概率論的基本概念演示文稿

概率論的基本概念演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)優(yōu)選概率論的基本概念ppt目前二頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)第一章概率論的基本概念引言：概率論是研究什么的？確定現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象自然界現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象在試驗(yàn)或觀察前無(wú)法預(yù)知出現(xiàn)什么結(jié)果例：向空中拋一物體必然落向地面；水加熱到100℃必然沸騰；異性電荷相吸引；放射性元素發(fā)生蛻變;…

…

例:拋一枚硬幣,結(jié)果可能正(反)面朝上；向同一目標(biāo)射擊,各次彈著點(diǎn)都不相同；某地區(qū)的日平均氣溫；擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；…

…研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科目前三頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐人們發(fā)現(xiàn):盡管隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)的結(jié)果是隨機(jī)的,無(wú)規(guī)律的,但當(dāng)大量觀察同類(lèi)現(xiàn)象后,可以發(fā)現(xiàn)其確實(shí)存在某種規(guī)律性----隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科；或者說(shuō)是從數(shù)量化的角度來(lái)研究現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律的一門(mén)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科。目前四頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)5/13結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.

實(shí)例“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.

實(shí)例“用同一門(mén)炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈落點(diǎn)會(huì)各不相同”.隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果目前五頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)§1.1隨機(jī)試驗(yàn)1.試驗(yàn):在這里試驗(yàn)可指各種各樣的科學(xué)試驗(yàn)，也包括對(duì)事物特征的觀察與檢測(cè)等．范圍比較廣泛．2.隨機(jī)試驗(yàn)：如果試驗(yàn)具有如下特點(diǎn)：(1)可重復(fù)性：在相同條件下可重復(fù)地進(jìn)行;(2)可觀察性：每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè),但事先能明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)不確定性：進(jìn)行一次試驗(yàn)之前，不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).這種試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。常用字母E表示.(注:后面所提到的試驗(yàn)都是指隨機(jī)試驗(yàn).)

目前六頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例E1:拋一枚硬幣,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.E2:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察反面出現(xiàn)的次數(shù).E4:拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).E5:記錄某城市120急救電話臺(tái)(某固定)一晝夜內(nèi)接接到的呼叫次數(shù).E6:在一批燈泡中任意抽取一只,

測(cè)試其壽命.我們是通過(guò)研究隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的。目前七頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)一、樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合.稱為E的樣本空間，記為S(或)．1.樣本空間:2.樣本點(diǎn):樣本空間的元素，即E的每個(gè)可能結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)．§1.2樣本空間、隨機(jī)事件例

寫(xiě)出§1.1節(jié)中所列的試驗(yàn)Ei的樣本空間試驗(yàn)E1:拋一枚硬幣,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

S1={H,T}（H表示出現(xiàn)正面，T表示出現(xiàn)反面）S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}試驗(yàn)E2:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

目前八頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)S3={0,1,2,3}試驗(yàn)E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察反面出現(xiàn)的次數(shù).試驗(yàn)E6:在一批燈泡中任意抽取一只,測(cè)試其壽命.

試驗(yàn)E4:拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S4={1,2,3,4,5,6}試驗(yàn)E5:記錄電話臺(tái)(某固定)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù).S5={0,1,2,…}S6={t|t≥0}（t表示燈泡的壽命）

樣本空間是相對(duì)于某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)而言，而其元素取決于試驗(yàn)的內(nèi)容和目的．[注]目前九頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)5.不可能事件:

空集稱為不可能事件.

在每次試驗(yàn)中它都不發(fā)生．1.隨機(jī)事件:

試驗(yàn)E的樣本空間S的子集.簡(jiǎn)稱事件．通常用字母A，B，C表示.2.事件發(fā)生:

在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)事件A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件A發(fā)生．3.基本事件:

由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.4.必然事件:

樣本空間S稱為必然事件．在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的.二、隨機(jī)事件目前十頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例1E2:拋硬幣三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.事件A1：“第一次出現(xiàn)的是T”，即

A1={THH，THT，TTH，TTT}事件A2

：“三次出現(xiàn)同一面”，即

A2={TTT，HHH}例2

試驗(yàn)E:“從4件產(chǎn)品中（2件正品，2件次品）任取兩件，觀察產(chǎn)品情況”。事件A:“兩件都是正品”

B:“至少有一件次品”目前十一頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)三、事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算(一)事件間的關(guān)系1.事件的包含AB:

稱事件B包含事件A，或A是B的子事件.

其含義是:

事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生.顯然，對(duì)于任何事件A有

A

S．事件的相等A=B:

若A

B

且B

A

.2.和事件:A∪B稱為事件A與B的和事件.其含義是:當(dāng)且僅當(dāng)事件A,B

中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí),事件A∪B發(fā)生.類(lèi)似地,(1)-----事件A1,A2,

…，An的和事件；

(2)-----可列個(gè)事件A1,A2,

…，An,

…的和.ABSABS例如：在擲骰子試驗(yàn)中,記A:“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B:“點(diǎn)數(shù)小于5”，則AB={1,2,3,4,5}目前十二頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)3.積事件:

A∩B稱為事件A與事件B的積事件.或記作AB.其含義是:當(dāng)且僅當(dāng)A,B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生.類(lèi)似地,(1)：事件A1,A2,

…,An積事件；

(2)：事件A1,A2,

…，An,

…積事件。5.互不相容(互斥)的事件:

若A∩B=，稱事件A與B是互不

相容事件，或互斥事件，指事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生.4.差事件:

AB稱為事件A與事件B的差事件.其含義是:當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生.6.對(duì)立事件(互逆事件):

若A∪B=S且A∩B=，則稱事件

A與B為互逆事件.又稱A與B互為對(duì)立事件.A的對(duì)立事件記作.ABBABA目前十三頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

(2)對(duì)于任意事件A，顯然[注]

(1)事件之間的關(guān)系可用文氏圖表示；(4)(3)基本事件都是互不相容的;

A與B-A也是互不相容的．BA目前十四頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)(二)事件的運(yùn)算法則1.交換律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

．4.德摩根律(對(duì)偶律)

：2.結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

．3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

．5.對(duì)必然事件的運(yùn)算法則：A∪S=S,A∩S=A

6.對(duì)不可能事件的運(yùn)算法則：A∪=A,A∩=．A∪B=A∩B,A∩B=A∪B目前十五頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例3

從大批產(chǎn)品中取產(chǎn)品檢驗(yàn),設(shè)事件Ak表示“第k次取到合格產(chǎn)品”(k=1,2,3)，用Ak

表示下列各事件:

解：(1)

(2)(3)(4)(2)B表示“三次中至少有一次取到合格產(chǎn)品”；(1)A表示“三次都取到合格產(chǎn)品”；(3)C表示“三次中恰有兩次取到合格產(chǎn)品”；(4)D表示“三次中最多有一次取到合格產(chǎn)品”.目前十六頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例4

考察某同學(xué)在一次考試中的成績(jī)，分別用

A,B,C,D,P,F表示下列各事件：

A—優(yōu)秀([90,100]),B—良好([80，90)),

C—中等([70,80)),D—一般([60，70)),

P—及格([60,100]),F—不及格([0,60)),則A,B,C,D,F為兩兩不相容事件，且P,F為對(duì)立事件，即；目前十七頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例5

化簡(jiǎn)下列事件：解目前十八頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A,在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，它是否會(huì)發(fā)生，事先不能確定.但我們會(huì)問(wèn)，在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的可能性有多大？并希望找到一個(gè)合適的數(shù)來(lái)表示事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大?。疄榇耍紫纫腩l率的概念，它是通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)說(shuō)明事件發(fā)生的頻繁程度，進(jìn)而引出度量事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)——概率．§1.3頻率與概率目前十九頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)一、頻率1.定義:

若在相同的條件進(jìn)行n次試驗(yàn),其中隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)為nＡ

(A發(fā)生的頻數(shù))，則稱nＡ/n為事件A發(fā)生的頻率，記作，即2.性質(zhì)

(2)fn(S)=1(1)0≤fn(A)≤1(3)若A1,A2,…,Ak

是兩兩不相容的事件，則目前二十頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

由頻率的定義可知,頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的頻繁程度.例“拋硬幣”試驗(yàn)，設(shè)A表示“拋擲一枚硬幣，其結(jié)果出現(xiàn)正面”，將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次，各做4遍的結(jié)果如下：

大量實(shí)驗(yàn)證實(shí):當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n逐漸增大時(shí),事件A發(fā)生的頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性,逐漸穩(wěn)定于某個(gè)確定的常數(shù)p----頻率的穩(wěn)定性.頻率的穩(wěn)定性的事實(shí)說(shuō)明了刻畫(huà)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)——概率的客觀存在性.

目前二十一頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

從上面的例子可以看出，試驗(yàn)次數(shù)n越大，出現(xiàn)正面的頻率越接近0.5，即頻率穩(wěn)定于1/2．經(jīng)驗(yàn)表明：只要試驗(yàn)是在相同的條件下進(jìn)行的，則隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定于一個(gè)固定的常數(shù)，常數(shù)是事件本身所固有的，是不隨人們的意志而改變的一種客觀屬性，它是對(duì)事件出現(xiàn)的可能性大小進(jìn)行度量的客觀基礎(chǔ)．為了理論研究的需要，從頻率的穩(wěn)定性和頻率的性質(zhì)得到啟發(fā)，給出如下度量事件發(fā)生可能性大小的概率的定義.目前二十二頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)二、概率1.定義

(概率的公理化定義)設(shè)E

是隨機(jī)試驗(yàn),其樣本空間S.對(duì)于E的每一事件A

賦于一個(gè)實(shí)數(shù),記為P(A),稱為事件A的概率,

如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件:(1)非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A)0；

(2)規(guī)范性:

對(duì)于必然事件S

,

有P(S)=1；

(3)可列可加性:設(shè)A1,A2,…

是兩兩互不相容的事件,即對(duì)于則有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+

…目前二十三頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)(2)(有限可加性)

若A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件,則2.概率的性質(zhì)(1)

P()=0．【注】反之不然.(3)

設(shè)A,B是兩個(gè)事件,若A

B,則有(5)

(逆事件的概率)

對(duì)任一事件A，(4)

對(duì)于任一事件A，有P(A)≤1.

推論:

對(duì)任意事件A,B有(6)

(加法公式)對(duì)于任意兩事件A,B

有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(BA)=P(B)P(AB).(減法公式)P(BA)=P(B)P(A);P(B)≥P(A).

目前二十四頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)推論1:設(shè)A1,A2,A3為任意三個(gè)事件，則有：

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A1A2)

P(A1A3)P(A2A3)+P(A1A2A3)推論2:

對(duì)于任意n個(gè)事件A1,A2,…An，則有：P(A1∪A2∪…∪An)=目前二十五頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例1

小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出甲、乙二類(lèi)問(wèn)題的概率分別為0.7和0.2,兩類(lèi)問(wèn)題都能答出的概率為0.1.求小王解事件A,B分別表示“能答出甲,乙類(lèi)問(wèn)題”,由題設(shè)(1)(1)答出甲類(lèi)而答不出乙類(lèi)問(wèn)題的概率;

(2)至少有一類(lèi)問(wèn)題能答出的概率;

(3)兩類(lèi)問(wèn)題都答不出的概率.(2)(3)P(A)=0.7，P(B)=0.2,P(AB)=0.1,目前二十六頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例2

(1)已知

P(AB)=0,求P(ABC);

(2)

已知

P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,

求P(AB);

(3)

已知

P(AB)=P(AB),P(A)=p,求P(B).解:(1)因?yàn)锳BCAB，由性質(zhì)3知

0

P(ABC)P(AB)=0，所以P(ABC)=0(2)

P(AB)=P(A)-

P(AB)=0.4-0.1=0.3

P(AB)=P(A

B)=P(A∪B)=1-P(A

∪B)=1-P(A)-

P(B)+P(AB)

P(B)=1-P(A)=1-p目前二十七頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例3

某地發(fā)行<<兒童文學(xué)>>、<<少年文藝>>、<<故事會(huì)>>等三種讀物，在這個(gè)地區(qū)的兒童中，訂<<兒童文學(xué)>>的占45%、訂<<少年文藝>>的占35%、訂<<故事會(huì)>>的占30%，同時(shí)訂<<兒童文學(xué)>>和<<少年文藝>>的占10%、同時(shí)訂<<兒童文學(xué)>>及<<故事會(huì)>>的占8%，同時(shí)訂<<少年文藝>>和<<故事會(huì)>>的占5%，同時(shí)訂<<兒童文學(xué)>>、<<少年文藝>>和<<故事會(huì)>>的占3%.試求下列事件的概率

D1=“至少訂購(gòu)一種讀物”；

D2=“三種讀物都不訂購(gòu)”；

D3=“只訂<<兒童文學(xué)>>”；

D4=“只訂購(gòu)一種讀物”.目前二十八頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)解

:設(shè)A=“訂購(gòu)<<兒童文學(xué)>>”，

B=“訂購(gòu)<<少年文藝>>”，

C=“訂購(gòu)<<故事會(huì)>>”.

則由已知得：

P(A)=0.45，P(B)=0.35，P(C)=0.30，

P(AB)=0.10，P(AC)=0.08，P(BC)=0.05，

P(ABC)=0.03答案(1)0.9(2)0.1

(3)0.3(4)0.73目前二十九頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)練1

設(shè)

求練2

設(shè)求：

練3

設(shè)A,B為兩個(gè)事件，如果AB=,但A,B則以下哪個(gè)等式成立：

目前三十頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)1.定義：(1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè)；

(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.這種試驗(yàn)稱為等可能概型或古典概型．§1.4等可能概型(古典概型)2.古典概型中事件A的概率的計(jì)算公式

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間S={e1,e2,…,en}，且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，若A包含k個(gè)基本事件,即則有設(shè)E是試驗(yàn)，S是E的樣本空間，若目前三十一頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

若事件A發(fā)生，即把最強(qiáng)的兩隊(duì)拿出，將其余18個(gè)隊(duì)分成兩組，再將兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)分別分在兩組內(nèi)，故事件A

所包含的基本事件數(shù)為．例1

為了減少比賽場(chǎng)次，把20個(gè)球隊(duì)分成兩組，每組10個(gè)隊(duì)進(jìn)行比賽，求最強(qiáng)的兩個(gè)隊(duì)分在不同組內(nèi)的概率．[注]要計(jì)算事件A的概率，必須清楚樣本空間所包

含的基本事件總數(shù)以及A所包含的基本事件數(shù).解

:

把20個(gè)球隊(duì)分為兩組，每組10隊(duì)，共有種分法.

所以，基本事件總數(shù)為．所以P(A)==0.526設(shè)A=“最強(qiáng)的兩個(gè)隊(duì)分在不同組內(nèi)”，目前三十二頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例2

在一批n個(gè)產(chǎn)品中，有m個(gè)次品，從這批產(chǎn)品中任取k個(gè)產(chǎn)品，求其恰有l(wèi)個(gè)(l≤m)次品的概率．解:

從n個(gè)產(chǎn)品中任取k個(gè)產(chǎn)品，共有種取法.故基本事件總數(shù)為．設(shè)A=“取出k個(gè)產(chǎn)品中恰有l(wèi)個(gè)次品”

若事件A發(fā)生，即從m個(gè)次品中取l個(gè)次品，從n-m個(gè)正品中取k-l個(gè)正品，故事件A所包含的基本事件數(shù)為

所以P(A)＝－－－超幾何分布公式目前三十三頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例3

一袋中有10只球,其中4個(gè)紅球,6個(gè)白球,從袋中取3次,每次取一只.按兩種取法:(a)放回抽樣;(b)不放回抽樣取球，求(1)取到的3個(gè)球都是白球的概率;(2)取到的3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球的概率.=0.288解

(a)放回抽樣(b)不放回抽樣=0.3=0.216=0.167目前三十四頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)解

(1)放回抽樣：由于每次抽取的小球看后都放回袋中，所以每次都是從10個(gè)小球中抽取，由乘法原理，從10個(gè)小球中有放回地抽取3個(gè)的所有可能的取法共有種，故基本事件總數(shù)為.

若事件A發(fā)生，即3次取的小球都是白球，故事件A所含基本事件數(shù)為.所以P(A)==0.216若事件B發(fā)生，即3次取的小球中有2次取的是紅球，一次取的是白球，考慮到白球出現(xiàn)的次序，故事件B所含基本事件數(shù)為.所以P(B)==0.288目前三十五頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)(2)

不放回抽樣：第一次從10個(gè)球中取1個(gè)小球，由于不再放回，因此第二次從9個(gè)小球中抽取1個(gè)，第三次從8個(gè)小球中抽取1個(gè)，故基本事件總數(shù)為10×9×8.若事件A發(fā)生，事件A所含基本事件數(shù)為6×5×4所以P(A)==0.167若事件B發(fā)生，事件B所含基本事件數(shù)為所以P(B)==0.3目前三十六頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例4

設(shè)袋中裝有a只白球，b只紅球,k個(gè)人依次在袋中取一只球，(1)作放回抽樣,(2)作不放回抽樣，求第i(i=1,2,…,k)個(gè)人取到白球的概率。解

(a)放回抽樣(b)不放回抽樣

一般地:袋中有a只白球,b只紅球,k個(gè)人依次在袋中取一球，則不論放回還是不放回，第i個(gè)人取到白球的概率為a/(a+b).目前三十七頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例5設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,任意選取n個(gè)人(n<365)，求至少有兩人生日相同的概率．解

每個(gè)人取365天中的一天作生日，基本事件總數(shù)為．經(jīng)計(jì)算可得：

n 20 304050100

P0.4110.7060.8910.970 0.999 上表說(shuō)明：當(dāng)n很大時(shí)，n個(gè)人的生日各不相同的概率很小.設(shè)A=“至少有兩人生日相同”，所以=“n個(gè)人的生日各不相同”而“n個(gè)人的生日各不相同”的種數(shù)為:于是

將n只球隨機(jī)地放入N（Nn）個(gè)盒子中去，試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率。目前三十八頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)解:把n+m個(gè)學(xué)生隨意排成一列，共有(m+n)!種排法，而事件A發(fā)生的排列：先把n個(gè)男生排成一列，共有n!

種排法．在每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間有一個(gè)位置，共(n-1)個(gè)位置，加上頭尾共(n+1)個(gè)位置.從這n+1個(gè)位置中任意插入m

個(gè)女生，共有種排法故事件A所包含的基本事件數(shù)為．所以

例6

設(shè)有n個(gè)男生，m個(gè)女生(m≤n+1)，隨機(jī)排成一列，A=“任意兩個(gè)女生都不相鄰”，求P(A).目前三十九頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例7

從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)進(jìn)行排列，求“取得的三個(gè)數(shù)字排成的數(shù)是三位數(shù)且為偶數(shù)”的概率．則A=A0A2，由于三位數(shù)的首位數(shù)不能為零，所以解:

設(shè)A表示“排列的數(shù)字是三位數(shù)且為偶數(shù)”

A0表示“排列的數(shù)字是三位數(shù)且末位為0”

A2表示“排列的數(shù)字是三位數(shù)且末位為2”

P(A0)=P(A2)=顯然，A0，A2互不相容，由性質(zhì)得：

P(A)=P(A0

A2)=P(A0)+P(A2)=目前四十頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)又由于一個(gè)數(shù)同時(shí)能被6與8整除,就相當(dāng)于能被24整除,因此,例8

在1～2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?解:

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”，B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為由于,故得由于,故得于是所求概率為由得目前四十一頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例9

將15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(wèn)(i)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(ii)3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的概率是多少?解:(i)(ii)目前四十二頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)解假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，而各來(lái)訪者在一周內(nèi)的任一天去接待站是等可能的，那么12次接待來(lái)訪者都是在周二和周五進(jìn)行的概率為P==0.0000003，即千萬(wàn)分之三.例10

某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪,已知所有這12次來(lái)訪接待都是在周二和周五進(jìn)行的,問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.

人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到的經(jīng)驗(yàn)是:“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的”——--------實(shí)際推斷原理.

按實(shí)際推斷原理，可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的．目前四十三頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)練習(xí)題1

10個(gè)人中有一對(duì)夫婦，他們隨意坐在一張圓桌周?chē)?，求該?duì)夫婦正好坐在一起的概率.答：2/9.練習(xí)題2

有10個(gè)同學(xué)，分別佩戴1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任選3人記錄其紀(jì)念章號(hào)碼，求(1)最小號(hào)碼為5的概率;(2)最大號(hào)碼為5的概率.答：1/12,1/20.目前四十四頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)思考題:(傳統(tǒng)型彩票)

傳統(tǒng)型“10選6+1”：先從0~9號(hào)球中搖出6個(gè)基本號(hào)碼，每組搖出一個(gè)，然后從0~4號(hào)球中搖出一個(gè)特別號(hào)，構(gòu)成中獎(jiǎng)號(hào)碼。投注者選出6個(gè)基本號(hào)碼和一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成一注，基本號(hào)碼和特別號(hào)碼都正確獲一等獎(jiǎng)；只有基本號(hào)碼正確獲二等獎(jiǎng)。求獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的概率。思考題答案:目前四十五頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例10

將一枚均勻硬幣連續(xù)拋擲三次.(1)設(shè)事件A為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求P(A).(2)設(shè)事件B為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求P(B).解

(1)樣本空間所含基本事件總數(shù)為8,事件A所包含的基本事件數(shù)為3,故P(A)=3/8(2)樣本空間所含基本事件總數(shù)為8,事件B所包含的基本事件數(shù)為1,故P(B)=1-P(B)=1-1/8=7/8注本題不能用E3的樣本空間S3={0,1,2,3},因?yàn)槠涓鱾€(gè)基本事件發(fā)生的可能性不同.目前四十六頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)§1.5條件概率

在對(duì)概率的討論中，我們有時(shí)會(huì)碰到這樣的情況，已知某一事件A

已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件B發(fā)生的概率,則所求的并非

P(B),而是附加了A

已發(fā)生的條件,這時(shí)所求的概率叫做條件概率，記作

P(B|A).一、條件概率引例某班30名同學(xué),其中男20名,女10名.身高1.70米以上者15名,其中男12名,女3名.任選一名學(xué)生,選出來(lái)后發(fā)現(xiàn)是個(gè)男生,問(wèn)該學(xué)生的身高在1.70米以上的概率是多少？解：設(shè)事件A為“選出的是男生”，事件B為“選出的是身高1.70米以上”.顯然,P(A)=20/30.而我們要求的是在設(shè)事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率,即P(B|A).由題意，P(B|A)=12/20ABS目前四十七頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)1.定義:

設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,稱

2.性質(zhì)：條件概率P(·|A)滿足概率的三個(gè)基本屬性:

由于條件概率符合概率定義的三個(gè)條件，所以前面所證明的一些概率性質(zhì)對(duì)于條件概率也同樣適用.為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.(1)對(duì)于任一事件B，有P(B|A)0(2)P(S|A)=1(3)設(shè)B1,B2,…是兩兩不相容的事件，則有目前四十八頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例如對(duì)于任意事件B1,B2，有：

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A)對(duì)于任意事件B，有:

P(B|A)=1-P(B|A)目前四十九頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例1

設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20歲以上的概率是0.8，活到25歲以上的概率為0.4,動(dòng)物現(xiàn)在已經(jīng)20歲，問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少？解

A=“活到20歲以上”，B=“活到25歲以上”，

由題意

P(A)=0.8，P(B)=0.4

因?yàn)锽A，故AB=B

所以P(AB)=P(B)=0.4，因此

P(B｜A)=目前五十頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

例2

一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球，7個(gè)白球，先后兩次從袋中各取一球（不放回）.解

記A1=“第一次取出的是黑球”，A2=“第二次取出的是黑球”,(1)由題意直接可得(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;(2)或利用公式：或利用公式：目前五十一頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

定理(乘法定理)對(duì)于任意的事件A,B,若P(A)>0，

則

P(AB)=P(A)P(B|A)

二、乘法定理[注]

乘法公式可以推廣到多個(gè)事件的情形:1°設(shè)A,B,C為事件，且P(AB)>0,則有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)2°設(shè)A1,A2,…An

為n個(gè)事件,且P(A1A2…An-1)>0,-----乘法公式

或P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0)目前五十二頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

在某些問(wèn)題中，條件概率是已知的或者是比較容易求得的，在這種情況下，就可以利用乘法公式來(lái)計(jì)算積事件的概率.[注]例3

今有3個(gè)布袋,2個(gè)紅袋,1個(gè)綠袋.在2個(gè)紅袋中各裝60個(gè)紅球和40個(gè)綠球，在綠袋中裝了30紅球和50個(gè)綠球，現(xiàn)任取1袋，從中任取1球，問(wèn)是紅袋中紅球的概率為多少？解設(shè)A=“取到紅袋”,B=“取到紅球”,所求概率P(AB).顯然，P(A)=2/3,

P(B|A)=60/100=3/5,由乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A)=(2/3)·(3/5)=2/5.目前五十三頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例4

設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色然后放回,并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解:

記Ai=“第i次取到紅球”，i=1,2,3,4,則所求概率為=“第i次取到白球”，i=1,2,3,4,目前五十四頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例5

今有1張電影票，4個(gè)人都想要，他們用抓鬮的辦法分這張票，試證明每人得電影票的概率都是1/4.證明：設(shè)第i次抓鬮的人為第i人，i=1，2，3，4

并設(shè)Ai=“第i個(gè)人抓到‘有’”，i=1，2，3，4

(1)顯然

P(A1)=1/4

(2)第2個(gè)人抓到‘有’的必要條件是第一個(gè)人抓到‘無(wú)’，

故

，所以,有

又顯然有：，故因此目前五十五頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)(3)類(lèi)似地，

故(4)同樣地，

目前五十六頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例6

設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，第三次落下打破的概率為9/10，試求透鏡落下三次而未打破的概率.解:設(shè)Ai=“透鏡第i次落下打破”，i=1,2,3,4,

B=“透鏡落下三次而未打破”.故有因?yàn)槟壳拔迨唔?yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例7

已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A|B)=0.5，求P(B|AB)解:由乘法公式，P(AB)=P(B)P(A|B)=0.40.5=0.2，目前五十八頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)三、全概率公式和貝葉斯公式1.全概率公式定義:設(shè)試驗(yàn)E,

樣本空間S,B1,B2,…,Bn為E的一組事件.若則稱B1,B2,…,Bn

為樣本空間S的一個(gè)劃分(完備事件組)。上式稱為全概率公式.特別地，n=2定理

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A為E的事件,B1,B2,…Bn

為樣本空間S的一個(gè)劃分,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則目前五十九頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)[注]全概率公式是概率論的一個(gè)基本公式.直接計(jì)算P(A)不易時(shí)，可構(gòu)造一完備事件組B1,…Bn,利用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算P(A).2.貝葉斯公式定理

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A為E的事件,B1,B2,…Bn

為樣本空間S的一個(gè)劃分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則----貝葉斯公式

貝葉斯公式給出的是，一事件已經(jīng)發(fā)生，要考察引發(fā)該事件發(fā)生的各種原因的可能性的大小.目前六十頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例8

設(shè)一倉(cāng)庫(kù)中有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品，已知其中有五箱、三箱、兩箱依次為甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的該種產(chǎn)品的次品率依次為1/10、1/15、1/20.從這十箱中任取一箱，再?gòu)娜〉玫倪@箱中任取一件產(chǎn)品，求

(1)取得正品的概率;

(2)已知取得正品，該正品是甲廠生產(chǎn)的概率是多少？

解設(shè)A=“取得的是正品”,

Bi=“該件產(chǎn)品是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的”，i=1,2,3顯然，B1∪B2∪B3=S，且B1、B2、B3互斥由已知得：P(B1)=5/10，P(B2)=3/10，P(B3)=2/10，P(A|B1)=9/10，P(A|B2)=14/15，P(A|B3)=19/20由全概公式P(A)=0.92目前六十一頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例9

甲胎免疫蛋白檢測(cè)法(AFP)被普遍用于肝癌的早期診斷和普查.已知肝癌患者經(jīng)AFP診斷為肝癌的概率為95%,而未患肝癌通過(guò)AFP被診斷為肝癌的概率為2%,在人群中肝癌的發(fā)病率一般為0.4%,現(xiàn)有一人經(jīng)診斷為患肝癌,求此人確實(shí)患肝癌的概率.解：設(shè)A=“此人患肝癌”，B=“經(jīng)診斷為患肝癌”由貝葉斯公式得前驗(yàn)概率后驗(yàn)概率目前六十二頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)稱P(Bi|A),i=1,2,3,…n

為后驗(yàn)概率，它當(dāng)?shù)玫搅诵畔?知道A

發(fā)生),再對(duì)導(dǎo)致

A

發(fā)生的原因發(fā)生的可能性大小重新加以修正.

稱P(A|Bi),i=1,2,3,…n為先驗(yàn)概率，它是在沒(méi)有進(jìn)一步信息(不知道事件A是否發(fā)生)的情況下諸事件發(fā)生的概率，往往可由以往的經(jīng)驗(yàn)得到，它是事件

A

的原因.目前六十三頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例10

由于隨機(jī)干擾,在無(wú)線電通訊中發(fā)出信號(hào)“?”,收到信號(hào)“?”,“不清”,“—”的概率分別為0.7,0.2,0.1;發(fā)出信號(hào)“—”,收到信號(hào)“?”,“不清”,“—”的概率分別為0.0,0.1,0.9.已知在發(fā)出的信號(hào)中,“?”和“—”出現(xiàn)的概率分別為0.6和0.4,試分析,當(dāng)收到信號(hào)“不清”時(shí),原發(fā)信號(hào)為“?”還是“—”的概率哪個(gè)大？解設(shè)B1=原發(fā)信號(hào)為“?”，B2=原發(fā)信號(hào)為“—”

A=收到信號(hào)“不清”，B1,B2為樣本空間的一劃分.已知可見(jiàn),當(dāng)收到信號(hào)“不清”時(shí),原信號(hào)為“?”的可能性大.目前六十四頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)1.某人忘記電話號(hào)碼最后一位數(shù)字,因而隨意撥最后一位數(shù)字,求練習(xí)（教材P26第18題）解：設(shè)Ai={第

i次接通電話},i=1,2,3.

(1)

A={三次內(nèi)接通電話}故(1)不超過(guò)三次而接通電話的概率;(2)已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù),不超過(guò)三次而接通電話的概率.(2)已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù),不超過(guò)三次而接通電話的概率.目前六十五頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)解法Ⅱ：(2)當(dāng)已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)時(shí)，目前六十六頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)2.設(shè)有三個(gè)盒子,甲盒中有2個(gè)紅球,4個(gè)白球;乙盒中有4個(gè)紅球,2個(gè)白球;丙盒中有3個(gè)紅球,3個(gè)白球.設(shè)從三個(gè)盒中取球的機(jī)會(huì)相等,今從中任取一球,它是紅球的概率多大?又若已知取出的是紅球,問(wèn)它來(lái)自甲盒的概率?練習(xí)解：乙甲丙目前六十七頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

一般來(lái)講，條件概率P(B|A)與概率P(B)是不等的,即事件A，B中某個(gè)事件發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生是有影響的.但在許多實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到兩個(gè)事件中任何一個(gè)發(fā)生都不會(huì)對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響,此時(shí)P(B)=P(B|A)?！?.6獨(dú)立性

定義1

設(shè)A,B是兩事件,如果

P(AB)=P(A)P(B)

則稱事件A,B為相互獨(dú)立的隨機(jī)事件.[注]1°當(dāng)P(A),P(B)>0時(shí),A、B相互獨(dú)立

P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A);

2°兩事件互不相容與相互獨(dú)立是完全不同的兩個(gè)概念.若P(A)>0,P(B)>0,則A與B相互獨(dú)立和A與B互不相容不能同時(shí)成立.目前六十八頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)

若四對(duì)事件A與B、A與B、A與B

、A與B

中有一對(duì)獨(dú)立，則另外三對(duì)也獨(dú)立.(即這四對(duì)事件或者都獨(dú)立，或者都不獨(dú)立).僅證明A與B獨(dú)立時(shí)有A與B

獨(dú)立，

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于事件的獨(dú)立性，我們往往不是根據(jù)定義來(lái)判斷，而是根據(jù)實(shí)際意義判斷兩事件是否獨(dú)立,利用事件的獨(dú)立性解決實(shí)際問(wèn)題.定理證明=P(A)P(B)由于P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]上式說(shuō)明A與B

相互獨(dú)立.(A與B獨(dú)立)目前六十九頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)定義3

如果對(duì)于任意的k(k≤n),及任意的1i1<i2<…<ikn,都有定義2

設(shè)A1,A2,...,An是n個(gè)事件，如果對(duì)于任意的1i,jn,有

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)則稱這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立.則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立.定義4

設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，如果P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

則稱事件A,B,C相互獨(dú)立.[注]

若n個(gè)事件A1,A2,...,An

相互獨(dú)立，則

(1)A1,A2...An兩兩獨(dú)立,反之不然；

(2)A1,A2...An中任意k個(gè)事件相互獨(dú)立；

(3)A1,A2...An中任意m(1mn)個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件，所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立.目前七十頁(yè)\總數(shù)七十五頁(yè)\編于八點(diǎn)例1

設(shè)袋中有4個(gè)乒乓球，1個(gè)涂有白色，1個(gè)涂有紅色，1個(gè)涂有藍(lán)色，1個(gè)涂有白、紅、藍(lán)三種顏色