin'x-2cos‘jt的值域?yàn)椋?2J］。f(x)=cos2x.co§，*-1的值域?yàn)?解析：lllcos2x=2cos2.r-l?/(.r)=2cos:.r-Kcos2x-1=3cos:x-2,-14cos.y4I,0^cos2I?0?3co/.k43,-243co/x-2?I,-t?/(.v)=cos2x+cos2x-I的值域?yàn)椋?2J］-對(duì)于題目進(jìn)行詳細(xì)的分析之后，同學(xué)們要注意三角函數(shù)的最高次%同為二次,所以其解答方向想可以借助相應(yīng)的公式轉(zhuǎn)換，但要考慮最高次后為二次,所以可以類比一次函數(shù)分析模式，似必納結(jié)合二角函數(shù)自身的域值進(jìn)行分析解答，尤共在平方的過程要其相應(yīng)值的變化過程.題/型/詳/解展!51三：/(.v)?sinx+cos.v的位域?yàn)?/(.v)=2sinxco*+；cos2x的值域?yàn)?(*)■JSsinxcos'+co/k的俏域?yàn)橐辉摲N題型是三角函數(shù)值域題型中,相對(duì)比較復(fù)雜模式,必須借助輔助用公式，即化?公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，對(duì)廣和差公式的準(zhǔn)確便把握比較高，任公式運(yùn)用必須熟悉，再結(jié)合三角函數(shù)最值的分析.進(jìn)行題II的解答?.f(x)=sinx十cosx的值域?yàn)?TOC\o"1-5"\h\z解析：/(X)=sin,r4-co$.v=75(^^siiiN+--cos.r)=s^sinacos—?cosxsin土)=Gsin(.v4--).2 2 4 4 4-l<sin(x+-)<1.-^<\2sin(a+-)<41. /(外=§汕力+88X的值域?yàn)椋垡晃?歷。4 4sin2x+忑cos2x)/(x)=2sin.vcosx+^cas2xsin2x+忑cos2x)解析：J(x)=2sin.rcosx?-cos2x=sin2x?—cos2a=. 2 )2.vcos^+cos2xsin9(>)=—sin(2.r+^>).cos^p= ?sin^=-^?-I4sinf2x”)4I././(.v)=2sinxcosx+-cos2.v ?、■I+co52K△、■I+co52K△「I,Isin2xi ■-sin2.r^cos2x*解折：/(x)-V5sin.rcosx?cos2x-、；=sin2xcos-+cos2xsin=sin(2.v+^)4-?6 62 62-I4sin(2x「)SI, |Ssin(2x-),|S：,工/(x)-6sinxcosx*cos，x的俏域?yàn)椴?.：］、6 2 6 22 22題/型/詳/解題里四：，（用一8小又一8S.T的值打戈為./(x)=sin：X-cosX的俏域?yàn)?/(.V)=cos2.丫+sinx的俏域?yàn)樵摲N題型是三角函數(shù)值域題型中.因?次軾與二次基同時(shí)出現(xiàn),結(jié)構(gòu)模式類比二次函數(shù).結(jié)介三角函數(shù)最值的限制，利用配方法，轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的分析?？蛇m當(dāng)利用換元法，降低虺型的難境./(、)=COS'K_COST的值域?yàn)??當(dāng)/=；時(shí)，Aw(0=/<1)=-7,當(dāng)，=T時(shí),.4ue=/(T)=2.2 2 4/.〃幻=cos、一cosx的值域?yàn)椋?L2］。4/(.v)=sinx-cosx的值域?yàn)?解析：令，=co$x,sin:x=l-cos2x=l-/:?-l</<1，TOC\o"1-5"\h\z:,/(/)=|-/2-/=-(r+0+1=-(r*>2 4,當(dāng)，=-：時(shí)，當(dāng)|時(shí)，?。=/。)=-"2 2 4/。)=(：05+—85*的值域?yàn)椋?1。?/(x)=cos2x*sinx的值域?yàn)?解析：令，=$inx,cosZv=1-2sin7x=l-2/:.-1<f<1?I I o/(，)=!-2「+f=-2(/* 1--2(，?2 4 8???肖時(shí)./_(,)■/(!)二l當(dāng)s-1時(shí),7^(0=/(-1)?-2,4 4 8/(x)-cos:x-cosx的位域?yàn)椋?2,口07A種不何心里的小場故依喧訐他分折題/型/詳/解題型五：/(.V).2sin*+sin2x|Xj*$<|、值為。/(.v)=sin2xsin2x在區(qū)間［0,7］上的任(域?yàn)樵摲N題型是二角函數(shù)值域題型中,難度比較高的.因?yàn)樵瘮?shù)不具備明確的單調(diào)性,所以該種題型需要借助導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行分析.而且經(jīng)常涉及到復(fù)合求呼,對(duì)于導(dǎo)數(shù)公式的要求比較高,還要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系,分析原函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)性,從而進(jìn)行最值的分析。/(x)=2$inx*sin2x的破小值為?解析：/(x)=2sin.r4-sin2x.f(x)=2cosx2cos2x=2cosx-f2(2cos?r-1)=2(2cos'x*cos.r-l)=2(2cosx-l)(cosk?1),注意:〃x+2t)=2sin(.r+2^r)+sin2(x+2<)?2sinx+sin2x，/(x)?，(x+2”)，T=2廣.當(dāng).(-認(rèn)-9),r(o<o-/3單調(diào)遞減,當(dāng)z(-不令，r(x)>o,/co單調(diào)遞增，W|X￡q“T),<(X)<0./")單調(diào)遞派,/(-")=()./(JT)=O.，Zm?(x)=/(-。)=2sin(-；)，sin2??/(x)=sin?.vsin2.r在區(qū)間［0,*］上的值域?yàn)椤＝馕?/(x)?sin?xsin2x=sin?x-2sin.vcosx?2smxcosx.f(x)=6sin.rcosx-cost-2sinxsinx=2sin;t(3cos?x-sinx)=2sin;x(4cos?x-1)=2sin?.r(2cos.r+l)(2cosxI),、”w(0《),AxAO,/")單調(diào)遞增，八x”0,〃x)單調(diào)遞減，當(dāng)X￡(2：幻,r(x)>0，/⑸單調(diào)遞減，〃0)?0，/⑺?0，TOC\o"1-5"\h\z,/、.2*.2*3丙 /?,、乙2"、.22/T.4/r 36?/r"0二/…-sin—=—./^(x)=/(—)=sin—Mn—= —?J5s8 J專JS要點(diǎn)L三個(gè)初等由數(shù)的值域函數(shù))=SIILVCOSTUnix定義城RRi.r1.r#kTT+*、kgrL\值城[-1J][-IJ]R.求三角函數(shù)的值收或最侑應(yīng)結(jié)合用數(shù)的圖像、周期、單調(diào)性..求三為函數(shù)的值岐或最值一般情況下先化箭整理.H整理Hk為(Dy=A3n<，”%+*)+BV：②y=/(sinx)型.輔助角公式asinx+bconJ^H^sim》*。).(DOun@=—-V?2^b2iasinx+AcosxS eR.利用導(dǎo)數(shù)求二角函數(shù)的值域和總值.asinx+6ucosx+dV.(I)轉(zhuǎn)化為4$inx+8cosx=C型.(2)利用直線的斜率求解.7.求一角函數(shù)侑域或最值肘應(yīng)注意運(yùn)用換元法.將發(fā)雜由數(shù)豺化為簡維南也il5!-：形如p="$inx+b(Dacosx+b)型I.已知歹=asinx+AxwR,檸由故的最大位為3,破小值為-1,求。,〃的值.M：因?yàn)???xwR.，sinxw[-l.l]t+/>?3 fa?2,??解得L.i+ft=-l [6=1②0a<0,由超意可得卜:?罅得匕/。+人=-1ft=1總結(jié)：利用的索故的色域確定參數(shù)的(ft.注意對(duì)字母的付論

SVZr形如F=osin'K?分5inx-cP?配方埼求二次雨也的最依?應(yīng)注意卜inx|4l的約束./(x)?2cos2jr+sin.v+2,.v€M：/(x)?-coslvf2sinx+2=-sin2=-sin2x+2sinx+：?=Sinx.所以，￡彳」所以.y=-產(chǎn)+力+gj€plj.站介二次南數(shù)小調(diào)性.知齡大值為，破小值為總結(jié)，由于題11中的不足同名三角的數(shù).也不是同用三角所以H標(biāo)是也化力同名同角的三角南皎,sinx=Jl-cos2Hco32x=l-2§in'x進(jìn)行H化?因?yàn)檫x擇后者變形公出現(xiàn)二次函數(shù)形式.故只需換元就可以進(jìn)行3決.另外應(yīng)注意卜in]41的內(nèi)束3slplx形如y="(sinx+co$x)，/>sinx*cosx+r甲.求函數(shù)，(x)=(sinx-2Xcos-2)的最人值,星小值加：由已知/(x)=sinxcos-2(sinx+cosx)*4令，=令，=sinx4cosx=△$in(x?：)w[-VL0]所以W 為M足數(shù)當(dāng)，=-V7時(shí),取最大值>—=:+2無節(jié)，=a時(shí),取顯小價(jià)j—=g-20總結(jié)b履開出現(xiàn)sinx48sx,sinx>8sx,常用換元法令，=sinx+8s”€也形如^=四*（0空空心）型csinx^d acosx^d

CCS1- 的仇域2cos1+14求函數(shù)了穌法二*由y=53"=j可用(1-2p)cosx胃y2然依在!4求函數(shù)了:.cosx=——//|cosx|<L.\|cosx|2<Il-2y/ I/-(J)/41=>3y2-4p+120ny4§或^1故函數(shù)的伙域?yàn)?R*卜”1七0總結(jié)g梁陽分四常Ift法（注意三角曲教的行界件）或反XHlsinx.化町為卜而工|41解決足這類P的常用方法.問an叫$.《電ft.為宗器的法籟解法一：又椀??到41??.41,?.(3-2才4./.[?--ysinx+cosx=3-2p,即sin(x+3)又椀??到41??.41,?.(3-2才4./.[???3/?12/*840=2-平342+平故函數(shù)的值域?yàn)椴?芋,2+￥]解法二，

2-(-sinx) 毛一玉可舜函數(shù)我示定點(diǎn)用給)的斜續(xù)▼、故土3求料率的取依范用因?yàn)辄c(diǎn)P在單代即￡+./=1設(shè)過定點(diǎn)Ai&3) j，=k(x-2)?3由兒錢與例的位置關(guān)系可得="cFm=k.故以函數(shù)的值域?yàn)椋?-題也五？轉(zhuǎn)化為y=4$in(s+/)+B511、(2013年高M(jìn)晟西點(diǎn)(JT))已知向星。H(cosN,-!),b,(JIsinKcoslrhxw火，改函數(shù)/Xx”06(I)求八外的最小正周虬(II)求，(幻研O.g匕的最大值和最小值.TOC\o"1-5"\h\zW：(I)f(x)-ab=cos.r?sinx--cos2x=—sin2.v--cosiv=sin(2x--).2 2 2 6所以/00=§