考研數(shù)學(xué)基本知識(shí)總結(jié)

第頁考研數(shù)學(xué)基本知識(shí)總結(jié)從最開始回憶基礎(chǔ)知識(shí)到掌握知識(shí)再到建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，這個(gè)過程是痛苦的，但也是開心的。知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)過程，在心理上要有韌性。文都〔考研〕我整理考研數(shù)學(xué)基本知識(shí)總結(jié)，一起來看吧。

考研數(shù)學(xué)基本知識(shí)總結(jié)(1)

高斯消元法中對(duì)線性方程組的初等變幻，就對(duì)應(yīng)的是矩陣的初等行變幻。階梯形方程組，對(duì)應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對(duì)其增廣矩陣做初等行變幻化為階梯形矩陣，求得解。

階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱為該行的主元。

對(duì)不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)〔有唯一解、無解、有無窮多解〕，再經(jīng)過嚴(yán)格證實(shí)，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變幻將方程組化為階梯形，假設(shè)得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng)，則方程組無解，假設(shè)未出現(xiàn)0=d一項(xiàng)，則方程組有解；在方程組有解的狀況下，假設(shè)階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，假設(shè)r在利用初等變幻得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這關(guān)于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前必須要經(jīng)過更多的初等變幻。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個(gè)人習(xí)慣。

常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)假設(shè)小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。

利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題。

〔1〕解的存在性問題。

〔2〕如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來的最基本理論。

關(guān)于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特別情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個(gè)線性方程組〔或矩陣〕的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號(hào)由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。

通過對(duì)行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)〔如交換某兩行其值反號(hào)、有兩行對(duì)應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等〕，這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。

用系數(shù)行列式可以推斷n個(gè)方程的n元線性方程組的解的狀況，這就是克萊姆法則。

總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特別情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。

考研數(shù)學(xué)基本知識(shí)總結(jié)(2)

一、數(shù)列極限的證實(shí)

數(shù)列極限的證實(shí)是數(shù)一、二的重點(diǎn)，特別是數(shù)二最近幾年考的非常頻繁，已經(jīng)考過好幾次大的證實(shí)題，一般大題中涉及到數(shù)列極限的證實(shí)，用到的方法是單調(diào)有界準(zhǔn)則。

二、微分中值定理的相關(guān)證實(shí)

微分中值定理的證實(shí)題歷來是考研的重難點(diǎn)，其考試特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，涉及到知識(shí)面廣，涉及到中值的等式主要是三類定理：

1.零點(diǎn)定理和介質(zhì)定理；

2.微分中值定理：包括羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用來處理高階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題，考查頻率底，所以以前兩個(gè)定理為主。

3.微分中值定理：積分中值定理的作用是為了去掉積分符號(hào)。

在考查的時(shí)候，一般會(huì)把三類定理兩兩結(jié)合起來進(jìn)行考查，所以要總結(jié)到現(xiàn)在為止，所考查的題型。

三、方程根的問題

包括方程根唯一和方程根的個(gè)數(shù)的討論。

四、定積分等式和不等式的證實(shí)

主要涉及的方法有微分學(xué)的方法：常數(shù)變異法；積分學(xué)的方法：換元法和分布積分法。

五、積分與路徑無關(guān)的五個(gè)等價(jià)條件

這一部分是數(shù)一的考試重點(diǎn)，最近幾年沒〔制定〕到，所以要重點(diǎn)關(guān)注。

考研數(shù)學(xué)基本知識(shí)總結(jié)(3)

一元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容：

導(dǎo)數(shù)和微分的概念；導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義；函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；平面曲線的切線和法線；導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法；高階導(dǎo)數(shù)；一階微分形式的不變性微分中值定理；洛必達(dá)(LHospital)法則；函數(shù)單調(diào)性的判別；函數(shù)的極值；函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線；函數(shù)圖形的描述；函數(shù)的最大值與最小值；弧微分；曲率的概念；曲率圓與曲率半徑。

考試重點(diǎn)：

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。

3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

4.會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5.理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理。

6.掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。

8.會(huì)用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)圖形的凹凸性(注：在區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)時(shí)，的圖形是凹的;當(dāng)時(shí)，的圖形是凸的)，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描述函數(shù)的圖形。

9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，〔會(huì)計(jì)〕算曲率和曲率半徑。

考研數(shù)學(xué)基本知識(shí)總結(jié)(4)

1、齊次線性方程組有無零解和非齊次線性方程組是否有解的判定。

關(guān)于齊次線性方程組，當(dāng)方程組的方程個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)不等時(shí)，可以按照系數(shù)矩陣的秩和未知量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系來判定；

還可以利用系數(shù)矩陣的列向量組是否相關(guān)來判定；當(dāng)方程組的方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同時(shí)，可以利用系數(shù)行列式與零的大小關(guān)系來判定，還可以利用系數(shù)矩陣有無零特征值來判定；

關(guān)于非齊次線性方程組，可以利用系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩是否相等即有關(guān)矛盾方程來判定；

還可以從一個(gè)向量可否由一向量組線性表出來判定；當(dāng)方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相等時(shí)，可以利用系數(shù)行列式是否為零來判定非齊次線性方程組的唯一解狀況；今年的考題就體現(xiàn)了這種思想。

2、齊次線性方程組的非零解的結(jié)構(gòu)和非齊次線性方程組解的的無窮多解的結(jié)構(gòu)問題。

如果齊次線性方程組有無窮多個(gè)非零解時(shí)，其通解是由其基礎(chǔ)解系來表示的；如果非齊次線性方程組有無窮多解時(shí)，其通解是由對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組和通解加本身一個(gè)特解所構(gòu)成。

3、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求解與證實(shí)。

利用系數(shù)矩陣的極大線性無關(guān)組的內(nèi)容進(jìn)行分析。

4、齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對(duì)參數(shù)取值的討論)。

如果方程組的方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)不相等時(shí)，只能對(duì)其系數(shù)矩陣或增廣矩陣進(jìn)行