2023屆河南省普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆河南省普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式求得集合A，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意得，∵，∴，故選：D．2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，由條件列方程求，再由復(fù)數(shù)的模的公式求.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所以，，所以，，所以，故選：C.3．某省普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績(jī)根據(jù)學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分?jǐn)?shù)，由高到低進(jìn)行排序，評(píng)定為五個(gè)等級(jí).某高中2022年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2020年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平，統(tǒng)計(jì)了該校2020年和2022年“選擇考”成績(jī)等級(jí)結(jié)果，得到如下統(tǒng)計(jì)圖.針對(duì)該校“選擇考”情況，2022年與2020年比較，下列說法正確的是（

）A．獲得A等級(jí)的人數(shù)減少了 B．獲得BC．獲得D等級(jí)的人數(shù)減少了一半 D．獲得E等級(jí)的人數(shù)相同【答案】B【分析】設(shè)2020年參加選擇考的總?cè)藬?shù)為a，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算出這兩年的每個(gè)等級(jí)的人數(shù)，進(jìn)行比較，可得答案.【詳解】由題可知：設(shè)2020年參加選擇考的總?cè)藬?shù)為a，則2022年參加選擇考的總?cè)藬?shù)為2a人；2020年評(píng)定為五個(gè)等級(jí)的人數(shù)為：；2022年評(píng)定為五個(gè)等級(jí)的人數(shù)為∶；由此可知獲得A等級(jí)的人數(shù)增加了，A錯(cuò)誤；由于，即獲得B等級(jí)的人數(shù)增加了1.5倍，B正確；獲得D等級(jí)的人數(shù)增加了，C錯(cuò)誤；獲得E等級(jí)的人數(shù)增加了1倍，D錯(cuò)誤；故選∶B．4．若向量，滿足，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)模進(jìn)行平方可得到，然后可算出，接著利用夾角公式即可求解【詳解】因?yàn)?，所以即，所以，所以，所以，因?yàn)椋怨蔬x：A5．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【分析】首先將函數(shù)利用輔助角公式化成一個(gè)三角函數(shù)，再根據(jù)平移規(guī)則求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以只需將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.故選：A.6．已知函數(shù)且，則（

）A．-16 B．16 C．26 D．27【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C7．過圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，則連接兩切點(diǎn)線段的長(zhǎng)為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，確定動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)切點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形形狀，求出切線長(zhǎng)即可作答.【詳解】令點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，如圖，則，而，于是，又，因此為正三角形，，所以連接兩切點(diǎn)線段的長(zhǎng)為.故選：D8．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出，再將切點(diǎn)代入切線方程，即可求出；【詳解】解：，，∴，∴．將代入得，∴．故選：C．9．某中學(xué)堅(jiān)持“五育”并舉，全面推進(jìn)素質(zhì)教育.為了更好地增強(qiáng)學(xué)生們的身體素質(zhì)，校長(zhǎng)帶領(lǐng)同學(xué)們一起做俯臥撐鍛煉.鍛煉是否達(dá)到中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)單測(cè)量方法為，其中為運(yùn)動(dòng)后心率（單位：次/分）與正常時(shí)心率的比值，介于之間，則達(dá)到了中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)；若低于28，則運(yùn)動(dòng)不足；若高于34，則運(yùn)動(dòng)過量.已知某同學(xué)正常時(shí)心率為80，體質(zhì)健康系數(shù)，經(jīng)過俯臥撐后心率（單位：次/分）滿足，為俯臥撐個(gè)數(shù).已知俯臥撐每組12個(gè)，若該同學(xué)要達(dá)到中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)，則較合適的俯臥撐組數(shù)為（

）（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】設(shè)俯臥撐組數(shù)為組，根據(jù)題目所給函數(shù)解析式求出運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度，解不等式求解即可.【詳解】由題意，設(shè)俯臥撐組數(shù)為組，則，所以，所以，所以，，因?yàn)?，且，所?故選：B10．已知點(diǎn)是拋物線C：的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線C于不同的兩點(diǎn)M，N，設(shè)，點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn)，則Q到x軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的拋物線，設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，利用求出點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)和即可求解作答.【詳解】依題意，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，由得：，解得，，因此點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，所以Q到x軸的距離為.故選：B11．如圖，在正方體中，M，N分別為AC，的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（

）A．平面B．C．直線MN與平面ABCD所成的角為60°D．異面直線MN與所成的角為45°【答案】C【分析】取棱中點(diǎn)，利用線面平行的判定推理判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷B；求出線面角、線線角判斷CD作答.【詳解】在正方體中，取棱中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸，N分別為AC，的中點(diǎn)，則，因此四邊形為平行四邊形，則平面，平面，所以平面，A正確；因?yàn)槠矫?，則，所以，B正確；顯然平面，則是與平面所成的角，又，有，由于，所以直線MN與平面ABCD所成的角為，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，則是異面直線MN與所成的角，顯然，D正確.故選：C12．實(shí)數(shù)x，y，z分別滿足，，，則x，y，z的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知即，，，構(gòu)選函數(shù)確定其在上單調(diào)遞減，可得，又設(shè)，其在上單調(diào)遞增，所以得．【詳解】解：由已知得，，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因此，即所以，；又設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因此，所以，則；綜上得.故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小主要方法有：1.通過找中間值比較大小，要比較的兩個(gè)或者三個(gè)數(shù)之間沒有明顯的聯(lián)系，這個(gè)時(shí)候我們就可以通過引入一個(gè)常數(shù)作為過渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到他們之間的大小關(guān)系.2.通過構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個(gè)數(shù)之間可以看成某個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們只要構(gòu)造出函數(shù)，然后找到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性就可以通過自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而找到要比較的數(shù)的大小關(guān)系.有些時(shí)候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過放縮法進(jìn)一步縮小范圍.二、填空題13．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為10，則數(shù)據(jù)的方差為_________.【答案】900【分析】設(shè)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則有，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而可得答案.【詳解】解：設(shè)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則，設(shè)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則有，所以，所以.故答案為：14．設(shè)命題：，.若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)是假命題，得到是真命題，利用恒成立求解.【詳解】解：因?yàn)槭羌倜}，所以是真命題，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：15．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，，且的面積為，則內(nèi)切圓的半徑為_________.【答案】##【分析】根據(jù)余弦定理、三角形面積公式、三角形內(nèi)切圓半徑公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，由余弦定理可知，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則有，故答案為：16．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng).如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，滿足，平面ABC，，若的面積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為_________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的外接球球心，用線段長(zhǎng)表示出球半徑，再借助均值不等式求解作答.【詳解】在三棱錐中，因?yàn)槠矫鍭BC，平面，則，而，平面，因此平面，又平面，于是，取中點(diǎn)，連接，從而，即點(diǎn)是三棱錐的外接球球心，如圖，球半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此三棱錐的外接球表面積，所以制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再求出球的半徑即可.三、解答題17．現(xiàn)在常?？梢钥吹饺藗?cè)谧呗贰⒊燥埢虺塑嚂r(shí)低著頭玩手機(jī)，長(zhǎng)期下來，就很容易使頸椎損傷，患上頸椎病.某學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“長(zhǎng)期使用智能手機(jī)對(duì)頸椎病的影響”，隨機(jī)選取了100名手機(jī)用戶得到部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，約定日使用手機(jī)時(shí)間超過4小時(shí)為“頻繁使用手機(jī)”.已知“頻繁使用手機(jī)”的人數(shù)比“非頻繁使用手機(jī)”的人數(shù)少24人.非頻繁使用手機(jī)頻繁使用手機(jī)合計(jì)頸椎病人數(shù)8非頸椎病人數(shù)16合計(jì)100(1)求表中p，q的值，并補(bǔ)全表中所缺數(shù)據(jù)；(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“頻繁使用手機(jī)”對(duì)頸椎病有影響.附：，其中.【答案】(1)，，補(bǔ)全表中所缺數(shù)據(jù)見解析.(2)有的把握認(rèn)為頻繁使用手機(jī)對(duì)頸椎病有影響?！痉治觥浚?）頻繁使用手機(jī)的人數(shù)比非頻繁使用手機(jī)的人數(shù)少24人，且樣本容量為100，可計(jì)算出頻繁使用手機(jī)的人數(shù)和非頻繁使用手機(jī)的人數(shù)，則可求表中p，q的值，可補(bǔ)全表中所缺數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表計(jì)算，與臨界值比較后下結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)轭l繁使用手機(jī)的人數(shù)比非頻繁使用手機(jī)的人數(shù)少24人，而頻繁使用手機(jī)的人數(shù)與非頻繁使用手機(jī)的人數(shù)之和為100，所以頻繁使用手機(jī)的人數(shù)為38，非頻繁使用手機(jī)的人數(shù)為62，所以，，補(bǔ)全表中所缺數(shù)據(jù)如下：非頻繁使用手機(jī)頻繁使用手機(jī)合計(jì)頸椎病人數(shù)82230非頸椎病人數(shù)541670合計(jì)6238100（2）根據(jù)題意計(jì)算觀測(cè)值為，所以有的把握認(rèn)為頻繁使用手機(jī)對(duì)頸椎病有影響.18．如圖，是棱長(zhǎng)為2的正方體，E是的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用正方形性質(zhì)和線面垂直的判定得，，再利用線面垂直的判定即可；（2）設(shè)與交于點(diǎn),連接，首先證明平面，再利用頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化法即可求出三棱錐體積.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫?所以.在正方體中,平面,又平面,所以.又平面平面,所以平面.又平面,所以.（2）設(shè)與交于點(diǎn),連接，在正方體中,且，又,分別是的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面,平面.又正方體的棱長(zhǎng)為2，19．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)若___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并對(duì)其求解.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)，；(2)見解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式即可得到關(guān)于的方程組，解出即可；（2）選①則，利用乘公比錯(cuò)位相減法即可求出；選①則，則用裂項(xiàng)相消法即可求出；選③則，分奇偶討論即可求出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，則，,解得，所以.（2）選①：由（1）知,,所以,.兩式相減得:所以.選②：由（1）,所以.選③：由（1）,則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以.20．設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】(1)答案見解析；(2)有一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出的單調(diào)性作答.（2）把代入求出，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，若，由得或，由得，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，由得或，由得，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則存在唯一使得，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，，而當(dāng)時(shí)，，于是在上無零點(diǎn)，因?yàn)?，因此在上有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可以利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.21．設(shè)橢圓：的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，橢圓的離心率和雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過定點(diǎn)的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合）.證明：直線AC，BD的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）直接求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)得到值，再結(jié)合雙曲線離心率即可求出橢圓的離心率，則可求出橢圓方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，寫出直線,的方程，聯(lián)立直線方程解出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，將以及韋達(dá)定理式代入化簡(jiǎn)計(jì)算為定值.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為,所以橢圓的半焦距.又因?yàn)殡p曲線的離心率是,所以橢圓的離心率，從而,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可得.若過點(diǎn)的直線方程為時(shí)，此時(shí)與橢圓交點(diǎn)為點(diǎn)，不合題意，故可設(shè)過點(diǎn)的直線為,設(shè)，聯(lián)立，整理得.則，，，則直線AC的斜率，直線BD的斜率則直線的方程為，直線的方程為,聯(lián)立兩條直線方程,解得，將代人上式，得，將代人,得，所以直線,的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵在