高考數(shù)學第一輪復習資料(教師版)

高考數(shù)學第一輪復習資料(教師版)高考數(shù)學第一輪復習資料（教師版）第一章集合第一節(jié)集合的含義、表示及基本關系A組1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，則集合A與B的關系為________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若?{x|x2≤a，a∈R}，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，則集合A與B的關系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.答案：BA4．(2009年高考廣東卷改編)已知全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關系的韋恩(Venn)圖是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，則NM.答案：②5．(2010年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，∴AB，∴a<5.答案：a<56．(原創(chuàng)題)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判斷m解：∵m∈A，∴設m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴設n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B組1．設a，b都是非零實數(shù)，y＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(ab,|ab|)可能取的值組成的集合是________．解析：分四種情況：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，討論得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，則實數(shù)m解析：∵B?A，顯然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m3．設P，Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個數(shù)是________個．解析：依次分別取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分別求和，注意到集合元素的互異性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝?時，a＝0；當a≠0時，x＝eq\f(1,a)＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：0,1，－15．滿足{1}A?{1,2,3}的集合A的個數(shù)是________個．解析：A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A＝{x|x＝a＋eq\f(1,6)，a∈Z}，B＝{x|x＝eq\f(b,2)－eq\f(1,3)，b∈Z}，C＝{x|x＝eq\f(c,2)＋eq\f(1,6)，c∈Z}，則A、B、C之間的關系是________．解析：用列舉法尋找規(guī)律．答案：AB＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，則“A?B”是“a>5”的________．解析：結合數(shù)軸若A?B?a≥4，故“A?B”是“a>5”的必要但不充分條件．答案：必要不充分條件8．(2010年江蘇啟東模擬)設集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，則M中所有元素的和為________．解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：5119．(2009年高考北京卷)設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k－1?A，且k＋1?A，那么稱k是A的一個“孤立元”．給定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________個．解析：依題可知，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”，這三個元素一定是相連的三個數(shù)．故這樣的集合共有6個．答案：610．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，試求x，y的值．解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1.∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，eq\f(1,x)}．于是必有|x|＝1，eq\f(1,x)＝x≠1，故x＝－1，從而y＝－1.11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B?A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求實數(shù)m(2)若A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求實數(shù)m(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求實數(shù)m解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，(1)∵B?A，∴①若B＝?，則m＋1>2m－1，即m<2，此時滿足B?A②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,－2≤m＋1，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范圍是(－∞，3]．(2)若A?B，則依題意應有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m－6，,m－6≤－2，,2m－1≥5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－5，,m≤4，,m≥3.))故3≤m≤4，∴m的取值范圍是[3,4]．(3)若A＝B，則必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－6＝－2，,2m－1＝5，))解得m∈?.，即不存在m值使得A＝B.12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范圍；(2)若B是A的子集，求a的取值范圍；(3)若A＝B，求a的取值范圍．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即AB，則此時B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B?A，由數(shù)軸可知1≤a≤2.(3)若A=B，則必有a=2第二節(jié)集合的基本運算A組1．(2009年高考浙江卷改編)設U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，則A∩?UB＝____.解析：?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．(2009年高考全國卷Ⅰ改編)設集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，則集合?U(A∩B)中的元素共有________個．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，則集合M∩N解析：由題意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原創(chuàng)題)設A，B是非空集合，定義A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，則A?B＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以A?B＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為________．解析：設兩項運動都喜歡的人數(shù)為x，畫出韋恩圖得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉興質(zhì)檢)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)當m＝－1時，求A∩B，A∪B；(2)若B?A，求m的取值范圍．解：(1)當m＝－1時，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B?A，則m>1，即m的取值范圍為(1，＋∞)B組1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，則M∩N＝________.解析：因為集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，則(?UA)∩B＝________.解析：?UA＝{0,1}，故(?UA)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年濟南市高三模擬)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，則M∩(?UN)＝________.解析：根據(jù)已知得M∩(?UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，則A∪B解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，從而b＝2，∴A∪B答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改編)已知全集U＝A∪B中有m個元素，(?UA)∪(?UB)中有n個元素．若A∩B非空，則A∩B的元素個數(shù)為________．解析：U＝A∪B中有m個元素，∵(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有n個元素，∴A∩B中有m－n個元素．答案：m－n6．(2009年高考重慶卷)設U＝{n|n是小于9的正整數(shù)}，A＝{n∈U|n是奇數(shù)}，B＝{n∈U|n是3的倍數(shù)}，則?U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得?U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定義A?B＝{z|z＝xy＋eq\f(x,y)，x∈A，y∈B}．設集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，則集合(A?B)?C的所有元素之和為________．解析：由題意可求(A?B)中所含的元素有0,4,5，則(A?B)?C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和為18.答案：188．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，則b＝________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－2y＋4＝0.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))點(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.9．設全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，?IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，則集合M解析：∵A∪(?IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log答案：?，{1}，{2}，{1,2}10．設集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求實數(shù)a的值；(2)若A∪B＝A，求實數(shù)a的取值范圍．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0?a＝－1或a＝－3；當a＝－1時，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，滿足條件；當a＝－3時，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，滿足條件；綜上，a(2)對于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B?A，①當Δ<0，即a<－3時，B＝?滿足條件；②當Δ＝0，即a＝－3時，B＝{2}滿足條件；③當Δ>0，即a>－3時，B＝A＝{1,2}才能滿足條件，則由根與系數(shù)的關系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－2(a＋1),1×2＝a2－5))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,2)，,a2＝7，))矛盾.綜上，a的取值范圍是a≤－3.11．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(\f(6,x＋1)－1)的定義域為集合A，函數(shù)g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定義域為集合B.(1)當m＝3時，求A∩(?RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求實數(shù)m的值．解：A＝{x|－1<x≤5}．(1)當m＝3時，B＝{x|－1<x<3}，則?RB＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(?RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此時B＝{x|－2<x<4}，符合題意．12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A＝?，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若A是單元素集，求a的值及集合A；(3)求集合M＝{a∈R|A≠?}．解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0無解．若a＝0，方程有一解x＝eq\f(2,3)，不合題意．若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0無解，則Δ＝9－8a<0，則a>eq\f(9,8).綜上可知，若A＝?，則a的取值范圍應為a>eq\f(9,8).(2)當a＝0時，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝eq\f(2,3)，A＝{eq\f(2,3)}符合題意．當a≠0時，則Δ＝9－8a＝0，即a＝eq\f(9,8)時，方程有兩個相等的實數(shù)根x＝eq\f(4,3)，則A＝{eq\f(4,3)}．綜上可知，當a＝0時，A＝{eq\f(2,3)}；當a＝eq\f(9,8)時，A＝{eq\f(4,3)}．(3)當a＝0時，A＝{eq\f(2,3)}≠?.當a≠0時，要使方程有實數(shù)根，則Δ＝9－8a≥0，即a≤eq\f(9,8).綜上可知，a的取值范圍是a≤eq\f(9,8)，即M＝{a∈R|A≠?}＝{a|a≤eq\f(9,8)}第二章函數(shù)第一節(jié)對函數(shù)的進一步認識A組1．(2009年高考江西卷改編)函數(shù)y＝eq\f(\r(－x2－3x＋4),x)的定義域為________．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－3x＋4≥0，,x≠0，))?x∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年紹興第一次質(zhì)檢)如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線段OAB，其中點O，A，B的坐標分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，則f(eq\f(1,f(3)))的值等于________．解析：由圖象知f(3)＝1，f(eq\f(1,f(3)))＝f(1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,－x，x>1.))若f(x)＝2，則x＝________.解析：依題意得x≤1時，3x＝2，∴x＝log32；當x>1時，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log324．(2010年黃岡市高三質(zhì)檢)函數(shù)f：{1，eq\r(2)}→{1，eq\r(2)}滿足f[f(x)]>1的這樣的函數(shù)個數(shù)有________個．解析：如圖．答案：15．(原創(chuàng)題)由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3定義一個映射f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，則f(2,1，－1)＝________.解析：由題意知x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3，令x＝－1得：－1＝b3；再令x＝0與x＝1得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝1＋b1＋b2＋b3,3＝8＋4b1＋2b2＋b3))，解得b1＝－1，b2＝0.答案：(－1,0，－1)6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)(x>1)，,x2＋1(－1≤x≤1)，,2x＋3(x<－1).))(1)求f(1－eq\f(1,\r(2)－1))，f{f[f(－2)]}的值；(2)求f(3x－1)；(3)若f(a)＝eq\f(3,2)，求a.解：f(x)為分段函數(shù)，應分段求解．(1)∵1－eq\f(1,\r(2)－1)＝1－(eq\r(2)＋1)＝－eq\r(2)<－1，∴f(－eq\r(2))＝－2eq\r(2)＋3，又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).(2)若3x－1>1，即x>eq\f(2,3)，f(3x－1)＝1＋eq\f(1,3x－1)＝eq\f(3x,3x－1)；若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤eq\f(3,2)，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；若3x－1<－1，即x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.∴f(3x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3x,3x－1)(x>\f(2,3))，,9x2－6x＋2(0≤x≤\f(2,3))，,6x＋1(x<0).))(3)∵f(a)＝eq\f(3,2)，∴a>1或－1≤a≤1.當a>1時，有1＋eq\f(1,a)＝eq\f(3,2)，∴a＝2；當－1≤a≤1時，a2＋1＝eq\f(3,2)，∴a＝±eq\f(\r(2),2).∴a＝2或±eq\f(\r(2),2).B組1．(2010年廣東江門質(zhì)檢)函數(shù)y＝eq\f(1,\r(3x－2))＋lg(2x－1)的定義域是________．解析：由3x－2>0,2x－1>0，得x>eq\f(2,3).答案：{x|x>eq\f(2,3)}2．(2010年山東棗莊模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，(x<－1)，,－3，(－1≤x≤2)，,2x－1，(x>2)，))則f(f(f(eq\f(3,2))＋5))＝_.解析：∵－1≤eq\f(3,2)≤2，∴f(eq\f(3,2))＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3，∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定義在區(qū)間(－1,1)上的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，則f(x解析：∵對任意的x∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)，由2f(x)－f(－x)＝lg(x由2f(－x)－f(x)＝lg(－x①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x∴f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，(－1<x<1)．答案：f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，(－1<x<1)4．設函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)＋1，則函數(shù)y＝f(x)與y＝x圖象交點的個數(shù)可能是________個．解析：由f(x＋1)＝f(x)＋1可得f(1)＝f(0)＋1，f(2)＝f(0)＋2，f(3)＝f(0)＋3，…本題中如果f(0)＝0，那么y＝f(x)和y＝x有無數(shù)個交點；若f(0)≠0，則y＝f(x)和y＝x有零個交點．答案：0或無數(shù)5．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋bx＋c(x≤0)))，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則f(x)的解析式為f(x)＝________，關于x的方程f(x)＝x的解的個數(shù)為________個．解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝c,4－2b＋c＝－2))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4,c＝2))，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋4x＋2(x≤0))).由數(shù)形結合得f(x)＝x的解的個數(shù)有3個．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋4x＋2(x≤0)))36．設函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，函數(shù)g(x)＝－x2＋bx＋c，若f(2＋eq\r(2))－f(eq\r(2)＋1)＝eq\f(1,2)，g(x)的圖象過點A(4，－5)及B(－2，－5)，則a＝__________，函數(shù)f[g(x)]的定義域為__________．答案：2(－1,3)7．(2009年高考天津卷改編)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0,x＋6，x<0))，則不等式f(x)>f(1)的解集是________．解析：由已知，函數(shù)先增后減再增，當x≥0，f(x)>f(1)＝3時，令f(x)＝3，解得x＝1，x＝3.故f(x)>f(1)的解集為0≤x<1或x>3.當x<0，x＋6＝3時，x＝－3，故f(x)>f(1)＝3，解得－3<x<0或x>3.綜上，f(x)>f(1)的解集為{x|－3<x<1或x>3}．答案：{x|－3<x<1或x>3}8．(2009年高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(4－x)，x≤0，,f(x－1)－f(x－2)，x＞0，))則f(3)的值為________．解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2.答案：－29．有一個有進水管和出水管的容器，每單位時間進水量是一定的，設從某時刻開始，5分鐘內(nèi)只進水，不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進水，又出水，得到時間x與容器中的水量y之間關系如圖．再隨后，只放水不進水，水放完為止，則這段時間內(nèi)(即x≥20)，y與x之間函數(shù)的函數(shù)關系是________．解析：設進水速度為a1升/分鐘，出水速度為a2升/分鐘，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a1＝20,5a1＋15(a1－a2)＝35))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4,a2＝3))，則y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95，又因為水放完為止，所以時間為x≤eq\f(95,3)，又知x≥20，故解析式為y＝－3x＋95(20≤x≤eq\f(95,3))．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤eq\f(95,3))10．函數(shù)f(x)＝eq\r((1－a2)x2＋3(1－a)x＋6).(1)若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的定義域為[－2,1]，求實數(shù)a的值．解：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，(ⅰ)若a＝1時，f(x)＝eq\r(6)，定義域為R，符合題意；(ⅱ)當a＝－1時，f(x)＝eq\r(6x＋6)，定義域為[－1，＋∞)，不合題意．②若1－a2≠0，則g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6為二次函數(shù)．由題意知g(x)≥0對x∈R恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2>0，,Δ≤0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a<1，,(a－1)(11a＋5)≤0，))∴－eq\f(5,11)≤a<1.由①②可得－eq\f(5,11)≤a≤1.(2)由題意知，不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集為[－2,1]，顯然1－a2≠0且－2,1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的兩個根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2<0，,－2＋1＝\f(3(1－a),a2－1)，,－2＝\f(6,1－a2)，,Δ＝[3(1－a)]2－24(1－a2)>0))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1，,a＝2，,a＝±2.,a<－\f(5,11)或a>1))∴a＝2.11．已知f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且當x∈[－1,1]時，f(x)＝－x2＋1，求當x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)時、f(x)的解析式．解：由f(x＋2)＝f(x)，可推知f(x)是以2為周期的周期函數(shù)．當x∈[2k－1,2k＋1]時，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f(x－2k)＝－(x－2k)2＋1.又f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)，∴f(x)＝－(x－2k)2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z.12．在2008年11月4日珠海航展上，中國自主研制的ARJ21支線客機備受關注，接到了包括美國在內(nèi)的多國訂單．某工廠有216名工人接受了生產(chǎn)1000件該支線客機某零部件的總任務，已知每件零件由4個C型裝置和3個H型裝置配套組成，每個工人每小時能加工6個C型裝置或3個H型裝置．現(xiàn)將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置，設加工C型裝置的工人有x位，他們加工完C型裝置所需時間為g(x)，其余工人加工完H型裝置所需時間為h(x)．(單位：h，時間可不為整數(shù))(1)寫出g(x)，h(x)的解析式；(2)寫出這216名工人完成總任務的時間f(x)的解析式；(3)應怎樣分組，才能使完成總任務的時間最少？解：(1)g(x)＝eq\f(2000,3x)(0<x<216，x∈N*)，h(x)＝eq\f(1000,216－x)(0<x<216，x∈N*)．(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2000,3x)(0<x≤86，x∈N*).,\f(1000,216－x)(87≤x<216，x∈N*).))(3)分別為86、130或87、129.第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性A組1．(2009年高考福建卷改編)下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)”的是________．①f(x)＝eq\f(1,x)②f(x)＝(x－1)2③f(x)＝ex④f(x)＝ln(x＋1)解析：∵對任意的x1，x2∈(0，＋∞)，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．答案：①2．函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如右圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0<a<1)的單調(diào)減區(qū)間是________．解析：∵0<a<1，y＝logax為減函數(shù)，∴l(xiāng)ogax∈[0，eq\f(1,2)]時，g(x)為減函數(shù)．由0≤logax≤eq\f(1,2)eq\r(a)≤x≤1.答案：[eq\r(a)，1](或(eq\r(a)，1))3．函數(shù)y＝eq\r(x－4)＋eq\r(15－3x)的值域是________．解析：令x＝4＋sin2α，α∈[0，eq\f(π,2)]，y＝sinα＋eq\r(3)cosα＝2sin(α＋eq\f(π,3))，∴1≤y≤2.答案：[1,2]4．已知函數(shù)f(x)＝|ex＋eq\f(a,ex)|(a∈R)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍__．解析：當a<0，且ex＋eq\f(a,ex)≥0時，只需滿足e0＋eq\f(a,e0)≥0即可，則－1≤a<0；當a＝0時，f(x)＝|ex|＝ex符合題意；當a>0時，f(x)＝ex＋eq\f(a,ex)，則滿足f′(x)＝ex－eq\f(a,ex)≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需滿足a≤(e2x)min成立即可，故a≤1，綜上－1≤a≤1.答案：－1≤a≤15．(原創(chuàng)題)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x，都有f(x)≥M(M為常數(shù))，稱M為f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下確界，下列函數(shù)中，有下確界的所有函數(shù)是________．①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1(x>0),0(x＝0),－1(x<－1)))解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下確界為－1，即f(x)＝sinx是有下確界的函數(shù)；∵f(x)＝lgx的值域為(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx沒有下確界；∴f(x)＝ex的值域為(0，＋∞)，∴f(x)＝ex的下確界為0，即f(x)＝ex是有下確界的函數(shù)；∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1(x>0),0(x＝0),－1(x<－1)))的下確界為－1.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1(x>0),0(x＝0),－1(x<－1)))是有下確界的函數(shù)．答案：①③④6．已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求實數(shù)b的取值范圍；(2)設F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍.解：(1)x∈R，f(x)<b·g(x)x∈R，x2－bx＋b<0Δ＝(－b)2－4b>0b<0或b>4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2①當Δ≤0即－eq\f(2\r(5),5)≤m≤eq\f(2\r(5),5)時，則必需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤0,－\f(2\r(5),5)≤m≤\f(2\r(5),5)))－eq\f(2\r(5),5)≤m≤0.②當Δ>0即m<－eq\f(2\r(5),5)或m>eq\f(2\r(5),5)時，設方程F(x)＝0的根為x1，x2(x1<x2)，若eq\f(m,2)≥1，則x1≤0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≥1,F(0)＝1－m2≤0))m≥2.若eq\f(m,2)≤0，則x2≤0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤0,F(0)＝1－m2≥0))－1≤m<－eq\f(2\r(5),5).綜上所述：－1≤m≤0或m≥2.B組1．(2010年山東東營模擬)下列函數(shù)中，單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0]的是________．①y＝－eq\f(1,x)②y＝－(x－1)③y＝x2－2④y＝－|x|解析：由函數(shù)y＝－|x|的圖象可知其增區(qū)間為(－∞，0]．答案：④2．若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，由題知g(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，且g∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤2，,4－2a＋3a>0，))∴－4<a≤4.答案：－4<a≤43．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)在(eq\f(3,4)，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍__．解析：∵f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)在(eq\r(a)，＋∞)上為增函數(shù)，∴eq\r(a)≤eq\f(3,4)，0<a≤eq\f(9,16).答案：(0，eq\f(9,16)]4．(2009年高考陜西卷改編)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0，則下列結論正確的是________．①f(3)<f(－2)<f(1)②f(1)<f(－2)<f(3)③f(－2)<f(1)<f(3)④f(3)<f(1)<f(－2)解析：由已知eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得f(2)＝f(－2)，即f(3)<f(－2)<f(1)．答案：①5．(2010年陜西西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax(x<0)，,(a－3)x＋4a(x≥0)))滿足對任意x1≠x2，都有eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0成立，則a的取值范圍是________．解析：由題意知，f(x)為減函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a－3<0，,a0≥(a－3)×0＋4a，))解得0<a≤eq\f(1,4).6．(2010年寧夏石嘴山模擬)函數(shù)f(x)的圖象是如下圖所示的折線段OAB，點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(3,0)，定義函數(shù)g(x)＝f(x)·(x－1)，則函數(shù)g(x)的最大值為________．解析：g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x(x－1)(0≤x<1)，,(－x＋3)(x－1)(1≤x≤3)，))當0≤x<1時，最大值為0；當1≤x≤3時，在x＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模擬)已知定義域在[－1,1]上的函數(shù)y＝f(x)的值域為[－2,0]，則函數(shù)y＝f(coseq\r(x))的值域是________．解析：∵coseq\r(x)∈[－1,1]，函數(shù)y＝f(x)的值域為[－2,0]，∴y＝f(coseq\r(x))的值域為[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，則函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．解析：∵函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]，∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴當t＝1時，ymax＝13.答案：139．若函數(shù)f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在區(qū)間(0，eq\f(1,2))內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．解析：令μ＝2x2＋x，當x∈(0，eq\f(1,2))時，μ∈(0,1)，而此時f(x)>0恒成立，∴0<a<1.μ＝2(x＋eq\f(1,4))2－eq\f(1,8)，則減區(qū)間為(－∞，－eq\f(1,4))．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－eq\f(1,2).∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－eq\f(1,2))．答案：(－∞，－eq\f(1,2))10．試討論函數(shù)y＝2(logeq\f(1,2)x)2－2logeq\f(1,2)x＋1的單調(diào)性．解：易知函數(shù)的定義域為(0，＋∞)．如果令u＝g(x)＝logeq\f(1,2)x，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函數(shù)y＝f[g(x)]是由g(x)與f(u)復合而成的復合函數(shù)，而u＝logeq\f(1,2)x在x∈(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，y＝2u2－2u＋1＝2(u－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)在u∈(－∞，eq\f(1,2))上是減函數(shù)，在u∈(eq\f(1,2)，＋∞)上是增函數(shù)．又u≤eq\f(1,2)，即logeq\f(1,2)x≤eq\f(1,2)，得x≥eq\f(\r(2),2)；u>eq\f(1,2)，得0<x<eq\f(\r(2),2).由此，從下表討論復合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性(0，eq\f(\r(2),2))(eq\f(\r(2),2)，＋∞)u＝logeq\f(1,2)xf(u)＝2u2－2u＋1y＝2(logeq\f(1,2)x)2－2logeq\f(1,2)x＋1故函數(shù)y＝2(logeq\f(1,2)x)2－2logeq\f(1,2)x＋1在區(qū)間(0，eq\f(\r(2),2))上單調(diào)遞減，在區(qū)間(eq\f(\r(2),2)，＋∞)上單調(diào)遞增．11．(2010年廣西河池模擬)已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則eq\f(x1,x2)>1，由于當x>1時，f(x)<0，所以f(eq\f(x1,x2))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．(3)由f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)得f(eq\f(9,3))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f(|x|)<f(9)，得|x|>9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集為{x|x>9或x<－9}．12．已知：f(x)＝log3eq\f(x2＋ax＋b,x)，x∈(0，＋∞)，是否存在實數(shù)a，b，使f(x)同時滿足下列三個條件：(1)在(0,1]上是減函數(shù)，(2)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，說明理由．解：∵f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴x＝1時，f(x)最小，log3eq\f(1＋a＋b,1)＝1.即a＋b＝2.設0＜x1＜x2≤1，則f(x1)＞f(x2)．即eq\f(x12＋ax1＋b,x1)＞eq\f(x22＋ax2＋b,x2)恒成立．由此得eq\f((x1－x2)(x1x2－b),x1x2)＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1.設1≤x3＜x4，則f(x3)＜f(x4)恒成立．∴eq\f((x3－x4)(x3x4－b),x3x4)＜0恒成立．∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同時滿足三個條件．第三節(jié)函數(shù)的性質(zhì)A組1．設偶函數(shù)f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(b＋2)的大小關系為________．解析：由f(x)為偶函數(shù)，知b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以0<a<1,1<a＋1<2，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(a＋1)>f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)2．(2010年廣東三校模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．解析：f(x)為奇函數(shù)，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期為2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)?f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：03．(2009年高考山東卷改編)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則f(－25)、f(11)、f(80)的大小關系為________．解析：因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因為f(x)在R上是奇函數(shù)，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：f(－25)<f(80)<f(11)4．(2009年高考遼寧卷改編)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)增加，則滿足f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x取值范圍是________．解析：由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x－1|)<f(eq\f(1,3))，再根據(jù)f(x)的單調(diào)性得|2x－1|<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).答案：(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))5．(原創(chuàng)題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，當f(－3)＝－2時，f(2011)的值為________．解析：因為定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－26．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T＝5，函數(shù)y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x＝2時函數(shù)取得最小值－5.(1)證明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．解：(1)證明：∵f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，又∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0.(2)當x∈[1,4]時，由題意可設f(x)＝a(x－2)2－5(a>0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．(3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，∴可設f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴當0≤x≤1時，f(x)＝－3x，從而當－1≤x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1時，f(x)＝－3x.∴當4≤x≤6時，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.當6<x≤9時，1<x－5≤4，∴f(x)＝f(x－5)＝2[(x－5)－2]2－5＝2(x－7)2－5.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋15，4≤x≤6,2(x－7)2－5，6<x≤9)).B組1．(2009年高考全國卷Ⅰ改編)函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，則下列結論正確的是________．①f(x)是偶函數(shù)②f(x)是奇函數(shù)③f(x)＝f(x＋2)④f(x＋3)是奇函數(shù)解析：∵f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函數(shù)f(x)關于點(1,0)，及點(－1,0)對稱，函數(shù)f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函數(shù)．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函數(shù)．答案：④2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f(x＋eq\f(3,2))，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________.解析：f(x)＝－f(x＋eq\f(3,2))?f(x＋3)＝f(x)，即周期為3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：03．(2010年浙江臺州模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)＝1，若將f(x)的圖象向右平移一個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________.解析：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，將f(x)的圖象向右平移一個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則滿足f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期為4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么關于x的不等式xf(x)<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，則在(0，＋∞)上f(x)是增函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)，又f(x)在R上是偶函數(shù)，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.從而可知x∈(－∞，－1)時，f(x)>0；x∈(－1,0)時，f(x)<0；x∈(0,1)時，f(x)<0；x∈(1，＋∞)時，f(x)>0.∴不等式的解集為(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．5．(2009年高考江西卷改編)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2009)＋f(2010)的值為________．解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0時f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期為2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江蘇蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，并且對于定義域內(nèi)任意的x，滿足f(x＋2)＝－eq\f(1,f(x))，若當2<x<3時，f(x)＝x，則f(2009.5)＝________.解析：由f(x＋2)＝－eq\f(1,f(x))，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)7．(2010年安徽黃山質(zhì)檢)定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，a]上是增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，當x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|時，則f(2a－x1)與f(x2解析：∵y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，∴y＝f(x＋a)的圖象關于y軸對稱，∴y＝f(x)的圖象關于x＝a對稱．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函數(shù)，∴f(x)在[a，＋∞)上是減函數(shù)．當x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|時，有a－x1<x2－a，即a<2a－x1<x2，∴f(2a－x1)>f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(8．已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，則實數(shù)a＝________.解析：當x≥0時，f(x)＝x(x＋1)>0，由f(x)為奇函數(shù)知x<0時，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－19．(2009年高考山東卷)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)．若方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析：因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函數(shù)圖象關于直線x＝2對稱且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)．又因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,0]上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1＜x2＜x3＜x4.由對稱性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.答案：-810．已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x∈(－∞，0)時，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．解：∵f(x)是奇函數(shù)，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.當x>0時，－x<0，由已知f(－x)＝xlg(2＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x)(x>0)．∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xlg(2－x)(x<0)，,－xlg(2＋x)(x≥0).))即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．11．已知函數(shù)f(x)，當x，y∈R時，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)如果x∈R＋，f(x)<0，并且f(1)＝－eq\f(1,2)，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．解：(1)證明：∴函數(shù)定義域為R，其定義域關于原點對稱．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y(tǒng)＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(2)法一：設x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．∵x∈R＋，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)<f(x)．∵x＋y>x，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．又∵f(x)為奇函數(shù)，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．∵f(1)＝－eq\f(1,2)，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.法二：設x1<x2，且x1，x2∈R.則f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減．∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．∵f(1)＝－eq\f(1,2)，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.12．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當0≤x≤1時，f(x)＝eq\f(1,2)x，求使f(x)＝－eq\f(1,2)在[0,2010]上的所有x的個數(shù)．解：(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．(2)當0≤x≤1時，f(x)＝eq\f(1,2)x，設－1≤x≤0，則0≤－x≤1，∴f(－x)＝eq\f(1,2)(－x)＝－eq\f(1,2)x.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－eq\f(1,2)x，即f(x)＝eq\f(1,2)x.故f(x)＝eq\f(1,2)x(－1≤x≤1)又設1<x<3，則－1<x－2<1，∴f(x－2)＝eq\f(1,2)(x－2)，又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)，∴f(x)＝－eq\f(1,2)(x－2)(1<x<3)．∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x(－1≤x≤1),－\f(1,2)(x－2)(1<x<3)))由f(x)＝－eq\f(1,2)，解得x＝－1.∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．故f(x)＝－eq\f(1,2)的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2010，則eq\f(1,4)≤n≤502eq\f(3,4)，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0,2010]上共有502個x使f(x)＝－eq\f(1,2).第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)第一節(jié)指數(shù)函數(shù)A組1．(2010年黑龍江哈爾濱模擬)若a>1，b<0，且ab＋a－b＝2eq\r(2)，則ab－a－b的值等于________．解析：∵a>1，b<0，∴0<ab<1，a－b>1.又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.答案：－22．已知f(x)＝ax＋b的圖象如圖所示，則f(3)＝________.解析：由圖象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝eq\r(3)，則f(3)＝(eq\r(3))3－3＝3eq\r(3)－3.答案：3eq\r(3)－33．函數(shù)y＝(eq\f(1,2))2x－x2的值域是________．解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴(eq\f(1,2))2x－x2≥eq\f(1,2).答案：[eq\f(1,2)，＋∞)4．(2009年高考山東卷)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)就是函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝x＋a交點的個數(shù)，由函數(shù)的圖象可知a>1時兩函數(shù)圖象有兩個交點，0<a<1時兩函數(shù)圖象有惟一交點，故a>1.答案：(1，+∞)5．(原創(chuàng)題)若函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實數(shù)a等于________．解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,a2－1＝0,a0－1＝2))無解或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,a0－1＝0,a2－1＝2))?a＝eq\r(3).答案：eq\r(3)6．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝eq\f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．解：(1)因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即eq\f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1.從而有f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋a).又由f(1)＝－f(－1)知eq\f(－2＋1,4＋a)＝－eq\f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.(2)法一：由(1)知f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)，由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0?f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，從而Δ＝4＋12k<0，解得k<－eq\f(1,3).法二：由(1)知f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋2)，又由題設條件得eq\f(－2t2－2t＋1,2t2－2t＋1＋2)＋eq\f(－22t2－k＋1,22t2－k＋1＋2)<0即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0整理得23t2－2t－k>1，因底數(shù)2>1，故3t2－2t－k>0上式對一切t∈R均成立，從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－eq\f(1,3).B組1．如果函數(shù)f(x)＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，那么一定有________．①0<a<1且b>0②0<a<1且0<b<1③a>1且b<0④a>1且b>0解析：當0<a<1時，把指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax的圖象向下平移，觀察可知－1<b－1<0，即0<b<1.答案：②2．(2010年保定模擬)若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝(a＋1)1－x在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上為減函數(shù)，又f(x)，g(x)都在[1,2]上為減函數(shù)，所以需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1,a＋1>1))?0<a≤1.答案：(0,1]3．已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且滿足以下條件①f(x)＝ax·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若eq\f(f(1),g(1))＋eq\f(f(－1),g(－1))＝eq\f(5,2)，則a等于________．解析：由f(x)＝ax·g(x)得eq\f(f(x),g(x))＝ax，所以eq\f(f(1),g(1))＋eq\f(f(－1),g(－1))＝eq\f(5,2)?a＋a－1＝eq\f(5,2)，解得a＝2或eq\f(1,2).答案：2或eq\f(1,2)4．(2010年北京朝陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，其反函數(shù)為f－1(x)．若f(2)＝9，則f－1(eq\f(1,3))＋f(1)的值是________．解析：因為f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，則f(x)＝3x＝eq\f(1,3)，∴x＝－1，故f－1(eq\f(1,3))＝－1.又f(1)＝3，所以f－1(eq\f(1,3))＋f(1)＝2.答案：25．(2010年山東青島質(zhì)檢)已知f(x)＝(eq\f(1,3))x，若f(x)的圖象關于直線x＝1對稱的圖象對應的函數(shù)為g(x)，則g(x)的表達式為________．解析：設y＝g(x)上任意一點P(x，y)，P(x，y)關于x＝1的對稱點P′(2－x，y)在f(x)＝(eq\f(1,3))x上，∴y＝(eq\f(1,3))2－x＝3x－2.答案：y＝3x－2(x∈R)6．(2009年高考山東卷改編)函數(shù)y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)的圖象大致為________．解析：∵f(－x)＝eq\f(e－x＋ex,e－x－ex)＝－eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，排除④.又∵y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)＝eq\f(e2x＋1,e2x－1)＝eq\f(e2x－1＋2,e2x－1)＝1＋eq\f(2,e2x－1)在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是減函數(shù)，排除②、③.答案：①7．(2009年高考遼寧卷改編)已知函數(shù)f(x)滿足：當x≥4時，f(x)＝(eq\f(1,2))x；當x<4時，f(x)＝f(x＋1)，則f(2＋log23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2.∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝(eq\f(1,2))log224＝2－log224＝2log2eq\f(1,24)＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)8．(2009年高考湖南卷改編)設函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(x)，f(x)≤K，,K，f(x)>K.))取函數(shù)f(x)＝2－|x|，當K＝eq\f(1,2)時，函數(shù)fK(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．解析：由f(x)＝2－|x|≤eq\f(1,2)得x≥1或x≤－1，∴fK(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－|x|，x≥1或x≤－1，,\f(1,2)，－1<x<1.))則單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．函數(shù)y＝2|x|的定義域為[a，b]，值域為[1,16]，當a變動時，函數(shù)b＝g(a)的圖象可以是________．解析：函數(shù)y＝2|x|的圖象如圖．當a＝－4時，0≤b≤4，當b＝4時，－4≤a≤0，答案：②10．(2010年寧夏銀川模擬)已知函數(shù)f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為14，求實數(shù)a的值．解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，(1)當0<a<1時，a≤ax≤eq\f(1,a)，∴當ax＝eq\f(1,a)時，f(x)取得最大值．∴(eq\f(1,a)＋1)2－2＝14，∴eq\f(1,a)＝3，∴a＝eq\f(1,3).(2)當a>1時，eq\f(1,a)≤ax≤a，∴當ax＝a時，f(x)取得最大值．∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.綜上可知，實數(shù)a的值為eq\f(1,3)或3.11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(－2,2x－a＋1).(1)求證：f(x)的圖象關于點M(a，－1)對稱；(2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)證明：設f(x)的圖象C上任一點為P(x，y)，則y＝－eq\f(2,2x－a＋1)，P(x，y)關于點M(a，－1)的對稱點為P′(2a－x，－2－y∴－2－y＝－2＋eq\f(2,2x－a＋1)＝eq\f(－2·2x－a,2x－a＋1)＝eq\f(－2,1＋2－(x－a))＝eq\f(－2,2(2a－x)－a＋1)，說明點P′(2a－x，－2－y)也在函數(shù)y＝eq\f(－2,2x－a＋1)的圖象上，由點P的任意性知，f(x)的圖象關于點M(a，－1)對稱．(2)由f(x)≥－2x得eq\f(－2,2x－a＋1)≥－2x，則eq\f(2,2x－a＋1)≤2x，化為2x－a·2x＋2x－2≥0，則有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，則有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的對稱軸在t＝0的左側，∴g(t)在t≥2a上為增函數(shù)．∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，則12．(2008年高考江蘇)若f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2為常數(shù)，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1(x)，f1(x)≤f2(x)，,f2(x)，f1(x)>f2(x).))(1)求f(x)＝f1(x)對所有實數(shù)x成立的充要條件(用p1、p2表示)；(2)設a，b是兩個實數(shù)，滿足a<b，且p1、p2∈(a，b)．若f(a)＝f(b)，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為eq\f(b－a,2)(閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n－m)．解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立?f1(x)≤f2(x)?3|x－p1|≤2·3|x－p2|?3|x－p1|－|x－p2|≤2?|x－p1|－|x－p2|≤log32.(*)若p1＝p2，則(*)?0≤log32，顯然成立；若p1≠p2，記g(x)＝|x－p1|－|x－p2|，當p1>p2時，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p1－p2，x<p2，,－2x＋p1＋p2，p2≤x≤p1，,p2－p1，x>p1.))所以g(x)max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32.當p1<p2時，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p1－p2，x<p1；,2x－p1－p2，p1≤x≤p2；,p2－p1，x>p2.))所以g(x)max＝p2－p1，故只需p2－p1≤log32.綜上所述，f(x)＝f1(x)對所有實數(shù)x成立的充要條件是|p1－p2|≤log32.(2)證明：分兩種情形討論．