第十八章平行四邊形微專題-動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題訓(xùn)練2（人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)）

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形微專題——?jiǎng)狱c(diǎn)問(wèn)題訓(xùn)練2如圖，?ABC中，點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線EF/?/BC，交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角∠ACD平分線于點(diǎn)F．

(1)請(qǐng)說(shuō)明：PE=PF；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？為什么？2.如圖，已知在?ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P在AD邊上，以每秒0.5cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．(1)如圖?①，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若CP平分∠BCD，且滿足CD=CP，求∠B的度數(shù);(2)如圖?②，在(1)的條件下，連結(jié)BP并延長(zhǎng)與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連結(jié)AF，若AB=4cm，求△APF的面積．(3)如圖?③，另一動(dòng)點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒2cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在BC間往返運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)(同時(shí)Q點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng))，若AD=6cm，求當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．3.如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN?//?BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E．

(1)求證：EO=FO；(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；(3)若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論。4.如圖所示，在四邊形ABCD中，AD/?/BC，BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng).(當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng))

(1)幾秒后，四邊形ABQP為平行四邊形？并求出此時(shí)四邊形ABQP的周長(zhǎng)．(2)幾秒后，四邊形PDCQ為平行四邊形？并求出此時(shí)四邊形PDCQ的周長(zhǎng)．5.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為邊BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PF+PE的最小值．6.已知：如圖，在菱形ABCD中，AC=2，∠B=60°.點(diǎn)E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)，∠EAF=60°，AF與邊CD相交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF交對(duì)角線AC于點(diǎn)G.設(shè)CE=x，EG=y．

(1)求證：△AEF是等邊三角形；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

(3)點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EO，當(dāng)EG=EO時(shí)，求x的值．7.如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=3cm，AD=14cm，BC=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)，沿DA方向以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，以PDCB為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？8.如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒3cm的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2cm測(cè)得速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B處時(shí)，兩點(diǎn)均停止移動(dòng)

(1)P，Q兩點(diǎn)出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間，線段PQ的長(zhǎng)度為10cm？

(2)是否存在某一時(shí)刻，使四邊形PBCQ為正方形？若存在，求出該時(shí)刻；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與A，D重合)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分別為M，N.若AB=6，BC=8，求PM+PN的值．10.已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F，G，H分別是BC，BE，CE的中點(diǎn)，

(1)求證：△BGF≌△FHC；

(2)當(dāng)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EHFG是什么樣的特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論11.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH。

(1)求證：GF=GC；(2)猜想線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明。12.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AD=5?cm，BC=9?cm.M是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合)，連接PM并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．

(1)試說(shuō)明△PCM≌△QDM；(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B，C之間運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形？并說(shuō)明理由．13.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AD、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE=DF，BE交AF于點(diǎn)H，若AB=2，求線段DH的最小值．14.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠B=∠ACB=45°.點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.解答下面的問(wèn)題：

(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合)，如圖甲，CF、BD之間的關(guān)系為_(kāi)________；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖乙，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？為什么？15.如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(P與B、C不重合)，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q，將△BQC沿BQ所在的直線對(duì)折得到△BQC'，延長(zhǎng)QC'交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

(1)試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)AB=3，BP=2PC，求QM的長(zhǎng)；(3)當(dāng)BP=m，PC=n時(shí)，求AM的長(zhǎng)．16.在正方形ABCD中，如圖1，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合)，連接CE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)F．

(1)求證：△ABF≌△BCE．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，連接DG，若AB=2，求DG的長(zhǎng)．

參考答案1.解：

(1)∵CE平分∠BCA，

∴∠1=∠2，

∵EF/?/BC，

∴∠E=∠1，

∴∠E=∠2，

∴EP=PC，

同理PF=PC，

∴EP=PF；

(2)結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，

理由：

∵PA=PC，PE=PF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

又∵∠ECF=12∠BCD=90°，

∴平行四邊形AECF2.解析(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD/?/BC，∠B=∠D，∴∠DPC=∠PCB，∵CP平分∠BCD，∴∠PCD=∠PCB，∴∠DPC=∠DCP，∴DP=DC，又∵CD=CP，∴PC=CD=PD，∴△PDC是等邊三角形，∴∠B=∠D=60(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于H．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴CD=AB=4cm，由(1)知△PCD為等邊三角形，所以DH=1由勾股定理得CH=C∴S∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB/?/CD，BC//AD，AB=CD，∴S∴S∴S∴S(3)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD/?/BC，∴PD//BC．要使以P、D、Q、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則PD=BQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，?①當(dāng)0<t??3時(shí)，PD=6?0.5t，BQ=6?2t，∴6?0.5t=6?2t，解得t=0，不合題意，舍去;?②當(dāng)3<t??6時(shí)，PD=6?0.5t，BQ=2t?6，∴6?0.5t=2t?6，解得t=4.8;?③當(dāng)6<t??9時(shí)，PD=6?0.5t，BQ=18?2t，∴6?0.5t=18?2t，解得t=8;?④當(dāng)9<t??12時(shí)，PD=6?0.5t，BQ=2t?18，∴6?0.5t=2t?18，解得t=9.6．綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4.8秒或8秒或9.6秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

3.(1)證明∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵M(jìn)N/?/BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形．如圖AO=CO，EO=FO，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=1同理，∠ACF=1∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=1∴四邊形AECF是矩形．(3)△ABC是直角三角形：∵四邊形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵M(jìn)N/?/BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．

4.解：(1)設(shè)x

s后，四邊形ABQP為平行四邊形，

由題意易得2x=18?3x，

解得x=3.6．即3.6?s后，四邊形ABQP為平行四邊形，

此時(shí)四邊形ABQP的周長(zhǎng)是3.6×2×2+12×2=38.4(cm)．(2)設(shè)y?s后，四邊形PDCQ為平行四邊形．

由題意易得10?2y=3y，

解得y=2．

即2?s后，四邊形PDCQ為平行四邊形，

此時(shí)四邊形PDCQ的周長(zhǎng)是3×2×2+15×2=42(cm)．

5.解：作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'F，則E'F即為所求，

過(guò)F作FG⊥CD于G，

在Rt△E'FG中，

GE'=CD?BE?BF=4?1?2=1，GF=4，

所以E'F=FG26.(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AC=AB，

∴∠BAE+∠EAC=60°，

∵AB/?/CD，

∴∠BAC=∠ACF=60°，

∵∠EAF=60°，即∠EAC+∠CAF=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△AEB和△AFC中，

∠BAE=∠CAFAB=AC∠B=∠ACD，

∴△AEB≌△AFC(ASA)，

∴AE=AF，

∴△AEF為等邊三角形；

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，

∵△AEF為等邊三角形，

∴AE=EF=AH2+EH2，∠AEF=60°，

∵∠ABH=60°，

∴AH=32AB=3，BH=HC=1，

∴EH=|x?HC|=|x?1|，

∴EF=(3)2+(x?1)2=x2?2x+4，

∵∠AEF=∠B=60°，

∴∠CEG+∠AEB=∠AEB+∠BAE=120°，

∴∠CEG=∠BAE，

∵∠B=∠ACE=60°，

∴△BAE∽△CEG，

∴EGAE=ECAB，

∴EGx2?2x+4=x2，

∴y=EG=x2x2?2x+4(0<x<2)，

(3)解：∵AB=2，△ABC是等邊三角形，

∴AC=2，

∴OA=OC=1，

∵EG=EO，

∴∠EOG=∠EGO7.解：(1)當(dāng)PD=BC=10時(shí)，

∵四邊形PDCB是平行四邊形，

∴2t=10，

∴t=5．

∴當(dāng)t=5時(shí)，四邊形PDCB是平行四邊形；

(2)過(guò)C作CE⊥AD于E，

∴CE=AB=3．

ED=AD?BC=14?10=4．

①當(dāng)CP⊥AD，PD=4時(shí)，△PCD是直角三角形．

2t=4，解得t=2．

②當(dāng)CP⊥CD，設(shè)PE=x，CD=CE2+ED2=5，CP2=PE2+CE2=PD2?CD2

即x2+32=(x+4)8.解：(1)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CD于點(diǎn)H，

∴HQ=16?5t，

∴PQ2=PH2+HQ2，

即102=(16?5t)2+62，

解得：t1=85,t2=245，

答：P，Q兩點(diǎn)出發(fā)85或2459.解：連接OP．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，OA=12AC，OD=12BD，AC=BD．

∴OA=OD，AC=AB2+BC2=610.解：(1)∵點(diǎn)F，G，H分別是BC，BE，CE的中點(diǎn)，

∴FH//BE，F(xiàn)H=12BE，F(xiàn)H=BG，

∴∠CFH=∠FBG，

∵BF=FC，

∴△BGF≌△FHC(SAS)，

(2)當(dāng)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EHFG是菱形．

當(dāng)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，BE=CE，

∵BE=2FH，CE=2FG，

∴FH=FG，同理，EG=EH，

∵BE=2FH，BG=GE，

∴FH=GE，同理，F(xiàn)G=EH，

∴EH=HF=FG=GE，

∴四邊形11.證明：(1)如圖1，連接DF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠A=∠C=90°，

∵點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，

∴△ADE≌△FDE，

∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，

∴∠DFG=90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵DF=DCDG=DG，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)，

∴GF=GC；

(2)BH=2AE，理由是：

證法一：如圖2，在線段AD上截取AM，使AM=AE，

∵AD=AB，

∴DM=BE，

由(1)知：∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ADC=90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，

∴2∠2+2∠3=90°，

∴∠2+∠3=45°，

即∠EDG=45°，

∵EH⊥DE，

∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，

∴∠1=∠BEH，

在△DME和△EBH中，

∵DM=BE∠1=∠BEHDE=EH，

∴△DME≌△EBH，

∴EM=BH，

Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，

∴EM=2AE，

∴BH=2AE；

證法二：如圖3，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥AB于N，

∴∠ENH=90°，

由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，

在△DAE和△ENH中，

∵∠A=∠ENH∠1=∠NEHDE=EH，

∴△DAE≌△ENH，

∴AE=HN，AD=EN，

∵AD=AB，

∴AB=EN=AE+BE=BE+BN12.(1)證明：∵AD/?/BC

∴∠QDM=∠PCM

∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，

∴DM=CM，

∵∠DMQ=∠CMP，

在△PCM和△QDM中

∵∠QDM=∠PCMDM=CM∠DMQ=∠CMP，

∴△PCM≌△QDM(ASA)．

(2)解：當(dāng)四邊形ABPQ是平行四邊形時(shí)，PB=AQ，

∵BC?CP=AD+QD，

∴9?CP=5+CP，

∴CP=(9?5)÷2=2．

∴當(dāng)PC=213.解：取AB的中點(diǎn)O，連接OH，OD，如圖所示，∵∠AHB=90°，∴OH=1∵OD=2當(dāng)O，D，H三點(diǎn)重合時(shí)，在一條直線上時(shí)，DH長(zhǎng)度最小，線段DH長(zhǎng)度的最小值是5?1

14.解：(1)垂直，相等；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①中的結(jié)論仍成立．

理由：∵四邊形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∴∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF,

∴△BAD≌△CAF(SAS)，

∴CF=BD，

∴∠B=∠ACF，

∵∠B+∠BCA=90°，

∴∠BCA+∠ACF=90°，

15.解：(1)AP=BQ．

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，

∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

∠PAB=∠CBQAB=BC∠ABP=∠BCQ，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP=BQ；

(2)過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方