數(shù)列求和的基本方法和技巧

2021/5/91數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.2021/5/92一.公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式③④⑤2021/5/93例1：求和：2021/5/94[例1]

已知

，求

的前n項(xiàng)和由等比數(shù)列求和公式得2021/5/95錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法.既{anbn}型等差等比2021/5/962．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.【錯(cuò)位相減法】設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＝n·2n，則Sn＝2021/5/97[例4]

求數(shù)列

前n項(xiàng)的和解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)

…………………①………………②

（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得∴2021/5/982023/5/129已知數(shù)列2021/5/992023/5/1210解：第一步，寫(xiě)出該數(shù)列求和的展開(kāi)等式第二步，上式左右兩邊乘以等比數(shù)列公比2021/5/9102023/5/1211第三步，兩式進(jìn)行錯(cuò)位相減得：化簡(jiǎn)整理得:2021/5/911解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)………②

（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得

（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：

∴

[例3]求和：

………①2021/5/912

2.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.變式探究2021/5/913

2．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①2021/5/914(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1兩式相減，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，2021/5/9152021/5/9162021/5/917(12分)(2010·四川高考)已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.2021/5/9182021/5/9193．(2012·“江南十?！甭?lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a1>0，

n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中項(xiàng)為16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；2021/5/920解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意可得a3＝16，∵a3－a2＝8，則a2＝8，∴q＝2.∴an＝2n＋1.2021/5/9212021/5/9222023/5/12231、2、已知數(shù)列求該數(shù)列的前n項(xiàng)和。2021/5/923四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.2021/5/924

cn=an+bn({an}、{bn}為等差或等比數(shù)列。）項(xiàng)的特征反思與小結(jié)：要善于從通項(xiàng)公式中看本質(zhì)：一個(gè)等差{n}＋一個(gè)等比{2n}，另外要特別觀察通項(xiàng)公式，如果通項(xiàng)公式?jīng)]給出，則有時(shí)我們需求出通項(xiàng)公式，這樣才能找規(guī)律解題.分組求和法2021/5/925

,

+

n

11.求數(shù)列

+

2

3

,

+的前n項(xiàng)和。

,

2

2

2

,

3

2

n

2

+

1

2

3

n解：

=(1+2+3+…+n)

Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+

)

2

2

3

2

ｎ

2

+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分組求和法2021/5/926例5.求下面數(shù)列的前n項(xiàng)和

2021/5/927解（1）：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

2021/5/928[例7]

求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…

解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得（分組）

當(dāng)a＝1時(shí)，＝（分組求和）

當(dāng)時(shí)，＝2021/5/929n個(gè)2021/5/930[例8]

求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.解：設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Sn＝（分組）

2021/5/9312求數(shù)列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10，…，前n項(xiàng)和Sn.2∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)]∴Sn＝a1＋a2＋…＋an點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用分組求和法數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意先考慮通項(xiàng)公式．解析2021/5/932例6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重組轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)數(shù)列并項(xiàng)求和2021/5/933練習(xí)：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-212021/5/934五.相間兩項(xiàng)成等差等比綜合2021/5/9352021/5/936∴{an}是等差數(shù)列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),則an=_______解:n=m=1時(shí)，a2

=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1時(shí),由an+am=an+m得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，則bn=_____________解：n=m=1時(shí)，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1時(shí),由bnbm=bn+m得bn+1=bn·

b1=2bn，故{bn}是首項(xiàng)為b1=2，公比為q=2的等比數(shù)列，bn=2·2n-1=2n

2n

練習(xí)2021/5/937列項(xiàng)求和法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱(chēng)為分裂通項(xiàng)法.（見(jiàn)到分式型的要往這種方法聯(lián)想）2021/5/938求數(shù)列前n項(xiàng)和方法之一：裂項(xiàng)相消法2021/5/9391．特別是對(duì)于，其中是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，通常用裂項(xiàng)相消法，即利用(其中d＝an＋1－an)．2021/5/940常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：2021/5/941常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式有：2021/5/942練習(xí)：求和裂項(xiàng)法求和提示：∴2021/5/9432021/5/944[例9]]

在數(shù)列{an}中，，又求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和

解：∵∴（裂項(xiàng)）

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和＝＝2021/5/9452021/5/9462021/5/9472021/5/948七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.2021/5/949例7：已知數(shù)列5，55，555，5555，…求滿(mǎn)足前4項(xiàng)條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式。練習(xí)：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+

……+(1+2+22+……+2n-1)通項(xiàng)分析求和通項(xiàng)=2n-12021/5/950先求通項(xiàng)再處理通項(xiàng)2021/5/9512021/5/9522021/5/953[例14]

求之和.解：由于（找通項(xiàng)及特征）

∴＝2021/5/954[例15]

已知數(shù)列{an}：的值.解：∵

（找通項(xiàng)及特征）

（設(shè)制分組）

（裂項(xiàng)）

∴（分組、裂項(xiàng)求和）

2021/5/955綜合練習(xí)2021/5/9562021/5/9572021/5/9582021/5/959解：(1)證明：由題意得2bn＋1＝bn＋1，∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．又∵a1＝2b1＋1＝1，∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.故數(shù)列{bn＋1}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．2021/5/9602021/5/9612021/5/962