梁的彈塑性彎曲及

關于梁的彈塑性彎曲及第1頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1矩形截面梁的彈塑性純彎曲

關于梁的兩個假定（材料力學）：①

平截面假定：梁的橫截面在變形之后仍然保持平面。②

截面上正應力對變形的影響是主要的，其它應力分量的影響可以忽略。故應力應變關系可簡化為正應力σ和正應變ε之間的關系。一、基本關系第2頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月在圖示的矩形截面梁中，如取x軸為中心線，y軸指向梁的撓度方向，梁的受力狀態(tài)對稱與x-y平面時。由平面假設，截面上的正應變?yōu)槠渲袨榍?，和都是的函?shù)。小變形情形下——式中撓度以指向軸的方向為正。截面上的軸力和彎矩為——式中b和h分別為矩形截面的寬度和高度第3頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮梁的純彎曲問題，故（3）式中軸向力為零，N=0，而（4）式的彎矩M與x無關。二、彈性階段由得將代入（3）、（4）——截面的慣性矩說明彎矩和曲率之間有線性關系代入式（5）說明應力分布與y成比例第4頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月在梁的最上層和最下層，應力的絕對值最大，故開始屈服所對應的彎矩和曲率為——彈性極限彎矩——彈性極限曲率則（6）式的無量綱形式可寫為第5頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月三、彈塑性階段考慮的情形設彈塑性區(qū)交界處的值為有截面上的彎矩：第6頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月或（10）式中，對應于y=y0的應力為σ=σs，故考慮的情形（11）式也可寫為對比彈性解第7頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月1、表明雖然梁截面的外層纖維已進入塑性屈服階段，但由于其中間部分仍處于彈性階段，“平截面”的變形特性限制了外層纖維塑性變形的大小，因而它們是處于約束塑性變形狀態(tài)，梁的曲率完全由中間彈性部分控制。第8頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月，，塑性極限載荷，在y=±0處上下纖維的正應力從+σs跳到-σs，出現(xiàn)了正應力的強間斷。2、3、當變形限制在彈性變形的量級時，材料的塑性變形可以使梁的抗彎能力得到提高。矩形截面梁圓形截面薄圓管工字梁第9頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月三、卸載時的殘余曲率和殘余應力

1、卸載規(guī)律——在卸載時M~K之間應服從彈性規(guī)律彎矩的改變量和曲率的改變量之間的關系：應力的改變量：2、殘余曲率若彎矩完全卸到零，即殘余曲率的表達式第10頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月卸載后的殘余曲率與未卸載時的曲率之比：或：適用：或：當時，顯然有第11頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3、殘余應力其中與之間的關系有式（13）和（14）給出說明：1.在彈性區(qū)的殘余應力仍保留原來的符號。2.卸載時，應力變化最大的部位在梁的最外層由和第12頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.當再次施加的正向彎矩值不超過M*時，梁將呈彈性響應。得外層的正應力改變了符號但未出現(xiàn)反向屈服4.如卸載到零以后再施加反向彎矩，則開始時的響應仍是彈性的，當△M滿足外層纖維開始反向屈服,即彎矩的變化范圍不大于2Me時，結構將是安定的。第13頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2橫向載荷作用下梁的彈塑性分析

一、梁的彈性極限載荷研究矩形截面的理想彈塑性懸臂梁，在端點受集中力作用梁的彎矩：當P增至根部的彎矩X=0截面的最外層纖維開始屈服稱為彈性極限載荷第14頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月二、塑性狀態(tài)時，梁的彎矩分布仍服從（19）式。設開始進入塑性狀態(tài)的截面在處，則有位于的各截面上均有部分區(qū)域進入屈服狀態(tài)，其彈塑性交界位置1、塑性極限載荷第15頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月在處，當時，即梁根部的整個截面都進入塑性流動階段稱為塑性極限載荷與相應的值可由第16頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月2、塑性鉸塑性鉸：彎矩達到了塑性極限彎矩，則相應的曲率可任意地增長，就好像一個鉸那樣。與通常的鉸有兩點區(qū)別：1.通常的鉸不承受彎矩；2.通常較兩側的梁段可在兩個方向作相對轉動，而塑性鉸作反方向相對轉動對應于卸載。第17頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月三、梁的撓度1、梁處于彈性狀態(tài)以及端條件可得特別地第18頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月1、梁處于彈塑性狀態(tài)彈塑性梁段彈性梁段當?shù)?9頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)間中的曲率可由下式給出：利用端條件，得區(qū)間中的曲率可由下式給出：利用x=3/L處的連接條件，得第20頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月其中自由端的撓度為：可見，彈塑性變形與彈性變形是同數(shù)量級的。？當載荷P先加到P，然后又卸載到零時，自由端的殘余撓度？第21頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.3強化材料矩形截面梁的彈塑性純彎曲一般強化材料:在純彎曲條件下，單調(diào)加載時，彎矩表達式為：作變量替換后，上式可寫為：可得到M～K

關系。僅當時，上式中的才不為零第22頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月如已知K＞0，則由（9）和（12）式：可直接求得M值。如已知M＞0，則需用疊代法求出相應的K值和應力分布。為此，可利用將（24）式改寫為：上式右端的第一項為純彈性部分，第二項是由于梁的塑性變形而對曲率的修正。注意到，有在令：第23頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月則對任意兩個曲率和，由中值定理可得--現(xiàn)定義算子T：而將（27）式寫成采用迭代法：先令則第一次迭代為：第24頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月由于可見T是一個壓縮映象，以上迭代過程是收斂的。--則第次迭代為：第25頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.4超靜定梁的塑性極限載荷以圖示的一次超靜定梁為例第26頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月設其

MK

曲線可由圖7中的理想彈塑性模型表示，即～第27頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月當時設載荷P從零開始增長。AB段和BC段彎矩是線性分布的其中在根部A截面當時，對應的載荷為：第28頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月當時（1）梁的根部形成一個塑性鉸，可以產(chǎn)生任意大的曲率。但由于其它部位仍處于彈性階段，故根部曲率的大小要受到這些部位的約束。（2）A點成為塑性鉸后，該處的彎矩已知，結構成為靜定的。由平衡條件得當時，B點的彎矩為梁成為一個機構而不能進一步承載。稱為塑性極限載荷第29頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月分析：1.塑性極限載荷并不依賴于彈模E，其值僅與結構本身和載荷有關，而與結構的殘余應力狀態(tài)和加載歷史無關。彈塑性結構的極限載荷與剛塑性結構的極限載荷是相同的2.若僅計算極限載荷，無須分析彈塑性變形過程，可采用剛塑性模型，用更為簡單的方法進行計算。常用的方法：靜力法：以應力作為基本未知量機動法：以位移作為基本未知量第30頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月靜力法：是通過與外載荷相平衡且在結構內(nèi)處處不違反屈服條件的廣義應力場來尋求所對應外載荷的最大值的一種方法。以圖6所示的梁為例彎矩（絕對值）的最大值只可能在A點和B點。以C點的支座反力為參數(shù)梁內(nèi)處處不違反屈服條件就要求第31頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個不等式同時成立，所對應的最大外載荷為：——塑性極限載荷機動法：是當結構的變形可能成為一個塑性流動（或破損）機構時，通過外載荷所做的功與內(nèi)部耗散功的關系來尋求所對應外載荷的最小值的一種方法。對于圖6所示的梁，可能的破損機構只有一種，即根部A和中點B都成為塑性鉸。第32頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月令B點向下移動的距離為δ，A點處梁的轉角為B點兩側梁段的相對轉角為則力P所作的功為：塑性鉸上所作的耗散功為：由外力功和內(nèi)部耗散功相等的條件——塑性極限載荷或注：對于較為復雜的結構，可能的破損機構一般有好幾種。對應于每一種機構，都可求得一個載荷值。真實的極限載荷是所有這些載荷中的最小值。第33頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.5用靜力法和機動法求剛架的塑性極限載荷

一、幾個概念靜力場

：處處滿足平衡條件的內(nèi)力分布現(xiàn)考慮一個n次超靜定剛架，它有n個多余反力設剛架中可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點個數(shù)為m。m個節(jié)點處的彎矩外力多余反力消去得到的m-n個方程反映了結構的平衡條件第34頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月即構成一個平衡體系——稱為靜力場靜力許可場：結構內(nèi)處處不違反屈服條件的靜力場結構內(nèi)處處不違反屈服條件——稱為靜力許可場靜力法：就是要在一切可能的靜力許可場中尋求取值最大的外載荷。

第35頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月二、例子①⑤②③④圖8我們來考慮圖8所示的平面剛架。設各截面的塑性極限彎矩為MS。在水平力3P和豎直力2P的作用下，求出結構最大可能承受的載荷P。

解：該結構的超靜定次數(shù)n=2

節(jié)點①，②，③，④處可能出現(xiàn)塑性鉸,故m=4取節(jié)點⑤處的支座反力R和N為多余反力，并規(guī)定彎矩的符號以剛架內(nèi)側拉為正，則相應的平衡方程為[靜力法]第36頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月消去R、N，得到m-n=2個獨立的平衡方程即如果mj還滿足屈服條件則就構成一個靜力許可場(29)第37頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月利用（30）式，條件（31）式可等價地寫為

或消去消去(32)(33)(34)第38頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月而（負號對應于反向加載）對應于最大載荷值：當(34)式中的各式才可能成立?！獮榇嬖陟o力許可場的條件(36)1.對應于的彎矩分布可通過回代過程來確定：——塑性極限載荷說明：2.二次超靜定結構中有三個節(jié)點①，②，④成為塑性鉸，結構變成機構而開始塑性流動。這說明（36）式的的確是一個極限載荷。第39頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月[機動法]說明：1.對于n次超靜定剛架，當出現(xiàn)（n+1)個塑性鉸時，結構就會變成機構而產(chǎn)生塑性流動。設可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點數(shù)為m，則可能的破損機構的總數(shù)不少于m2.對于n次超靜定剛架，可能出現(xiàn)塑性鉸的節(jié)點數(shù)為m，可列出的獨立的平衡方程個數(shù)為m-n。這m-n個方程可利用虛功原理與結構的m-n個破損機構相對應，稱這樣的破損機構為基本機構其它的破損機構可通過基本機構組合而得到第40頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.每一個破損機構都是一個機動場。設在塑性鉸點兩側梁段的相對轉角為與外載荷相對應的廣義位移為可表示為許可機動場——使外載荷在上所作的總功取正值的機動場對于每一個運動機動場，當令外載荷作的總功與塑性鉸的總耗散功相等時，便得到一個載荷值。機動法就是要在一切可能的運動許可場中尋求取值最小的外載荷第41頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月①⑤②③④圖8我們來考慮圖8所示的平面剛架。設各截面的塑性極限彎矩為MS。在水平力3P和豎直力2P的作用下，求出結構最大可能承受的載荷P。

解：可能的破損機構總數(shù)為基本機構的個數(shù)為例如，取圖9中的（a)和（b）為基本機構。則（a)和（b）這兩種基本機構疊加：消去處的鉸，得到機構（c）。②消去處的鉸，得到機構（d）。④第42頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月(d)成鉸③①②(c)成鉸①③④(b)成鉸③④①(a)成鉸②③④第43頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月用機動法計算對應于每個破損機構的載荷值(a)成鉸②③④(b)成鉸③④①第44頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月(c)成鉸①③④(d)成鉸③①②第45頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月以上四種載荷值中的最小者對應于機構(b),最先形成塑性鉸的節(jié)點為①,②,④?！Y構的塑性極限載荷討論一種簡便的方法：在以上這些塑性流動機構中事先選取其中的某幾個，并分別計算出這幾個機構所對應的“上限載荷”。進而考察這些“上限載荷”中取最小值的塑性流動機構，并將其鉸點上的彎矩值取為極限彎矩，然后在根據(jù)平衡條件求出其它各節(jié)點處的彎矩值。如果所有截面上彎矩的絕對值都沒有超過極限彎矩，那么我們就找到了一個靜力許可場，因為它同時對應于某個運動機動場，所以以上所求得的載荷值就是真實的極限載荷，否則以上的載荷只能是真實極限載荷的上限，而需要對其它的塑性流動機構再重新進行計算。第46頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)成鉸②③④我們來考慮圖8所示的平面剛架。先選取使節(jié)點成鉸的機構為塑性流動機構。②③④(29)由由柱45的平衡條件，可知節(jié)點處的水平力⑤可知節(jié)點處的水平力①第47頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月由柱12的平衡條件，可知節(jié)點處的垂直力⑤即節(jié)點1處已違反屈服條件，以上的機構并不是真實的塑性流動機構。再選取使節(jié)點成鉸的機構為塑性流動機構。②④①(29)由由柱45的平衡條件可知節(jié)點處的水平力①以及結構真實的塑性極限載荷第48頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.6極限分析中的上下限定理在上節(jié)中，我們沒有追蹤結構的實際加載過程去逐步地進行結構的彈塑性計算，而是設法直接求出結構的塑性極限載荷及其相應的塑性流動機構。這樣的分析方法通常稱為極限分析。在極限分析中，最常用的方法就是靜力法和機動法。這兩種方法是以本節(jié)將要討論的上、下限定理為理論依據(jù)的回顧：第49頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月二、上、下限定理假定作用在結構上的各個外載荷為集中力，它們以共同的比例因子逐漸增長。當時，外載荷對應于真實的塑性極限載荷其中表示給定的關于各載荷間的相對比值與真實的塑性流動機構相對應的運動許可場可寫為其中是在實際出現(xiàn)塑性鉸點兩側梁段的相對轉角。1.幾個概念第50頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月靜力法要求構造某個靜力許可場由此可得到一個載荷乘子機動法要求構造某個靜力許可場然后通過計算外載荷值：其中滿足根據(jù)運動許可場的定義，上式中第51頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月2.定理上、下限定理：由靜力法得到的載荷乘子小于或等于真實的載荷乘子，由機動法得到的載荷乘子大于或等于真實的載荷乘子，即有：3.定理證明虛功原理：當任意一個靜力許可場在任意一個運動許可場上作功時，外載荷的虛功應等于內(nèi)力的虛功。第52頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月由于真實場是靜力許可場的一種，而真實場是運動許可場的一種，因此根據(jù)不同的組合，可得到虛功方程的幾種具體表達式：顯然有：此外，（43）式大于零的條件可寫為第53頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月于是，從（43）式減去（41）式并利用條件：可得即類似地，從（39）式減去（42）式并利用可得即這便證明了上、下限定理。第54頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月以上定理說明，由靜力許可場可得到極限載荷的下限，由運動許可場可得到極限載荷的上限。如果能同時找到一個既是靜力許可場又是運動許可場的體系，那么相應的載荷就必然是結構的塑性極限載荷。如果不能精確地求出極限載荷，那么也可分別由靜力許可場和運動許可場求得極限載荷的下限和上限，并由上限與下限之差來估計極限載荷近似值的精確度。第55頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.7最輕結構的極限設計問題的提出：在給定外載和某些其它條件下，如何來設計一種最優(yōu)的結構。這樣的問題稱之為極限（或優(yōu)化）設計。最優(yōu)的標準可以有多種。這里的討論將以重量最輕為準則，故又稱為最輕結構的極限設計。[問題]給定載荷及結構的形狀，求結構中各截面上的塑性極限彎矩。由于極限彎矩MS與截面的尺寸（或單位長度構件的重量）有關。[分析]故一般可有關系式當f為線性函數(shù)時對于同一類型的構件，式中的a和b可取為常數(shù)第56頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月整個結構的重量:——上式中表示第個構件的塑性極限彎矩如何來選取各個構件的，使得在保證結構安全的前提下，為最小。

？[求解方法]設想結構出現(xiàn)了第q種破損機構而產(chǎn)和塑性流動，相應的運動許可場表示第個構件上位于點處兩側梁段的相對轉角有第57頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月為保證結構安全就要求對一切可能的q，都有最輕結構的極限設計問題便歸結為在滿足（46）式的條件下選取使（45）式中的X為最小的問題。這在數(shù)學上是一個線性規(guī)劃問題。例：圖10表示了一個雙跨連續(xù)梁。第58頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月設兩段梁的極限彎矩分別為MS1和MS2，在外載P1和P2（=3P1）的作用下有四處可能出現(xiàn)塑性鉸（如圖中的①，②，③，④）因為MS1和MS2可以不相等，B處將在薄弱的一側形成鉸，所以B點有兩個可能成鉸的截面，即在其左側或在其右側。于是，在外載的作用下，就可能出現(xiàn)圖（10）中（a），（b），（c），（d）所示的四種機構?；蚴且陨蠙C構的組合，（e)就是（a）和（d）的組合。第59頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月相應的（46）式可分別寫為：引進無量綱量第60頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月下來確定和使得

取最小值。問題就化為：[解析法]將（49）式改為在條件并代入（48）式后，有消去

當結構安全時，x的最小值應取為5（48）第61頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月再以代回以上各個不等式，便有或

——在給定載荷下的最輕設計

說明：將極限彎矩值和代到（47）中，可知（a），（b）式中的等號成立。這說明在這種設計時破損機構是（a），（b）的組合（e）。從直觀上講，最優(yōu)設計應該要求當機構破損時，能同