電子科大圖論上課及復(fù)習(xí)總結(jié)楊春3

Email:yc517922@126.com

圖論及其應(yīng)用任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1本次課主要內(nèi)容(一)、敏格爾定理(二)、圖的寬直徑相關(guān)概念圖的寬直徑簡(jiǎn)介(三)、一些主要研究結(jié)果簡(jiǎn)介2敏格爾定理是圖的連通性問(wèn)題的核心定理之一，它描述了圖的連通度與連通圖中不同點(diǎn)對(duì)間的不相交路的數(shù)目之間的關(guān)系。(一)、敏格爾定理定義1設(shè)u與v是圖G的兩個(gè)不同頂點(diǎn)，S表示G的一個(gè)頂點(diǎn)子集或邊子集，如果u與v不在G-S的同一分支上，稱S分離u和v。例如：u6u5u2u3u4u1｛u1,u4｝,｛u1u2,u1u4,u4u5｝分離點(diǎn)u2與u6。3定理1(敏格爾1902---1985)(1)設(shè)x與y是圖G中的兩個(gè)不相鄰點(diǎn)，則G中分離點(diǎn)x與y的最少點(diǎn)數(shù)等于獨(dú)立的(x,y)路的最大數(shù)目；

(2)設(shè)x與y是圖G中的兩個(gè)不相鄰點(diǎn)，則G中分離點(diǎn)x與y的最少邊數(shù)等于G中邊不重的(x,y)路的最大數(shù)目。例如：u6u5u2u3u4u1在該圖中，獨(dú)立的(u6,u2)路最大條數(shù)是2，分離點(diǎn)u6與u2的最小分離集是｛u1,u4｝,包含兩個(gè)頂點(diǎn)。4u6u5u2u3u4u1又在該圖中，邊不重的(u6,u2)路最大條數(shù)是2，分離點(diǎn)u6與u2的最小分離集是｛u6u1,u6u4｝,包含兩條邊。該定理是圖論中，也是通信理論中的最著名的定理之一，是由奧地利杰出數(shù)學(xué)家Menger在1927年發(fā)表的。敏格爾(1902---1985）早年顯示出數(shù)學(xué)物理天賦，1920年入維也納大學(xué)學(xué)習(xí)物理，次年，由于參加德國(guó)物理學(xué)家HansHahn的“曲線概念的新意”講座，而把興趣轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)。因?yàn)镠ans提到當(dāng)時(shí)沒(méi)有滿意的曲線概念定義，包括大數(shù)學(xué)家康托、約當(dāng)，豪斯道夫等都嘗試過(guò)，沒(méi)有成功。5而且，認(rèn)為不可能徹底解決。但是，盡管作為幾乎沒(méi)有數(shù)學(xué)背景的本科生，通過(guò)自己的努力，敏格爾還是解決了該問(wèn)題。由此，他就轉(zhuǎn)向曲線和維數(shù)理論的研究。敏格爾本科期間，身體很差，父母雙亡。但在1924年在Hahn指導(dǎo)下完成了他的研究工作。1927年做了維也納大學(xué)幾何學(xué)首席教授，同年，發(fā)表了“n—弧定理”，即敏格爾定理。

1930年，敏格爾來(lái)到匈牙利布達(dá)佩斯做訪問(wèn)，當(dāng)時(shí)哥尼正在寫一本書，要囊括圖論中的所有知名定理。敏格爾向他推薦自己的定理，但哥尼最初不相信他，認(rèn)為敏格爾定理一定不對(duì)，花了一個(gè)晚上找反例試圖否定敏格爾定理，但沒(méi)有成功，于是要了敏格爾的證明，終于把敏格爾定理加在了他的著作的最后一節(jié)。敏格爾被認(rèn)為是20世紀(jì)最杰出數(shù)學(xué)家之一。6哈恩(1879～1968)德國(guó)物理學(xué)家，化學(xué)家。最大的貢獻(xiàn)是1938年和F.斯特拉斯曼一起發(fā)現(xiàn)核裂變現(xiàn)象。哈恩獲得1944年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。借助于敏格爾定理，數(shù)學(xué)家惠特尼在1932年的博士論文中給出了k連通圖的一個(gè)美妙刻畫。這就是人們熟知的所謂“敏格爾定理”定理2(惠特尼1932)一個(gè)非平凡的圖G是k(k≧2)連通的，當(dāng)且僅當(dāng)G的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間至少存在k條內(nèi)點(diǎn)不交的(u,v)路。證明:(必要性)設(shè)G是k(k≧2)連通的，u與v是G的兩個(gè)頂點(diǎn)。如果u與v不相鄰，U為G的最小u--v分離集,那么有|U|≧k(G)≧k,于是由敏格爾定理，結(jié)論成立；7若u與v鄰接，其中e=uv,那么，容易證明：G-e是(k-1)連通的。設(shè)W是G-e的最小u—v分離集，由敏格爾定理知，G-e至少包含k-1條內(nèi)點(diǎn)不交的u--v路，即G至少包含k條內(nèi)點(diǎn)不交的u--v路。

(充分性)假設(shè)G中任意兩個(gè)頂點(diǎn)間至少存在k條內(nèi)部不交路。對(duì)任意點(diǎn)u與v，若u與v鄰接，顯然去掉k個(gè)頂點(diǎn)是不能分離u與v的；若u與v不鄰接，要使u與v分離，至少需要去掉k個(gè)頂點(diǎn)。所以G是k連通的。例1設(shè)G是k連通圖，S是由G中任意k個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的集合。若圖H是由G通過(guò)添加一個(gè)新點(diǎn)w以及連接w到S中所有頂點(diǎn)得到的新圖，求證：H是k連通的。證明：首先，分離G中兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)至少要k個(gè)點(diǎn)，其次，分離w與G中不在S中頂點(diǎn)需要k個(gè)頂點(diǎn)。因此H是k連通的。8例2設(shè)G是k連通圖，u,v1,v2,…,vk為G中k+1個(gè)不同頂點(diǎn)。求證：G中有k條內(nèi)點(diǎn)不交路(u,vi)(1≦i≦k)證明：在G外添加一點(diǎn)w,讓w與vi鄰接(1≦i≦k)得H.Gv1uv2vkHv1uv2vkw9由例1，H是k連通的，于是由定理2，u與w間存在k條內(nèi)點(diǎn)不交的u---w路，所以G中有k條內(nèi)點(diǎn)不交路(u,vi)(1≦i≦k)。對(duì)于邊連通度，有類似定理：定理3(惠特尼1932)一個(gè)非平凡的圖G是k(k≧2)邊連通的，當(dāng)且僅當(dāng)G的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間至少存在k條邊不重的(u,v)路。推論

對(duì)于一個(gè)階至少為3的無(wú)環(huán)圖G，下面三個(gè)命題等價(jià)。

(1)G是2連通的；

(2)G中任意兩點(diǎn)位于同一個(gè)圈上；

(3)G無(wú)孤立點(diǎn)，且任意兩條邊在同一個(gè)圈上。10證明：(1)→(2)G是2連通的,則G的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間存在兩條內(nèi)點(diǎn)不交路P1與P2,顯然這兩條路構(gòu)成包含該兩個(gè)頂點(diǎn)的圈。

G無(wú)孤立點(diǎn)顯然。設(shè)e1與e2是G的任意兩條邊，在e1與e2上分別添加兩點(diǎn)u與v得圖H，則H是2連通的，由(1)→(2)，H的任意兩個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圈上，即u與v在同一個(gè)圈上，也即e1與e2在同一個(gè)圈上。

(2)→(3)

(3)→(1)設(shè)u與v是無(wú)環(huán)圖G的任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)，由于G無(wú)孤立點(diǎn)，所以可設(shè)e1,e2分別與u,v相關(guān)聯(lián)。由(3),e1,e2在同一個(gè)圈上，所以u(píng)與v在同一個(gè)圈上，因此分離u與v至少要去掉兩個(gè)頂點(diǎn)，即證明G是2連通的。11(二)、圖的寬直徑相關(guān)概念

1、問(wèn)題背景分析評(píng)價(jià)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的性能有多個(gè)指標(biāo)，如網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)銷(通信與材料開(kāi)銷),網(wǎng)絡(luò)的容錯(cuò)性(連通性),網(wǎng)絡(luò)中信息傳遞的傳輸延遲等。所謂傳輸延遲，又稱為時(shí)間延遲，是指信息從源傳到目的地所需要的時(shí)間。如何度量網(wǎng)絡(luò)的傳輸延遲？信息從源到目的地需要經(jīng)過(guò)若干中間站存儲(chǔ)和轉(zhuǎn)發(fā)。因此，信息傳輸延遲可以用圖的頂點(diǎn)間距離來(lái)度量。當(dāng)然，每條邊的長(zhǎng)度可以定義為1.12于是，網(wǎng)絡(luò)的最大通信延遲可以通過(guò)圖的直徑來(lái)度量。圖的直徑定義為：在信息的單路徑傳輸中，分析通信延遲，只需要考慮網(wǎng)絡(luò)的直徑即可。圖論工作者、計(jì)算機(jī)、通信領(lǐng)域研究者通過(guò)研究，已經(jīng)確定了若干典型網(wǎng)絡(luò)的直徑和一些圖的直徑的界。例如：d(Pn)=n-1;d(Cn)=[n/2];d(Kn)=1。定理1設(shè)G是強(qiáng)連通有向圖.如果它的階n≧2且最大度為Δ，則：13定理2設(shè)G是連通無(wú)向圖.如果它的階n≧3且最大度為Δ≧2

，則：定理3設(shè)G是連通無(wú)向圖.如果它的階n，且最小度為δ，則：定理4設(shè)G是連通無(wú)向圖.如果它的階n，直徑為k，則：14定理5n級(jí)超立方體網(wǎng)絡(luò)的直徑為n直徑雖然能夠刻畫網(wǎng)絡(luò)的通信延遲，但畢竟是在最壞情形下的通信延遲，而網(wǎng)絡(luò)中大距離點(diǎn)對(duì)并不多，所以用直徑對(duì)信息傳輸延遲進(jìn)行描述，還有點(diǎn)不精細(xì)。于是，有如下平均距離的概念：設(shè)G是n階圖(n≧2)，G的平均距離μ(G)定義為：例：計(jì)算n點(diǎn)圈Cn的平均距離。解：首先計(jì)算n點(diǎn)圈Cn中任意一點(diǎn)u到其余各點(diǎn)的距離之和：1+2+,…,+(n-1)=?n(n-1);15n點(diǎn)圈Cn中所挺有點(diǎn)拍對(duì)的中距離粘之和位：?n2(n餓-1奧);所以吐，n點(diǎn)圈Cn的平御均距凱離為頌：μ(G武)=?n平均燒距離溜是網(wǎng)貓絡(luò)信關(guān)息平稿均傳眼輸延瞧遲的望度量廣。跟盾直徑維研究株一樣棄，平刊均距隱離問(wèn)治題也亭吸引橋很多蔑學(xué)者雹的研頑究，肺有很丈多研算究結(jié)庸果。刮例如沸：定理6如果G是n階連矩通的玩無(wú)向區(qū)圖，泛則：定理7如果G是(n，m)圖，唇則：(1純)如果G是無(wú)斜向圖意，則青：16(2妖)如果G是有暴向圖筆，則允：求平班均距蝕離的踢一個(gè)建值得膠研究買的方川向是涉求平炎均距飛離算尚法復(fù)唱雜性亡。求息平均暑距離鉗的最臥著名葡的Fr箭ed漲ma據(jù)n算法鐵時(shí)間墻復(fù)雜常性是o(染v2+v理m)車;求直采徑最卻著名宰算法括是Fl鞏oy略d算法算，時(shí)再間復(fù)膠雜性扎是o謀(v誕m誓).確定保平均障距離墻問(wèn)題知是否節(jié)比確贊定所且有距息離容財(cái)易？外這還譯是一活個(gè)沒(méi)程有完膠結(jié)的飲挑戰(zhàn)冷性問(wèn)姥題。17信息抽的單疏路徑勵(lì)傳輸隸延遲熔用直踏徑或紙平均能距離蓄刻畫栽。但希是，其如果但要一頁(yè)次傳蒸輸?shù)那畔⒀枯^茄大，唉遠(yuǎn)遠(yuǎn)婦超出毯鏈路添帶寬畝，就綁需要聲所謂摘的分倆包傳肌送。所謂鉤的分肯包傳絲式送，懷就是手按照摘帶寬露要求其，把簡(jiǎn)信息乒在起墾點(diǎn)進(jìn)滾行分貿(mào)割打丑包，票每個(gè)幼信息旬小包因按照瘦若干炭?jī)?nèi)點(diǎn)鬧不交帽路從極起點(diǎn)釘傳到肝終點(diǎn)告。基年于此殿，上辯世紀(jì)90年代父初，D慨Fr笛a(bǔ)n剖k等圖始論學(xué)冬者和圓一些取計(jì)算引機(jī)專筑家從已圖論歡角度堵對(duì)信肌息分找包傳柳送的杰若干誰(shuí)問(wèn)題順展開(kāi)互研究挽。研贈(zèng)究的戰(zhàn)典型年問(wèn)題尊是：(1嘗)分包秩傳送帶的通賤信延熄遲度最量；(2針)分包味傳送稠的路績(jī)由選炮擇，壟即網(wǎng)帖絡(luò)中泰平行黃尋徑厚算法縱；(3謀)互聯(lián)賞網(wǎng)絡(luò)偷的設(shè)郵計(jì)與幕網(wǎng)絡(luò)愁結(jié)構(gòu)旅分析鑒問(wèn)題妄；(4遲)基于河分包眉傳送角下互艦聯(lián)網(wǎng)抹絡(luò)的鐮容錯(cuò)粱分析幟。18為了訴描述裳通信英延遲高，D棵Fr剛an好k等拓胸展了里圖的鬧普通盟距離灰和普孕通直君徑的陸概念茶，提雄出了勝用寬芳距離嗎來(lái)描峰述點(diǎn)炮對(duì)間鄭信息止傳遞呈的通出信延往遲，隱而用拖所謂若的寬銹直徑跟來(lái)描區(qū)述網(wǎng)館絡(luò)的甘最大踩通信挪延遲權(quán)。由徒此而消形成葬的組口合網(wǎng)緊絡(luò)理晴論研姻究成顆為最胖近10多年授來(lái)圖紅論和柔通信篩網(wǎng)絡(luò)亞相結(jié)依合的驢熱點(diǎn)坊研究宏問(wèn)題變。國(guó)內(nèi)參，中懲國(guó)科等技大肺學(xué)以滾徐俊郵明為炕代表愿的研待究團(tuán)胃隊(duì)取劑得了雄很多暖重要嘆成果邪，在鉆該領(lǐng)良域處標(biāo)于世持界領(lǐng)哄先水褲平，浸出版頭了專剖著《組合仔網(wǎng)絡(luò)錄理論》，科瘡學(xué)出溫版社竭，20史07年。2、寬美直徑陡相關(guān)安概念定義1設(shè)x,停y魔∈完V(但G)夜,拖Cw(x訂,奶y)表示G中w條內(nèi)縫點(diǎn)不奔交路迫的路坊族，w稱為評(píng)路族含的寬趟度，Cw(x見(jiàn),珠y)中最蛋長(zhǎng)路尺的路帖長(zhǎng)成廊為該騎路族譯的長(zhǎng)矩度，及記為梢：l(Cw(x化,漲y)伙)。19在上蝴圖中串，G的一薪個(gè)寬化度為3的u,融v間的鋪路族虧為：uv圖GP3P2P1該路也族的腸長(zhǎng)度貴為：注：咳路族卸也稱渠為容佩器。定義2設(shè)x,逮y征∈臟V(匠G)稱,定義x與y間所最有寬輝度為w的路礙族長(zhǎng)寺度的庭最小索值dw(吩x須,捕y)為x與y間w寬距能離，紀(jì)即：20在上雜圖中遇，G的一蜂個(gè)寬待度為3的u,尾v間的想距離銀為：uv圖GP3P2P1注：x與y間長(zhǎng)嚇度等緩于w寬距單離的鍬路族除稱為x與y間最侄優(yōu)路夢(mèng)族。悶所以舞，求w寬距湖離，磁就是濁要找歐到最刮優(yōu)路查族。定義3設(shè)G是w連通求的，G的所竹有點(diǎn)趁對(duì)間純的w寬距盆離的斷最大蛙值，寨稱為G的w寬直擋徑，暮記為dw(G愿)。即鞠：21例3求n點(diǎn)圈Cn和n階完悅?cè)珗DKn的寬捎直徑痕。分析偏：對(duì)紐奉于Cn來(lái)說(shuō)膨，連虎通度搶為2，因福此，扇可以沖求它叛的1直徑射和2直徑溉；而候?qū)τ贙n來(lái)說(shuō)伶，連烏通度馬是n-矩1,所以譜，可住以考趨慮它灰的1到n-謀1直徑攤。解:罰(1歸)n點(diǎn)圈Cn的寬暑直徑望。顯然泳：因?yàn)镃n中任慎意點(diǎn)具對(duì)間晌只有蕉一個(gè)拿唯一返的寬盆度為2的路造族，培點(diǎn)對(duì)斗間的2距離窩就是有該點(diǎn)貞對(duì)的陷唯一箱路族瞇的長(zhǎng)枯度。擺當(dāng)x與y鄰接摧時(shí)，柄路族錢的長(zhǎng)謹(jǐn)度最杜長(zhǎng)，如為n-溝1,所以頂，由毯寬直倒徑定爛義得份：22(2纖)kn的寬悄直徑銅。顯然愈：對(duì)于懷任意駐的w(劃2≦w表≦n鄰-1評(píng)),點(diǎn)對(duì)兵間的仁最優(yōu)蓋路族艙長(zhǎng)為2.所以齡，有吹：注：遍從定簽義看饒出：扭對(duì)一餅般圖刮來(lái)說(shuō)待，計(jì)績(jī)算w寬直偷徑是咸一件財(cái)很困殘難的敞工作雕。對(duì)造寬直新徑的議研究挪，主梁要是控兩方易面：罩一是歪對(duì)一知般圖脂而言榨，研再究w寬直婚徑的繩界；猴二是涂根據(jù)縱各種刺互聯(lián)農(nóng)網(wǎng)絡(luò)隸的結(jié)隨構(gòu)特榨征，剛確定另其寬余直徑譜。當(dāng)述然，偶研究而寬直娛徑與筍圖的席其它李不變視量之?dāng)傞g的畢關(guān)系厘也是勾一個(gè)爹很有考意義賄的方云向。23經(jīng)過(guò)10多年臨的研敘究，也組合柱網(wǎng)絡(luò)潑理論費(fèi)取得滋了很騾多有逼意義倒結(jié)果麥，同暈時(shí)也筑有許布多公株開(kāi)性尺問(wèn)題砍等待鄭人們撫繼續(xù)癥研究籌。(三)、一增些主洪要研世究結(jié)交果簡(jiǎn)宇介1、酷一般衣圖的w寬直捕徑定理1對(duì)于洞任意恨連通頌圖G,有：定理2設(shè)G是n階w連通蔑圖,針w≧2。則:而且趕，上晌界和助下界載都能鳴達(dá)到穩(wěn)。24定理3設(shè)G是n階w連通展圖,燃w≧2，G滿足妖如下浪條件備：那么探，dw(G)=泄2,并且狗上面傍條件幟是緊堤的。定理4設(shè)G是w連通w正則旅圖,握w≧2，那應(yīng)么：定理5設(shè)G是n階w連通w正則蝦無(wú)向罷圖,犬w≧3，那酒么：2、焰圖運(yùn)津算與w寬直賊徑25定理1設(shè)Gi是wi連通夜有向腎圖,且：漏，1≦i≦m暴.如果,那么填：注：哥該結(jié)疼果是鞠由徐麻俊明叛得到禾的。定理2飽(1冬)設(shè)Gi是階衛(wèi)至少愧為3的wi連通古無(wú)向銷圖,壺i=浸1,克2拍,匙…,弟m。如襖果負(fù)，且w=燥w1+w2+…晶+wm，則評(píng)：26注：鐵該結(jié)棟果是飄由徐倚俊明值得到勉的。(2簽)設(shè)G是w≧2連通碑無(wú)向的圖.如果dw(G)=柿d(佳G)切+1奮,則：(3鑒)設(shè)Gi是wi≧1連通奴無(wú)向睛圖,蒜i=友1,提2。如處果Gi是wi正則喜的，拿且i=煤1或2，則虎：3、平圖參持?jǐn)?shù)與w寬直秒徑圖論蛙中，婆對(duì)圖傳參數(shù)杠進(jìn)行物研究肢時(shí)，鴨一個(gè)僻自然園的研肺究是梯考察懇研究懶的參泊數(shù)與宗其它炮參數(shù)咳之間霞的關(guān)奪系。淚因?yàn)槠呛芏喾瑘D參譜數(shù)的鬼計(jì)算而是NP完全舌問(wèn)題閉，如腹果建泥立了捐參數(shù)武之間邀的聯(lián)他系，巖可以芳間接留計(jì)算獎(jiǎng)。27定理1設(shè)G是w連通膏無(wú)向覺(jué)圖,較w≧2突,且α(G駱)是G的獨(dú)碗立數(shù)轉(zhuǎn)。則4、w寬直脖徑與煎容錯(cuò)辭直徑容錯(cuò)區(qū)直徑喚的概榆念是忘由Kr攔is棟hn惑am踢oo侍rt痛hy等在19派87年提柱出的倚，它英是度悟量容央錯(cuò)網(wǎng)榮絡(luò)的陶最大蝴通信篇延遲著的量鼠。即子一個(gè)認(rèn)網(wǎng)絡(luò)G,如果F是它夏的一非個(gè)容莫錯(cuò)頂爆點(diǎn)集兼合，泰則G-泳F是連慎通的催，它炎有一隙個(gè)確拔定直豈徑，源容錯(cuò)李直徑襯就是得基于膛這樣辯的背礦景提帥出的謹(jǐn)。定義1設(shè)G是w連通申無(wú)向猶圖,則對(duì)V(閑G)的任紋意子裂集F，如婚果有|F緣瑞|<跌w,定義G的w-產(chǎn)1容錯(cuò)迅直徑Dw(G)為：28從容購(gòu)錯(cuò)直悔徑的縮慧定義顫可以拜看出片，計(jì)走算圖占的容掘錯(cuò)直趁徑跟察寬直箏徑一陡樣，含非常想困難田，事學(xué)實(shí)上著，是NP完全慨問(wèn)題尺。因沾此，答對(duì)容光錯(cuò)直碰徑的芳研究德，自左然轉(zhuǎn)哨移到窮對(duì)容繞錯(cuò)直噴徑和粉寬直符徑之盾間的未關(guān)系腳進(jìn)行戀研究替。定理1設(shè)G是w連通桃無(wú)向渾圖,走w≧2考,則有喝：定理2設(shè)G是直橫徑為d的2連通開(kāi)圖，駱則：29定理3設(shè)G是2連通屠無(wú)向段圖,則有賣：定理4設(shè)G是直俗徑為2的2連通嚇圖，火則：d2=D2+1的充額分必猾要條匠件為d2=3或d2=4勞,且達(dá)窄到d2值的活任何痰兩點(diǎn)關(guān)必然羽鄰接舟。注：葡關(guān)于