浙江省紹興市嵊州市2023屆高三下學(xué)期5月高考科目適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2023年5月嵊州市高（選）考科目適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，再求解集合的交集即可.【詳解】因?yàn)?，又所?故選：A.2.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)在拋物線上，且，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】由拋物線的定義求出p的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在拋物線上，且，由拋物線的定義可知，則.故選：C3.在中，是線段上一點(diǎn)，滿足是線段的中點(diǎn)，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算，求出，得到的值，再對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，滿足，所以，又是線段的中點(diǎn)，所以，所以，所以，故，故選：B.4.基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與，近似滿足.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，，據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加倍需要的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.天 B.天 C.天 D.天【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給模型求得，令，求得，根據(jù)條件可得方程，然后解出即可．【詳解】把，代入，可得，，當(dāng)時(shí)，，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，解得．故選：B.5.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上是減函數(shù) D.在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)周期和對(duì)稱性可得，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得，且，解得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，整理得，可得，解得，且，則，所以.對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：不是最值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，則，且在上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，則，且在內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：C.6.已知函數(shù)，若，且，則的最小值是（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由，且，得與一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，不妨設(shè)，，由，得，得到，，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即．【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，且，得與一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，不妨設(shè)，，則，即，，，令，，，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．的最小值是．故選：B．7.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若過兩點(diǎn)，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)得，由題意可得是方程的兩個(gè)根，從而，即可排除A選項(xiàng)；又,，從而可得，，從而可得直線的方程為：.設(shè)與軸的交點(diǎn)為得，從而得到，把B、C、D選項(xiàng)代入即可判斷.【詳解】，由題意可得是方程的兩個(gè)根，所以，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；因此同理.因此直線方程為：.設(shè)與軸的交點(diǎn)為得，由題設(shè)知，點(diǎn)在曲線上，故.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵是求導(dǎo)后利用是方程的兩個(gè)根得到，，從而得到，，進(jìn)而可知直線的方程為：.設(shè)與軸的交點(diǎn)為得，從而得到，從而一一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.8.在中，，，，為中點(diǎn)，若將沿著直線翻折至，使得四面體的外接球半徑為，則直線與平面所成角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直角三角形性質(zhì)和翻折關(guān)系可確定為等邊三角形，利用正弦定理可確定外接圓半徑，由此可知外接圓圓心即為四面體外接球球心，由球的性質(zhì)可知平面，利用可求得點(diǎn)到平面的距離，由此可求得線面角的正弦值.【詳解】，，，，又為中點(diǎn)，，則，即為等邊三角形，設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，取中點(diǎn)，連接，，，，即外接圓半徑為，又四面體的外接球半徑為，為四面體外接球的球心，由球的性質(zhì)可知：平面，又平面，，，，；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得：，又與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；本題考查幾何體的外接球、線面角問題的求解；本題求解線面角的關(guān)鍵是能夠確定外接球球心的位置，結(jié)合球的性質(zhì)，利用體積橋的方式構(gòu)造方程求得點(diǎn)到面的距離，進(jìn)而得到線面角的正弦值.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出以下四個(gè)說法，正確的有（）A.如果由一組樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，那么經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過點(diǎn)中的一個(gè)B.在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好C.在回歸分析中，用決定系數(shù)來比較兩個(gè)模型擬合效果，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好D.設(shè)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)系數(shù)為，則的充要條件是成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上【答案】BCD【解析】【分析】利用回歸分析的相關(guān)定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得到結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心，非樣本點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)樵跉埐畹纳Ⅻc(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，表明數(shù)據(jù)越集中，模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)闆Q定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，數(shù)據(jù)就越集中，即模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)閮蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)系數(shù)為的絕對(duì)值越大，數(shù)據(jù)就越集中在回歸方程附近，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)就在直線上了，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.10.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，是棱上的一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)，使得B.對(duì)任意的點(diǎn)C.存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的大小是D.對(duì)任意的點(diǎn)，三棱錐的體積是定值【答案】BD【解析】【分析】以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，令，求解即可判斷A；驗(yàn)證即可判斷B；平面的法向量為,,由題意,求解即可判斷C；可證得平面，則到平面的距離與到平面的距離相等且為定值，結(jié)合即可判斷D.【詳解】以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則,令，則，此方程組無解，故A錯(cuò)誤；,則,又,則,則,故B正確；平面的法向量為,,由題意,即，解得，均與矛盾，故C錯(cuò)誤；,平面，平面，則平面，則到平面的距離與到平面的距離相等且為定值，設(shè)為，又為定值，則為定值，故D正確.故選：BD.11.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究士星及其衛(wèi)星的遠(yuǎn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)到與兩點(diǎn)的距離之積為2的點(diǎn)的軌跡為曲線，則（）A.B.曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.曲線圍成的面積不大于7D.曲線C上任意兩點(diǎn)之間的距離不大于3【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)定義得到曲線的方程，根據(jù)方程求和的取值范圍，驗(yàn)證選項(xiàng)AC，由方程的對(duì)稱性判斷選項(xiàng)B，特殊值法驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)，則，，，化簡(jiǎn)，所以，對(duì)于A，，所以，得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，曲線方程，顯然若在曲線上，則也在曲線上，曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，，令，則，，所以曲線圍成的面積，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩點(diǎn)距離為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC12.已知,若,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由得,由得,構(gòu)造函數(shù),易知函數(shù)為上的增函數(shù),可得,,對(duì)于A,依據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷;對(duì)于B,依據(jù)條件進(jìn)行判斷即可;對(duì)于C,利用當(dāng)時(shí),判斷即可;對(duì)于D,利用在上的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由得,①由得,即,②令,易知函數(shù)為上的增函數(shù),又①式化為:,所以,②式化為:,所以,對(duì)于A,令,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)在上為增函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則由零點(diǎn)存在性定理可知,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)?,所以,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上為增函數(shù),所以函數(shù),即,所以,故C正確;對(duì)于D,由A知,,在上遞減,當(dāng)時(shí),,故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】將轉(zhuǎn)化為,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性得到，是解本題的關(guān)鍵.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.第16題第一空2分，第二空3分.13.已知，若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，其中是虛數(shù)單位，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的復(fù)數(shù)根的特征可確定方程兩根，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造方程組求得，由此可得結(jié)果.【詳解】是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，是另一個(gè)根，，解得：，.故答案為：.14.已知所有項(xiàng)的系數(shù)的和為64，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為___________.【答案】15【解析】【分析】令，代入已知關(guān)系式即可求出的值，然后再求出的展開式的通項(xiàng)公式，分別求出含，項(xiàng)的系數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：令得，，解得，則的展開式的通項(xiàng)為，分別取與，得，，所以的展開式中含有的項(xiàng)的系數(shù)為，含有的項(xiàng)的系數(shù)為，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：15．15.已知圓在橢圓的內(nèi)部，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作的一條切線，交于另一點(diǎn)，切點(diǎn)為，若當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線的傾斜角恰好為，則該橢圓的離心率___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜角結(jié)合圓的方程確定切點(diǎn)的坐標(biāo)為或，分別求解方程，代入橢圓后，利用為的中點(diǎn)確定關(guān)系，即可求得橢圓離心率.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線方程為，即所以，解得或，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為或又直線與圓相切，所以，則①當(dāng)，則直線為，即，設(shè)，所以，恒成立所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即所以橢圓的離心率；②當(dāng)，則直線為，即，設(shè)，所以，恒成立所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即（舍）；綜上，橢圓的離心率.故答案為：.16.某數(shù)學(xué)興趣小組模仿“楊輝三角”構(gòu)造了類似的數(shù)陣，將一行數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積插入這兩項(xiàng)之間，形成下一行數(shù)列，以此類推不斷得到新的數(shù)列.如圖，第一行構(gòu)造數(shù)列1，2：第二行得到數(shù)列：第三行得到數(shù)列，則第5行從左數(shù)起第8個(gè)數(shù)的值為___________；表示第行所有項(xiàng)的乘積，設(shè)，則___________.【答案】①.8②.365【解析】【分析】空1：直接寫出第5行的數(shù)列，即可解決；空2：首先歸納出，進(jìn)而可以求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得解得.詳解】空1：由題意可得：第5行得到數(shù)列，所以第5行從左數(shù)起第8個(gè)數(shù)的值為8；空2：根據(jù)題意可得：，，，總結(jié)可得，所以，可得.故答案為：8；365.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意列出前幾項(xiàng)，并據(jù)此歸納總結(jié)一般規(guī)律，分析運(yùn)算.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，在直四棱柱中，在棱上，滿足在棱上，滿足.（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（2）若平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法1：在棱上取，使得，連接，利用線面平行的判定定理證明即可；法2：在棱上取，使得，連接，利用面面平行的性質(zhì)定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面與平面的法向量，利用向量夾角余弦公式列方程求解即可的值.【小問1詳解】證明：方法1：在棱上取，使得，連接.因?yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，，則，且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?方法2：在棱上取，使得，連接.因?yàn)?，所以又平面，平面，所以平?又因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，從而平?因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫠云矫?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，則.分別以射線為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以.因?yàn)?，所以，所?設(shè)是平面的法向量，則，可取.不難得到：平面的一個(gè)法向量為.所以，化簡(jiǎn)得：，解得，或.因?yàn)?，所?18.在中，分別是角的對(duì)邊，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若是銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將已知等式配湊成的形式，由此可得；（2）根據(jù)銳角三角形的特征可求得的范圍；利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可化簡(jiǎn)得到，結(jié)合的范圍可確定最值，由此可得結(jié)果.【小問1詳解】由得：，，則，又，.【小問2詳解】是銳角三角形，，，解得：；由正弦定理得：（其中，）；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的取值范圍為.19.已知等差數(shù)列前項(xiàng)的和為，且，，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，集合且，求中所有元素的和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）計(jì)算得出且，可知、、、、都是集合中的元素，計(jì)算出，由可知、、、都是集合中的元素，由此可得出的值.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，①又，可得，②聯(lián)立①②解得，所以.【小問2詳解】解：，所以.因?yàn)?，所以，故、、、、都是集合中的元?又，則由得.所以、、、都是集合中的元素.綜上所述：.20.為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競(jìng)賽.每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分的方法如下：第次答題，答對(duì)得分，答錯(cuò)得分：從第次答題開始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得分.學(xué)生甲參加答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.（1）求甲同學(xué)前次答題得分之和為分的概率；（2）在甲同學(xué)完成次答題，且第次答題答對(duì)的條件下，求答題得分之和不大于分的概率；（3）記甲同學(xué)第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，求，并寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）分析可知甲前答題的正誤結(jié)果分別為：對(duì)對(duì)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)對(duì)，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）記事件甲同學(xué)完成次答題，第次答題答對(duì)，記事件甲同學(xué)完成次答題，答題得分之和不大于分，計(jì)算出、的值，利用條件概率公式可求得的值；（3）分析可知可能取值有、，求出在不同取值下的概率，可求得的值；分析第答對(duì)、答錯(cuò)，可得出與的關(guān)系式.【小問1詳解】解：若甲同學(xué)前次答題得分之和為分，則甲前答題的正誤結(jié)果分別為：對(duì)對(duì)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)對(duì)，所以所求概率為.【小問2詳解】解：記事件甲同學(xué)完成次答題，第次答題答對(duì)，記事件甲同學(xué)完成次答題，答題得分之和不大于分，在甲同學(xué)完成次答題，且在第次答題答對(duì)的條件下，答題得分之和不大于分的情形有以下種：錯(cuò)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)，對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)，錯(cuò)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)，所以，，，由條件概率公式可得.【小問3詳解】解：的取值可以是、，且，，所以.若第次甲答對(duì)，則甲的得分為；若第次甲答錯(cuò)，則甲的得分為分.所以，.21.已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)是點(diǎn)軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn).【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合已知，列出方程化簡(jiǎn)作答.（2）設(shè)出直線在軸上的截距，求出直線方程，并分別與的軌跡方程聯(lián)立求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，再求出直線的方程作答.【小問1詳解】設(shè)，則直線的斜率是，直線的斜率是，所以，化簡(jiǎn)整理得：，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.【小問2詳解】設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，顯然，直線的方程為，即，直線的方程為，即，又雙曲線的漸近線方程為，顯然直線與雙曲線兩支各交于一點(diǎn)，直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，則有，且，于是，由消去化簡(jiǎn)整理得：，設(shè)點(diǎn)，則，解得，有，由消去化簡(jiǎn)整理得：，設(shè)點(diǎn)，則，解得，有，，，于是，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則，顯然，因此，即，整理得，顯然直線恒過定點(diǎn)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解軌跡方程問題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡(jiǎn)整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).22.已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分