新人教A版高中數學必修二全冊同步課時分層練習

新人教A版高中數學必修二全冊同步課時分層練習

課時分層作業(yè)（一）棱柱、棱錐、棱臺的結構特征

（建議用時：45分鐘）

［基礎達標練］

一、選擇題

1.觀察如下所示的四個幾何體，其中判斷不正確的是（）

A.①是棱柱B.②不是棱錐

C.③不是棱錐D.④是棱臺

B［結合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺，③不是棱錐,

故B錯誤.］

2.下列說法正確的是（）

A.有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺

B.多面體至少有3個面

C.各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體

D.九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形

D［選項A錯誤，反例如圖①；一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個面，不存在

有3個面的多面體，所以選項B錯誤：選項C錯誤，反例如圖②，上、下底面是全等的菱形,

各側面是全等的正方形，它不是正方體；根據棱柱的定義，知選項D正確.］

①②

3.如圖所示都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是（）

A.①②B.②③

C.③④D.①④

B[在圖②③中，⑤不動，把圖形折起,則②⑤為對面，①④為對面，③⑥為對面，故

圖②③完全一樣，而①④則不同.]

4.如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水

形成的幾何體是（）

A.棱柱B.棱臺

C.棱柱與棱錐的組合體D.不能確定

A[如圖.因為有水的部分始終有兩個平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因

此是棱柱.]

5.用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀是（）

A.四邊形B.三角形

C.三角形或四邊形D.不可能為四邊形

C[按如圖①所示用一個平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個平面去

截三棱錐，截面是四邊形.]

①②

二、填空題

6.一棱柱有10個頂點，其所有的側棱長的和為60cm,則每條側棱長為cm.

12［該棱柱為五棱柱，共有5條側棱，每條側棱長都相等，所以每條側棱長為12cm.］

7.如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點/出發(fā)，圍著三棱柱的側

面爬行一周到達點4,則爬行的最短路程為.

B\C\D\

ABCD

Vio［將三棱柱沿力4展開如圖所示，則線段即為最短路線，即14=錯誤！=錯誤!.］

8.以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點，這樣可以把一個三棱臺分成個三棱錐.

3［如圖，三棱臺可分成三棱錐三棱錐如力即，三棱錐4484,三個.］

三、解答題

9.如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體的構成？有幾個面、幾個頂點、

幾條棱？

［解］這個幾何體是由兩個同底面的四棱錐組合而成的八面體，有8個面，都是全等的

正三角形：有6個頂點；有12條棱.

10.試從正方體46。48G〃的八個頂點中任取若干，連接后構成以下空間幾何體，并且

用適當的符號表示出來.

(1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐；

(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐；

（3）三棱柱.

［解］（1）如圖①所示，三棱錐4-4WK答案不唯一）.

⑵如圖②所示，三棱錐如/四（答案不唯一）.

（3）如圖③所示，三棱柱48。-｛切（答案不唯一）.

①②

③

［能力提升練］

1.由五個面圍成的多面體，其中上、下兩個面是相似三角形，其余三個面都是梯形，

并且這些梯形的腰延長后能相交于一點，則該多面體是（）

A.三棱柱B.三棱臺

C.三棱錐D.四棱錐

B［該多面體有三個面是梯形，而棱錐最多有一個面是梯形（底面），棱柱最多有兩個面

是梯形（底面），所以該多面體不是棱柱、棱錐，而是棱臺.三個梯形是棱臺的側面，另兩個

三角形是底面，所以這個棱臺是三棱臺.］

2.五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么

一個五棱柱的對角線共有條.

10［在上底面選一個頂點，同時在下底面選一個頂點，且這兩個頂點不在同一側面上，

這樣上底面每個頂點對應兩條對角線，所以共有10條.］

課時分層作業(yè)（二）旋轉體與簡單組合體的結構特征

（建議用時：45分鐘）

［基礎達標練］

一、選擇題

1.下列幾何體中是旋轉體的是（）

①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體.

A.①和⑤B.①

C.③和④D.①和④

D［根據旋轉體的概念可知，①和④是旋轉體.］

2.圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是（）

①②

A.圓錐、棱柱B.圓錐、棱錐

C.球、棱錐D.圓錐、圓柱

B［根據圖①的底面為圓，側面為扇形，得圖①折疊后的圖形是圓錐：根據圖②的底面

為三角形，側面均為三角形，得圖②折疊后的圖形是棱錐.］

3.圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是（）

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.頂角為30°等腰三角形D.其他等腰三角形

A［設圓錐底面圓的半徑為r,依題意可知2nr=n-f,則r=*故軸截面是邊長為飄

等邊三角形.］

4.如圖，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個組合體，其結構特征是（）

A.一個棱柱中挖去一個棱柱

B.一個棱柱中挖去一個圓柱

C.一個圓柱中挖去一個棱錐

D.一個棱臺中挖去一個圓柱

B［一個六棱柱挖去一個等高的圓柱，選B.］

5.用長為8,寬為4的矩形做側面圍成一個圓柱，則圓柱的軸截面的面積為（）

“32/68

A.32B.——jiC.—nD.一n

OQO

B［若8為底面周長，則圓柱的高為4,此時圓柱的底面直徑為三，其軸截面的面積為互；

432

若4為底面周長，則圓柱的高為8,此時圓柱的底面直徑為G，其軸截面的面積為反」

二、填空題

6.如圖是一個幾何體的表面展開圖形，則這個幾何體是

圓柱［一個長方形和兩個圓折疊后，能圍成的幾何體是圓柱.］

7.下列命題中錯誤的是

①過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑;

②母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等;

③圓臺所有平行于底面的截面都是圓面;

④圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形.

②［因為圓錐的母線長一定，根據三角形面積公式，當兩條母線的夾角為90°時，圓錐

的軸截面面積最大.］

8.一個半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4cm,則截面圓面

積為.cm2.

9n［設截面圓半徑為rem,則d+42=52,所以「=3.所以

截面圓面積為9“cm2.］

三、解答題

9.如圖所示，梯形46W中，AD//BC,且4X6G當梯形4版繞所在直線旋轉一周時,

其他各邊旋轉圍成了一個幾何體，試描述該幾何體的結構特征.

C

D

A

B

［解］如圖所示，旋轉所得的幾何體是一個圓柱挖去兩個圓錐后剩余部分構成的組合體.

10.一個圓臺的母線長為12cm,兩底面面積分別為4Jtcm，和25ncm：求:

(1)圓臺的高；

(2)截得此圓臺的圓錐的母線長.

［解］(1)圓臺的軸截面是等腰梯形/物(如圖所示).

下底面半徑/=5(cm),

又因為腰長為12cm,

所以高AM=y)l2--(5-2)2

⑵如圖所示，延長胡，oa,CD,交于點S,設截得此圓

7—122

臺的圓錐的母線長為/,則由△SIQs△皈可得一j一=?解得/=20(cm),即截得此

15

圓臺的圓錐的母線長為20cm.

［能力提升練］

1.如右圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體形狀為()

A.一個球體

B.一個球體中間挖出一個圓柱

C.一個圓柱

D.一個球體中間挖去一個長方體

B［圓旋轉一周形成球，圓中的矩形旋轉一周形成一個圓柱，所以選B.］

2.如圖所示，已知圓錐S。中，底面半徑r=l,母線長1=4,V為母線弘上的一個點，

且SM=x,從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點4則繩子的最短長度的平方式公=

M+16（0<X<4）［將圓錐的側面沿外展開在平面上，如圖所示,

則該圖為扇形，且弧人!’的長度/就是圓。的周長,

所以￡=2nr=2n,所以/4￡1/=丁:乂360°=,,2、乂360。=90°.

由題意知繩子長度的最小值為展開圖中的AM,其值為Y+16（0WXW4）.

所以/Xx）=加=1+16（0近后4）.］

課時分層作業(yè)（三）中心投影與平行投影空間幾何體的三視圖

（建議用時：45分鐘）

［基礎達標練］

一、選擇題

1.直線的平行投影可能是（）

A.點B.線段

C.射線D.曲線

A［直線的平行投影可能是直線也可能是點，故選A.］

2.下列說法錯誤的是（）

A.正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度

B.俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度

C.側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度

D.一個幾何體的正視圖和俯視圖高度一樣，正視圖和側視圖長度一樣，側視圖和俯視圖

寬度一樣

D［正視圖和俯視圖長度一樣；正視圖和側視圖高度一樣；側視圖和俯視圖寬度一樣.故

D不對.]

3.有下列說法：

①從投影的角度看，三視圖是在平行投影下畫出來的投影圖；

②平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點；

③空間圖形經過中心投影后，直線變成直線，平行線還是成平行的直線；

④空間幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式.

其中正確說法有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

C[由投影的知識知①②④正確.只有③錯誤，空間圖形經過中心投影后，直線變成直

線、平行線有可能變成了相交直線，綜上可知正確說法有3個，故選C.]

4.一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側視圖分別如圖所示，則該幾

何體的俯視圖為（）

C[正視圖中小長方形在左上方，對應俯視圖應該在左側，排除B,D,側視圖中小長方

形在右上方，排除A,故選C」

5.

/正視方向

B[從五棱柱左面看，是2個矩形，上面的小一點，故選B.]

二、填空題

6.如下圖，圖①②③是圖④表示的幾何體的三視圖，其中圖①是,圖②是

,圖③是(說出視圖名稱).

-1—\Pn印

①②③④

正視圖側視圖俯視圖［由幾何體的位置知，①為正視圖，②為側視圖，③為俯視圖.］

7.若線段平行于投影面，。是線段48上一點，且博=*點/，。，夕分別是4

A'0'

0,8在投影面上的投影點，則萬.

UD

~［由題意知B',00'//AA',00'//BB',則有幺，弁=".］

nUDUDn

8.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為.

正視圖側視圖

俯視圖

2?。塾扇晥D知可把四棱錐放在一個正方體內部，四棱錐為2仇笛旦，最長棱為DB尸

錯誤!=錯誤!=2錯誤!.

三、解答題

9.如圖所示的幾何體是由一個長方體木塊鋸成的.

(1)判斷該幾何體是否為棱柱;

(2)畫出它的三視圖.

［解］(1)是棱柱.因為該幾何體的前、后兩個面互相平行，其余各面都是矩形，而且相

鄰矩形的公共邊都互相平行.

(2)該幾何體的三視圖如圖：

口S

正視圖側視圖

俯視圖

10.某組合體的三視圖如圖所示，試畫圖說明此組合體的結構特征.

正視圖側視圖

俯視圖

［解］該三視圖表示的幾何體是由一個四棱柱和一個四棱臺拼接而成的組合體(如圖所

示).

［能力提升練］

1.如圖所示，畫出四面體4笈勿三視圖中的正視圖,以444〃為投影面，則得到的正視

圖可以為()

D......-_C

ABCD

A［顯然/瓜，AC,B\D\,勿分別投影得到正視圖的外輪廓，8c為可見實線，為不可

見虛線.故A正確.］

2.太陽光線與地面成60°的角，照射在地面上的一個皮球上，皮球在地面上的投影長是

1球，則皮球的直徑是.

\

乎=15.］

15［皮球的直徑d=10、履sin60°=10

課時分層作業(yè)（四）空間幾何體的直觀圖

（建議用時：45分鐘）

［基礎達標練］

一、選擇題

1.如圖，已知等腰三角形則如下所示的四個圖中，可能是的直觀圖的是（）

BAC

B'AC'BA'C'BK'CB'C'

①②③④

A.①②B.②③C.②④D.③④

D［原等腰三角形畫成直觀圖后，原來的腰長不相等，③④兩圖分別為在O'y'成

135°和45°的坐標系中的直觀圖.］

2.對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說,,下列描述不正確的是（）

A.三角形的直觀圖仍然是一個三角形

B.90°的角的直觀圖會變?yōu)?5°的角

C.與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

D.由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同

B[對于4根據斜二測畫法特點知，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直

觀圖仍是一個三角形，故A正確；對于反90°的角的直觀圖會變?yōu)?5°或135°的角，故B

錯誤；C,〃顯然正確.]

3.把△49C按斜二測畫法得到B'C（如圖所示），其中8,O'=C0'=1,4O'

=坐，那么是一個（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.三邊互不相等的三角形

A[根據斜二測畫法還原三角形在直角坐標系中的圖形，如圖所示:

由圖易得力^二比三/a？，故△4比為等邊三角形，故選A.]

4.一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一

樣，已知長方體的長、寬、高分別為20m、5m、10m,四棱錐的高為8m,若按1：500的

比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為（）

A.4cm,1cm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm

D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm

C[由比例尺可知長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為4cm,1cm,2cm和L6cm,

再結合斜二測畫法，可知直觀圖的相應尺寸應分別為4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.]

5.如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°,腰和上底均為1的等腰

梯形，那么原平面圖形的面積是（）

A.2+y[2B.

C.D.1+^2

A[畫出其相應平面圖易求，故選A.

二、填空題

6.斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點欣4,4)在直觀圖中的對應點是"，則

點"的坐標為.

〃(4,2)［在/軸的正方向上取點使。'M=4,在y'軸上取點助，使。極=2,

過M和助分別作平行于V軸和/軸的直線，則交點就是獷.］

7.水平放置的△力呢的斜二測直觀圖如圖所示，已知"C=3,B'C=2,則46邊

上的中線的實際長度為________.

2.5［由直觀圖知，由原平面圖形為直角三角形，且4。=/'C=3,BC=2B'C=4,

計算得H6=5,所求中線長為2.5.］

8.如圖所示，水平放置的△48。在直角坐標系中的直觀圖，其中。'是C的中點,

且//物30°,則原圖形中與線段物的長相等的線段有條.

2為直角三角形，因為。為4C中點，所以期=1/?=①所以與劭的長相等的線

段有2條.］

三、解答題

9.如圖，△/B'C是水平放置的平面圖形的直觀圖，試畫出原平面圖形△48C

［解］(1)畫法：過△,6'分別作V軸的平行線交/軸于〃'，E':

(2)在直角坐標系中.在x軸上取二點反D使OE=O'E',OD=O'D',再分別過

E,〃作y軸平行線，取EB=2FB',DC=2D'C.

連接陽OC,比即求出原△/比：

10.畫出底面是正方形，側棱均相等的四棱錐的直觀圖.

［解］(1)畫軸.畫x軸、了軸、z軸，使Nx(%=45°,NxOz=90°,如圖①.

(2)畫底面.以。為中心在刀行平面內畫出正方形水平放置的直觀圖ABCD.

⑶畫頂點.在龍軸上截取0尸，使。的長度是原四棱錐的高.

⑷成圖.連接必、PB、PC、PD,并擦去輔助線，得四棱錐的直觀圖如圖②.

［能力提升練］

1.已知兩個圓錐，底面重合在一起，其中一個圓錐頂點到底面的距離為2cm,另一個圓

錐頂點到底面的距離為3cm,則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為()

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm

D［由題意可知其直觀圖如下圖：

由圖可知兩個頂點之間的距離為5cm.故選D.］

2.已知用斜二測畫法，畫得的正方形的直觀圖面積為18^2,則原正方形的面積為

72［如圖所示，作出正方形的州的直觀圖O'A'B'C,作CD'J_*'軸于點。'.

S&觀圖=0'A'XCD'.又S正方彩=0CX0A.

所以石嬴一XC''又在Rt^O'D'C中，O'C=y[2CD',

即CD'=爺0'C,結合平面圖與直觀圖的關系可知OA^O'A',仇?=20'C,所

又S宜硒=1隊「，所以S￡方杉=2嫡XI隊「=72.］

課時分層作業(yè)（五）柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（建議用時：45分鐘）

［基礎達標練］

一、選擇題

1.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是

（）

A.4nB.3nC.2nD.n

C［底面圓半徑為1,高為1,側面積S=2滅9=2nX1X1=2”.故選C.］

2.已知高為3的直棱柱48G48G的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐5-48。的體

為

積

也

11乎

AB

4-2-6D.

D［由題意，錐體的高為闞底面為&械=彈，所以忌S/z=9X乎又3=坐］

4JJ44

3.如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4兀，那么圓柱的體積等于（）

A.nB.2nC.4nD.8n

B［設圓柱的底面半徑為r,則圓柱的母線長為2r,

由題意得S回柱傅=2nrX2r=4nd=4JI,所以「=1,所以，網枝=“/x2r=2"r：'=

2n.］

4.如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分

別為2和3,則該幾何體的體積為（）

A.5兀B.6兀C.20兀D.10n

D［用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為"X

22x5=20叫故所求幾何體的體積為10口.］

5.體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的

體積是（）

A.54B.54n

C.58D.58n

A［設上底面半徑為r,則由題意求得下底面半徑為3r,設圓臺高為人,則52="“力（產

O

+9r+3r,z）,

???3i/A=12.令原圓錐的高為力，

由相似得5=寧，

A=1AI,

1.39

?'?P原圓錐=耳兀（3B2XA=3nrX-//i=-X12=54.］

o乙乙

二、填空題

6.已知圓錐SO的高為4,體積為4”,則底面半徑r=.

?。墼O底面半徑為r,則;兀產義4=4”，解得2-=:，即底面半徑為嫡.］

7.已知一個圓臺的正視圖如圖所示，若其側面積為34n,則a的值為一.

2［圓臺的兩底面半徑分別為1,2,高為a,則母線長為行號，則其側面積等于兀（1

+2）?yj（1+a）=3#n,解得a2=4,所以a=2（舍去負值）.］

8.已知一個圓錐的側面展開圖為半圓，且面積為S,則圓錐的底面面積是.

京［如圖所示，設圓錐的底面半徑為r,母線長為1.

由題意，得'”一'解得

［n7=2nr,"

所以圓錐的底面面積為n產=1tx—］

三、解答題

9.若圓錐的表面積是15n，側面展開圖的圓心角是60°,求圓錐的體積.

［解］設圓錐的底面半徑為r,母線為1,

則2nr=；n1,得7=6r.

J

又Stn=B行+冗r?6r=7冗f=15打，得廠=\^^，

圓錐的高h=y［35?

12f115r-［1525A/3

V=-nfh=-nX—X^/35XA/—=—盧弘?

OO(II

10.在長方體/吃48中，截下一個棱錐G49，求棱錐G4ZW的體積與剩余部分

的體積之比.

［解］已知長方體可以看成直四棱柱，設它的底面/加M的面積為S,高為方，則它的體

積為V=Sh.

而棱錐C4如的底面積為gs,高為A,

故三棱錐G4a的體積為：e4如=芝?7=17?,

15

余下部分體積為：Sh—~Sh=^Sh.

66

所以棱錐G4如的體積與剩余部分的體積之比1:5.

［能力提升練］

1.三棱錐月48c中，D,6分別為陽，27的中點，記三棱錐小?解的體積為/,P-ABC

的體積為V,則行=_______.

2V2

；［如圖，設點C到平面為6的距離為方，三角形〃16的面積為S,則%匕=外被

O

1111b/1r

=-x-sx-h=—s/i,所以77=不］

oZZLZ/24

2.用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙

的最小面積是.

8［如圖①為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形,

再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方體，如圖②所示，由圖知正方形的邊長為2m,其

面積為8.］

課時分層作業(yè)（六）球的體積和表面積

（建議用時：45分鐘）

［基礎達標練］

一、選擇題

1.如果三個球的半徑之比是1：2：3,那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和

的/)

X(

59

倍

倍

-氏-

A.95C.2倍D.3倍

B［設小球半徑為1,則大球的表面積S大=36n,Sd、+S中=20n,^-=|.］

2.把半徑分別為6cm,8cm,10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球，這個大鐵球的半徑為

()

A.3cmB.6cm

C.8cmD.12cm

4444

D【由可”"=可”?63+TH?8J+W”7（）3,得〃=1728,檢驗知??=12.]

Oooo

3.將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積

為（）

A.2nB.3n

C.4nD.6n

B[由題意知，該幾何體為半球，表面積為大圓面積加上半個球面積，S=nXF+；

X4XJIXl2=3n.]

4.將棱長為2的正方體削成一個體積最大的球，則這個球的體積為（）

164n

A.—nB.-r-

32

C.-7-nD.4n

B[根據題意知，此球為正方體的內切球，所以球的直徑等于正方體的棱長，故r=l,

44

所以r=鼻"/=可頁.]

OM

5.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱

的體積為（）

3nJIn

A.aB.—C.—D.—

B[設圓柱的底面半徑為r,球的半徑為兄且火=1,由圓柱兩個底面的圓周在同一個球

的球面上可知，r,〃及圓柱的高的一半構成直角三角形.

33幾

，圓柱的體積為V=nrh=-nX1=—

故選B.]

二、填空題

6.若一個球的表面積與其體積在數值上相等，則此球的半徑為.

4

3[設此球的半徑為尼則4n好=金n川，仁3.]

o

7.如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中的數據可得該幾何體的表面積為—

33IT［由三視圖可知該幾何體是上面為半球，下面為圓錐的組合體，所以表面積S=g

X4nX32+nX3X5=33n.］

8.如圖，在圓柱QQ內有一個球0,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱QQ

的體積為一,球。的體積為v2,則W的值是.

3

-［設球。的半徑為此

?.,球。與圓柱4a的上、下底面及母線均相切，

二圓柱aa的高為2尺底面半徑為正

匕?2"31

，濟歹下」

三、解答題

9.某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r=l,

7=3,試求該組合體的表面積和體積.

［解］該組合體的表面積

5=4nr+2nrl=\JtXf+2nX1X3=10”.

44131t

該組合體的體積K=-JIr+itr7=-nX13+頁Xl2X3=^r-

JJo

10.已知過球面上4B,6?三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且48=18,BC

=24,力仁30,求球的表面積和體積.

［解］因為46：和：4C=18：24：30=3：4：5,

所以是直角三角形，/8=90°.

又球心。到截面△48。的投影0'為截面圓的圓心,

也即是Rt△4回的外接圓的圓心，

所以斜邊力。為截面圓。的直徑（如圖所示）,

設O'C=r,OC=R,

則球半徑為此截面圓半徑為八

1

Off

在Rtz^O'勿中，由題設知sin/。CO=—2-

所以N。'CO=30°,所以§=cos30°=g,即H=

K/

又2r=/C=30nr=15,代入（*）得K=10y/^.

所以球的表面積為S=4n#=4五義（10，5）2=1200n.

44lr-

球的體積為r=-n#=-JiX（l（h/3）3=4000\/3兀.

oo

［能力提升練］

1.如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側面積和球的表面積之

比為（）

A.4：3B.3：1C.3：2D.9：4

C［作圓錐的軸截面，如圖，設球半徑為此則圓錐的高分=3只圓錐底面半徑r=/兄

,,,,1,/（2、?Jirl”義布R,2m.3

則"+「）5R,所以飛丁=北花=一=5/

2.在封閉的直三棱柱484內有一個體積為夕的球.若AB工BC,48=6,BC=8,AAt

=3,則，的最大值是

9ji

—[當球的半徑最大時，球的體積最大,在直三棱柱內，當球和三個側面都相切時,

6+8—10

因為ABVBC,四=6,6c=8,所以然=10,底面的內切圓的半徑即為此時球的半徑r=---

3QT[

=2,直徑為4＞側棱.所以球的最大直徑為3,半徑為1此時體積眸〒.]

課時分層作業(yè)（七）平面

（建議用時：45分鐘）

[基礎達標練]

一、選擇題

1.已知點4直線a,平面明以下命題表述正確的個數是（）

①/IWa,②{Ca,aea=/《a；③A樂a,aua=A年a④/6a,

aua=4ua.

A.0B.1C.2D.3

A[①不正確，如an。=?、诓徽_，?；“aGa”表述錯誤；③不正確，如圖所示,

A年a,aua,但/d。；④不正確，“4ua”表述錯誤.]

2.下列命題中正確命題的個數是（）

①三角形是平面圖形；

②四邊形是平面圖形；

③四邊相等的四邊形是平面圖形；

④圓是平面圖形.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

B[根據公理2可知①④正確，②③錯誤.故選B.]

3.兩個平面若有三個公共點，則這兩個平面（）

A.相交B.重合

C.相交或重合D.以上都不對

C[若三點在同一條直線上，則這兩個平面相交或重合，若三點不共線，則這兩個平面

重合.］

4.如果空間四點4B,C,〃不共面，那么下列判斷中正確的是（）

A.A,B,C,〃四點中必有三點共線

B.A,B,C,。四點中不存在三點共線

C.直線48與切相交

D.直線AB與切平行

B［兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面，選B.］

5.三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數為（）

A.0B.1

C.0或1D.1或3

D［當三條直線是同一平面內的平行直線時，確定一個平面，當三條直線是三棱柱側棱

所在的直線時，確定三個平面，選D.］

二、填空題

6.設平面a與平面B相交于1,直線aua,直線伙：￡,aCb=M,則"1.

e［因為aCb—M,aua,bas，所以,J/ea,J/GB.又因為aCB=1,所以MG1.］

7.在長方體/188〃的所有棱中，既與4?共面，又與⑶共面的棱有______條.

5［由題圖可知，既與48共面又與8共面的棱有切、BC.BB、、44、G〃共5條.］

8.已知平面a與平面￡、平面/都相交，則這三個平面可能的交線有條.

1或2或3［當￡與y相交時，若。過￡與/的交線，有1條交線；若a不過8

與7的交線，有3條交線；當萬與y平行時，有2條交線.］

三、解答題

9.已知：A&l,B&l,C^l,L電1,如圖所示.

求證：直線/〃，BD,切共面.

［證明］因為上生/，所以/與〃可以確定平面

因為力e1,所以jea,

又。Ga,所以a.同理，琰七a,CIEa,

所以/〃，BD,5在同一平面。內，

即它們共面.

10.求證：三棱臺45%小三條側棱延長后相交于一點.

［證明］如圖，延長44,陽,

設44rl郎=只又班u面附，...PG面園，

AA\<z面AC\,二PG面4G,

：.P為平面BC\和面/G的公共點，

又；面用C面陽=4,

:.P《CC\,

即44,BB\,CG延長后交于一點￡

［能力提升練］

1.如圖，aCF=l,JGa,B,（生/,直線4DC1=D,過A、B、C三點確定的平

面為r，則平面y、￡的交線必過（）

A.點4B.點8

C.點C,但不過點〃D.點C和點〃

D［A、B、C確定的平面r與直線被和點。確定的平面重合，故c、〃W7,且C、oe尸，

故C,〃在y和￡的交線上.］

2.若直線/與平面。相交于點0,A,BWl,C,DWa,&AC〃BD,則“C,〃三點的

位置關系是

共線%做.MC與劭確定一個平面，記作平面￡,則aCB=CD.

V7na=o,：.oea.又YOJABaB,直線切,

：.O,C,〃三點共線.]

課時分層作業(yè)（八）空間中直線與直線之間的位置關系

（建議用時：45分鐘）

［基礎達標練］

一、選擇題

1.若a和6是異面直線，。和c是異面直線，則a和c的位置關系是（）

A.異面或平行