第7講高二數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽專(zhuān)題訓(xùn)練-等比數(shù)列（原卷版）

第7講高二數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽專(zhuān)題訓(xùn)練——等比數(shù)列【題型目錄】模塊一：易錯(cuò)試題精選模塊二：培優(yōu)試題精選模塊三：名校競(jìng)賽試題精選【典型例題】模塊一：易錯(cuò)試題精選1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若是和的等差中項(xiàng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為（

）A．32 B．16 C．128 D．643．設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值4．已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)積為32，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．在數(shù)列中，，，則（

）A．958 B．967 C．977 D．9976．已知，，實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．若正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．8．（多選題）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，公比，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則必有 B．若，則必有是中最大的項(xiàng)C．若，則必有 D．若，則必有9．（多選題）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，并滿足條件a1＞1，T10＝T20，下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)2021＜a2022 B．a(chǎn)10a20－1＞0C．當(dāng)n＝15時(shí)，Tn取到最大值 D．當(dāng)n≥31時(shí)，Tn＜110．（多選題）已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)積為，若，，，則下列結(jié)論正確的是(

)A． B．C．是中最小的項(xiàng) D．使成立的的最大值為1711．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列且公比.數(shù)列和數(shù)列的前和分別為和，且滿足，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.12．試寫(xiě)出一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，同時(shí)滿足①；②數(shù)列單調(diào)遞減；③數(shù)列不具有單調(diào)性，則當(dāng)時(shí)，__________.13．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則______．14．正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)使得，且，則最小值____.15．記，．若數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的前200項(xiàng)的和為_(kāi)________．16．已知數(shù)列，滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積.17．已知數(shù)列滿足：，．(1)求，；(2)設(shè)，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和．18．已知等比數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的公比______；______.模塊二：培優(yōu)試題精選1．已知表示大于的最小整數(shù)，例如，，下列命題中正確的是（

）①函數(shù)的值域是；②若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列；③若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；④若，則方程有2022個(gè)解.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，前n項(xiàng)的積是，n為正整數(shù)，則以下命題正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）若是等比數(shù)列，且數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，則（2）若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列（3）若是等差數(shù)列，則一定是等差數(shù)列（4）若為嚴(yán)格增數(shù)列，且每一項(xiàng)均為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)符合條件的數(shù)列只有一個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列，滿足，且存在正整數(shù)，使、、成等比數(shù)列，則公差的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．無(wú)窮多4．已知是直角三角形，是直角，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為．若，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列存在最大項(xiàng) D．?dāng)?shù)列存在最小項(xiàng)5．（多選題）將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：……已知從第二行開(kāi)始每一行比上一行多兩項(xiàng)，第一列數(shù)成等差數(shù)列，且．從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則（）A． B．在第85列 C． D．6．（多選題）對(duì)于數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，成等差，則也成等差B．若數(shù)列為等比數(shù)列，則C．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則使得的最小的值為13D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列7．（多選題）已知數(shù)列，均為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為和，若數(shù)列是3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．8．（多選題）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和9．（多選題）已知數(shù)列滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足（是常數(shù)，），，且，則_________.11．已知等比數(shù)列的公比為q，且，能使不等式成立最大正整數(shù)_______________．12．已知三角形數(shù)表：現(xiàn)把數(shù)表按從上到下、從左到右的順序展開(kāi)為數(shù)列，記此數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則的最小值是_____．13．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為2的等差數(shù)列.(1)求證為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.14．已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“中程數(shù)數(shù)列”.若（且），求所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì).15．已知公差為d的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令，抽去數(shù)列的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)、……、第3n項(xiàng)、……余下的項(xiàng)的順序不變，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上．設(shè)外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，往里第二個(gè)正方形為，…，往里第個(gè)正方形為．那么第7個(gè)正方形的周長(zhǎng)是____________，至少需要前____________個(gè)正方形的面積之和超過(guò)2．（參考數(shù)據(jù)：，）．模塊三：名校競(jìng)賽試題精選1．（2022·四川·樹(shù)德中學(xué)高一競(jìng)賽）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2019·安徽·高一競(jìng)賽（文））若數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足：，，函數(shù)，則A． B． C． D．3．（2000·全國(guó)·高三競(jìng)賽）給定正數(shù)，其中，若是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，則一元二次方程(

)A．無(wú)實(shí)根 B．有兩個(gè)相等實(shí)根 C．有兩個(gè)同號(hào)相異實(shí)根 D．有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根4．（2016·河南·高三競(jìng)賽）正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)使得，且，則的最小值是A． B．2 C． D．5．（2022·浙江麗水·高三競(jìng)賽）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)、使得，則的最小值為_(kāi)_________.6．（2020·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在等比數(shù)列中，，則的值為_(kāi)_______．7．（2003·北京·高一競(jìng)賽）若三角形三邊成等比數(shù)列，則公比q的范圍是_____.8．（2019·浙江省余姚市第四中學(xué)高一競(jìng)賽）數(shù)列滿足，且x1+x2+……+x100=100，則lg(x101+x102+……+x200）=____．9．（2019·新疆·高三競(jìng)賽）已知數(shù)列：，，那么是該數(shù)列的第____________項(xiàng).10．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，.則滿足的最大正整數(shù)的值為11．（2014·江蘇·高三競(jìng)賽）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和，則的取值范圍__________．12．（2012·河南·高三競(jìng)賽）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，則2a8＋a7的最小值為_(kāi)_____.13．（2013·遼寧·高三競(jìng)賽）數(shù)列中，，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式___________．14．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求滿足以下條件的所有正整數(shù)n：（1）n至少有4個(gè)正因數(shù)；（2）若是n的所有正因數(shù)，，構(gòu)成等比數(shù)列.15．（2019·安徽·高一競(jìng)賽（文））記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）已知，求的最大值.16．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，且前項(xiàng)和為.（1）用表示；（2）是否存在自然數(shù)和，使得成立？17．（2018·黑龍江·高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.18．（2011·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，試比較與的大小.19．（2015·江蘇·高三