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高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第十一章數(shù)學(xué)歸納法課件第1頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第十一章復(fù)數(shù)、算法、推理與證明第5節(jié)數(shù)學(xué)歸納法第2頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.第3頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四[要點(diǎn)梳理]數(shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立,推出當(dāng)__________時(shí)命題也成立.n=k+1第4頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.質(zhì)疑探究:數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系?提示:數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想,第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩個(gè)步驟缺一不可,否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.(1)第一步中,驗(yàn)算n=n0中的n0不一定為1,根據(jù)題目要求,有時(shí)可為2或3等.(2)第二步中,證明n=k+1時(shí)命題成立的過程中,一定要用到歸納假設(shè),掌握“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”的技巧.第5頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四[解析]
觀察等式左邊的特征易知選C.[答案]
C第6頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第7頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第8頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四[解析]
從n到n2共有n2-n+1個(gè)數(shù),所以f(n)中共有n2-n+1項(xiàng).[答案]
D第9頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四4.凸k邊形內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和為f(k+1)=f(k)+________.[解析]
易得f(k+1)=f(k)+π.[答案]
π第10頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第11頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四[典例透析]第12頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第13頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第14頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.綜合(1)(2)知對一切n∈N*
,等式都成立.拓展提高
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型,其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是幾;(2)由n=k到n=k+1時(shí),除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n=k時(shí)的式子,即充分利用假設(shè),正確寫出歸納證明的步驟,從而使問題得以證明.第15頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第16頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第17頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四思路點(diǎn)撥利用假設(shè)后,要注意不等式的放大和縮小.第18頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第19頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第20頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四拓展提高(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進(jìn)行證明;二是給出兩個(gè)式子,按要求比較它們的大小,對第二類形式往往要先對n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤,最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論,常用數(shù)學(xué)歸納法證明.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k時(shí)成立得n=k+1時(shí)成立,主要方法有①放縮法;②利用均值不等式法;③作差比較法等.第21頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第22頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第23頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四考向三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題例3
用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+2能被13整除,其中n為正整數(shù).思路點(diǎn)撥當(dāng)n=k+1時(shí),把42(k+1)+1+3k+3配湊成42k+1+3k+2的形式是解題的關(guān)鍵.第24頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第25頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第26頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四拓展提高用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,P(k)?P(k+1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn),找出它們之間的差異,然后將P(k+1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式,也可運(yùn)用結(jié)論:“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除?P(k+1)能被p整除.”第27頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四活學(xué)活用3已知n為正整數(shù),a∈Z,用數(shù)學(xué)歸納法證明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.[證明]
(1)當(dāng)n=1時(shí),an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.(2)假設(shè)n=k時(shí),ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]+ak+2-ak+1(a+1)2第28頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第29頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四思路點(diǎn)撥關(guān)鍵是搞清n=k到n=k+1時(shí)對角線增加的條數(shù),看頂點(diǎn)的變化可知對角線的變化從而可解.第30頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第31頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四拓展提高用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”,即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí),所證的幾何量將增加多少,這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析;事實(shí)上,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧.活學(xué)活用4平面上有n個(gè)圓,每兩圓交于兩點(diǎn),每三圓不過同一點(diǎn),求證這n個(gè)圓分平面為n2-n+2個(gè)部分.第32頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第33頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第34頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四[審題視角]
(1)將n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,從而可猜想an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.(2)利用分析法,結(jié)合x>0,y>0,x+y=1,利用基本不等式可證.第35頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第36頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第37頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第38頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四【答題模板】第1步:尋找特例a1,a2,a3等.第2步:猜想an的公式.第3步:轉(zhuǎn)換遞推公式為an與an-1的關(guān)系.第4步:用數(shù)學(xué)歸納法證明an.①驗(yàn)證遞推公式中的第一個(gè)自然數(shù)n=2.②推證ak+1的表達(dá)式為k+1.③補(bǔ)驗(yàn)n=1,說明對于n∈N*成立.第5步:分析法證明.第39頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四提醒:(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題,其基本模式是“歸納—猜想—證明”,即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性.(2)為了正確地猜想an,首先準(zhǔn)確求出a1,a2,a3的值.第40頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第41頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第42頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四第43頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四[思維升華]【方法與技巧】1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相互依存,缺一不可有一無二,是不完全歸納法,結(jié)論不一定可靠;有二無一,第二步就失去了遞推的基礎(chǔ).2.歸納假設(shè)的作用在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),對于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn):第44頁,共46頁,2023年,2月20日,星期四(1)歸納假設(shè)就是已知條件;(2)在推證n=k+1時(shí),必須用上歸納假設(shè).3.利用歸納假設(shè)的技巧在推證n=k+1時(shí),可以通過湊、拆、配
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