2023屆陜西省榆林市高三上學期一模數(shù)學（文）試題

2023屆陜西省榆林市高三上學期一模數(shù)學（文）試題一、單選題1．復數(shù)在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)乘法運算計算出即可得出結果.【詳解】因為，可知復數(shù)在復平面內對應的點為，所以在復平面內對應的點位于第四象限.故選：D2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對數(shù)型函數(shù)定義域和一元一次不等式解法可求得集合，再進行集合基本運算即可求得結果.【詳解】由函數(shù)可得，即，所以；易得，所以.故選：C3．若為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關鍵逐項判斷即可【詳解】解：對于A，若，則或，故A不正確；對于B，若，則或，故B不正確；對于C，若，則或，故C不正確；對于D，若，則，故D正確.故選：D.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正切公式計算即可求解.【詳解】由，解得.故選：A.5．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得，從而可得的值，再利用切點在曲線也在切線上，可得的值，即可求得答案.【詳解】解：因為，所以.又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，故.故選：B.6．為了解市民的生活幸福指數(shù)，某組織隨機選取了部分市民參與問卷調查，將他們的生活幸福指數(shù)（滿分100分）按照分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，估計市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為（

）A．70 B． C． D．60【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖所有小長方形面積是1可得，根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得結果.【詳解】由題意可得，解得.因為成績在的頻率為，成績在的頻率為，故市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)在內.設市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為，則，解得.故選：C7．如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過拋物線的設計元素賦予了這座建筑輕盈?的一部分，為拋物線上一點，為拋物線的焦點，若，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】寫出焦點坐標，設，由得出點坐標，根據(jù)焦半徑公式得，再由求得．【詳解】由題意知，設，則，由拋物線的幾何性質知，則，所以，所以，解得.故選：A．8．的內角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦、余弦定理可得，結合即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得.又，所以.因為，所以，故.故選：A.9．在平行四邊形中，，則（

）A．4 B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，以向量為基底分別表示出向量，再利用向量數(shù)量積公式即可求得結果.【詳解】如下圖所示：在平行四邊形中，因為，所以，因此.又，所以，故.故選：B10．已知四面體外接球的球心與正三角形外接圓的圓心重合，若該四面體體積的最大值為，則該四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四面體的幾何特征可知，當平面時該四面體的體積最大，計算可得外接球半徑即求出外接球的體積.【詳解】設球的半徑為，可得.當平面時，四面體的體積最大，此時，即，得，則該四面體外接球的體積.故選：B11．已知，函數(shù)在上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合正弦函數(shù)的圖象性質，由于在上恰有3個極大值點，則可列不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】解：，因為在上恰有3個極大值點，由，得，又函數(shù)的極大值點滿足，所以，解得.故選：C.12．已知，則下列結論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)得出其單調性，則結合已知得出，即，即可得出.【詳解】構造函數(shù)，則，故在上單調遞增.因為，所以，故.故選：D.二、填空題13．設滿足約束條件，則的最小值為__________.【答案】【分析】根據(jù)線性規(guī)劃的求解過程畫出可行域，得出的大小與什么有關，即可平移或旋轉目標直線得出答案.【詳解】根據(jù)已知畫出可行域，如圖紅色部分，變形為，即是斜率為的與可行域相交的直線的截距，由圖可知，要使截距在可行域最小，需過直線與的交點，聯(lián)立與，解得，代入得出取得最小值為.故答案為：.14．自然對數(shù)的底數(shù)，也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學中重要的常數(shù)之一，和一樣是無限不循環(huán)小數(shù)，的近似值約為.若從歐拉數(shù)的前4位數(shù)字中任選2個，則至少有1個偶數(shù)被選中的概率為__________.【答案】【分析】可以列舉出從前4位數(shù)字中任選2個所有的可能結果，再選出至少有1個偶數(shù)被選中的總數(shù)，即可求得結果.【詳解】由題可知，總的事件包括這6種情況，至少有1個偶數(shù)被選中的事件包括這5種情況，故所求的概率為.故答案為：15．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且的圖象關于點對稱，則關于的不等式的解集為__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調性和對稱性以及不等式的特征，可構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性和奇偶性即可解出不等式.【詳解】令函數(shù)，因為的圖象關于點對稱，所以的圖象關于原點對稱，故是定義在上的奇函數(shù)；因為是定義在上的增函數(shù)，所以也是定義在上的增函數(shù)，由，得，則，則，解得，故不等式的解集為.故答案為：16．已知雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線相交于兩點，點，以為直徑的圓與相交于兩點，若為線段的中點，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關系確定交點坐標關系，利用直線和圓的幾何性質，即可求得的長.【詳解】解：如圖，由題可知，的坐標為，設，聯(lián)立方程組，可得，則，.因為為線段的中點，所以的坐標為.又以為直徑的圓與相交于兩點，所以，所以，解得，又，所以，所以，故.故答案為：2.三、解答題17．第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾正式拉開序幕，這是歷史上首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽.某市為了解高中生是否關注世界杯足球賽與性別的關系，隨機對該市50名高中生進行了問卷調查，得到如下列聯(lián)表.關注不關注合計男高中生4女高中生14合計已知在這50名高中生中隨機抽取1人，抽到關注世界杯足球賽的高中生的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有的把握認為該市高中生是否關注世界杯足球賽與性別有關.附：，其中.【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)沒有【分析】（1）根據(jù)已知得出世界杯足球賽的高中生人數(shù)，不關注世界杯足球賽的高中生人數(shù)，即可完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)已知公式得出，查表即可得出答案.【詳解】（1）由題可知，關注世界杯足球賽的高中生有人，不關注世界杯足球賽的高中生有人.故完成的列聯(lián)表如下：關注不關注合計男高中生26430女高中生14620合計401050（2），因為，所以沒有的把握認為該市高中生是否關注世界杯足球賽與性別有關.18．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和之間的關系式可得，再利用累乘即可求得的通項公式；（2）寫出數(shù)列的通項公式利用裂項求和即可得出結果.【詳解】（1）當時，，解得.當時，由，得，兩式相減得，即，利用累乘可得，即，因為，所以；所以的通項公式為.（2）由（1）可知，裂項可得，則.所以數(shù)列的前項和19．如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：；(2)求點A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，證明平面，得線線垂直；（2）利用體積法求點面距：．【詳解】（1）取的中點，連接.因為，所以.又，所以.又，所以為正三角形，所以.因為，且在平面內，所以平面.又平面，所以.（2）因為，所以.又，所以，則.由，得，故，連接，則.因為平面底面，平面，所以平面，則連接.因為，所以，在中，到的距離，則.設點A到平面的距離為，由，得，解得，即點到平面的距離為.20．已知是橢圓的一個頂點，圓經過的一個頂點.(1)求的方程；(2)若直線與相交于兩點（異于點），記直線與直線的斜率分別為，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意確定的值，即可求得答案；（2）設，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)關系，結合化簡求值，可得k的值，驗證即得答案.【詳解】（1）因為是的一個頂點，所以.又圓與坐標軸交于兩點，圓經過的一個頂點,則頂點為，故，故的方程為.（2）設，聯(lián)立方程組，消去整理得，，則，，因為，所以，整理得，則，則，即，解得或，當時，在上，不符合題意，時，符合題意，故.【點睛】方法點睛：解答關于直線和圓錐曲線的位置關系的問題時，一般方法是聯(lián)立方程，結合根與系數(shù)的關系進行化簡，要注意的是化簡過程計算量較大，比較復雜，要注意計算準確.21．已知函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若，且當時，，求的最大值.【答案】(1)單調遞減區(qū)間為和，單調遞增區(qū)間為(2)2【分析】（1）得出函數(shù)定義域，求導得出導數(shù)大于小于零即可得出答案；（2）當時，，等價于當時，，令函數(shù)，求導得出，無法確定單調性，則再令函數(shù)，求導得出，即在上單調遞增，根據(jù)，設，，則當時，單調遞減，當時，單調遞增，則，即可得出答案.【詳解】（1）的定義域為，，由，得或，若，則，當時，，當時，，故的單調遞減區(qū)間為和，單調遞增區(qū)間為.（2）因為，所以等價于，令函數(shù)，則，令函數(shù)，則，則在上單調遞增.因為，所以，即，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以.故的最大值為2.22．在直角坐標系中，已知點，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程；(2)若與交于兩點，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用消參法即可得到的普通方程為，根據(jù)即可得到的直角坐標方程.（2）首先設出的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，再根據(jù)直線的參數(shù)方程的幾何性質求解即可.【詳解】（1）消去參數(shù)，得到的普通方程為.由，得.因為所以的直角坐標方程為.（2）由題可知，點在上，故的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入