2023屆北京市房山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題

2023屆北京市房山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接求并集得到答案.【詳解】集合，則.故選：C2．在的展開式中，的系數(shù)是（

）A． B．8 C． D．4【答案】A【分析】直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，取，則，系數(shù)為.故選：A3．已知數(shù)列對(duì)任意滿足，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)列遞推公式依次計(jì)算，，，，即可得答案.【詳解】由題意可得，，，，.故選：D4．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，，滿足，充分性，取計(jì)算得到不必要性，得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足，充分性；取，滿足，不滿足，不必要性.故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線的定義，將拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，列方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，由題意，設(shè)，，，，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，故選：D6．已知直線與圓相交于M，N的最小值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】C【分析】先求出圓心和半徑，以及直線的定點(diǎn)，利用圓的幾何特征可得到當(dāng)時(shí)，最小【詳解】由圓的方程，可知圓心，半徑，直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，則定點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)和圓心連線的長(zhǎng)度為，當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)，由圓的弦長(zhǎng)公式可得，故選：C7．已知函數(shù)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有；②對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有.則函數(shù)的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有，故函數(shù)為奇函數(shù)；對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，即，即，，故函數(shù)單調(diào)遞減.對(duì)選項(xiàng)A：?jiǎn)握{(diào)遞增，不滿足；對(duì)選項(xiàng)B：?jiǎn)握{(diào)遞減，且函數(shù)為奇函數(shù)，滿足；對(duì)選項(xiàng)C：?jiǎn)握{(diào)遞增，不滿足；對(duì)選項(xiàng)D：不是奇函數(shù)，不滿足.故選：B8．在中，，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出點(diǎn)的軌跡為圓，再由平面向量的平行四邊形法則得出，的最大值即圓心到定點(diǎn)的距離加上半徑，代入化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】由題意，可得，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，取的中點(diǎn)，則，所以，故選：D，當(dāng)血氧飽和度低于時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達(dá)到，則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（

）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：） 【答案】B【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時(shí)間t的方程，解之即可求得給氧時(shí)間至少還需要的小時(shí)數(shù).【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要小時(shí)，由題意可得，，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)并整理，得，，則，則給氧時(shí)間至少還需要小時(shí)故選：B10．如圖，已知正方體，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．與三條直線所成的角都相等的直線有且僅有一條B．與三條直線所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)C．到三條直線的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個(gè)D．到三條直線的距離都相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)【答案】D【分析】所成的角都相等的直線有無數(shù)條，A錯(cuò)誤，成的角相等的平面有無數(shù)個(gè)，B錯(cuò)誤，距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤，D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：根據(jù)對(duì)稱性知與三條直線的夾角相等，則與平行的直線都滿足條件，有無數(shù)條，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：根據(jù)對(duì)稱性知平面與三條直線所成的角相等，則與平面平行的平面都滿足條件，有無數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，，，上一點(diǎn)，則，，，點(diǎn)到直線的距離為，同理可得到直線和的距離為，故上的點(diǎn)到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：上的點(diǎn)到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個(gè)，正確；故選：D二、填空題11．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則_________.【答案】##【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以.故答案為：12．能夠說明“設(shè)是任意實(shí)數(shù)，若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為__________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，討論的正負(fù)和三種情況，得出結(jié)論．【詳解】若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；“設(shè)是任意實(shí)數(shù)，若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為，故答案為：（答案不唯一）13．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線C的離心率為__________.【答案】2【分析】由題意求出雙曲線的漸近線方程，則，由代入即可得出答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,所以，所以雙曲線C的離心率為.故答案為：2.三、雙空題14．在中，，則__________；的值為__________.【答案】

##

【分析】化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)正弦定理得到，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，，故，，；，則，即，，，則，，.故答案為：；四、填空題15．設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②，方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；③，使得；④若實(shí)數(shù)，且.則的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】②③④【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象對(duì)四個(gè)結(jié)論依次分析，即可求解結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，其圖象如下圖所示：對(duì)于①，由圖可知，函數(shù)的值域不是，故①不正確；對(duì)于②，由圖可知，，方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，使得有成立，即與有交點(diǎn)，這顯然成立，故③正確；對(duì)于④，不妨設(shè)互不相等的實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)滿足時(shí)，由圖可知，即，，即，所以，由圖可知，，而在上單調(diào)遞減，所以，所以，則的最大值為，故④正確.故答案為：②③④.五、解答題16．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求值；，求的單調(diào)增區(qū)間.條件①：是偶函數(shù)；條件②：圖象過點(diǎn)；條件③：圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)周期公式，即可求解；（2）分別選擇條件，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，代入公式，即可求解.【詳解】（1）由條件可知，，解得：；（2）由（1）可知，，若選擇條件①：是偶函數(shù)，所以，即，所以，，令,解得：,所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，若選擇條件②：圖象過點(diǎn)，，，則，即，所以，所以，所以令，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.如選擇條件③：圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，，，，所以，所以令，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.17．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點(diǎn).(1)求證：平面PBD；(2)求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距離.【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定定理和性質(zhì)、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，M為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以，所以，所以，而，即，因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，而平面PBD，所以平面PBD；（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)橐驗(yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD的法向量為，設(shè)平面APM的法向量為，，，于是有，平面ABCD與平面APM所成角的余弦值為；（3）由（2）可知平面APM的法向量為，，所以D到平面APM的距離為18．某社區(qū)組織了一次公益講座.向社區(qū)居民普及垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民.讓他們?cè)谥v座前和講座后分別回答一份垃圾分類知識(shí)向卷.這10位社區(qū)居民的講座前和講座后答卷的正確率如下表：1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)7號(hào)8號(hào)9號(hào)10號(hào)講座前講座后的概率；(2)從正確率不低于的垃圾分類知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取3份，記隨機(jī)變量XX的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)判斷此次公益講座的宣傳效果.并說明你的理由.【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(3)答案見解析【分析】（1）共10份書卷，準(zhǔn)確率低于有份，計(jì)算概率即可.（2）的取值可能是，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.（3）講座前的平均準(zhǔn)確率為，講座后的平均準(zhǔn)確率為，提升明顯，得到答案.【詳解】（1）共10份書卷，準(zhǔn)確率低于有份，故概率為；（2）正確率不低于的垃圾分類知識(shí)答卷中，講座前有2份，講座后有5份，的取值可能是，；；.故X的分布列為：故數(shù)學(xué)期望為.（3）此次公益講座的宣傳效果很好，講座前的平均準(zhǔn)確率為：；講座后的平均準(zhǔn)確率為：；平均準(zhǔn)確率明顯提高，故此次公益講座的宣傳效果很好.19．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與橢圓E相切，過點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓過點(diǎn)，得到，再由橢圓的離心率為，求出的值，從而求到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)直線的斜率為0、斜率不存在及斜率存在且不為0三種情況討論，從而求出，得到結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又，，所以，得到，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，消去并整理，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等的根，，化簡(jiǎn)整理得因?yàn)橹本€與垂直，所以直線的方程為，聯(lián)立得，解得，，所以把代入上式得，，所以，為定值；當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線，過點(diǎn)作直線的垂線，則垂線方程為，此時(shí)或，，為定值；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，過點(diǎn)作直線的垂線，則垂線方程為，此時(shí)或，，為定值；綜上所述，，為定值.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上無解.【答案】(1)(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可求得切線方程；（2）根據(jù)可求出，并對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解；（3）分和兩種情況，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值即可作答.【詳解】（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，，在點(diǎn)處的切線方程為；（2）因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得，檢驗(yàn)如下：令，解得或，若或時(shí)，則；若，則.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，故在處取得極小值，滿足題意，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）由（1）知，由時(shí)，得，因，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，因此不等式不成立，即不等式在區(qū)間上無解；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，于是得在上的最大值為或，而，，，即，因此不等式不成立，即不等式在區(qū)間上無解，所以當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解.21．如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.(1)判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”.且任意項(xiàng)，，求正整數(shù)k的最大值；(3)已知項(xiàng)數(shù)為（）的數(shù)列是“速增數(shù)列”，且的所有項(xiàng)的和等于k，若，，證明：