屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積課件北師大

考綱解讀1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．考向預(yù)測(cè)1．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、模與夾角、平行與垂直問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題．2．?dāng)?shù)量積的幾何運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其幾何意義，及數(shù)量積的變形應(yīng)用均為常規(guī)應(yīng)用，也是考查重點(diǎn)．關(guān)注數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．知識(shí)梳理1．兩個(gè)向量的夾角(1)定義已知兩個(gè)

向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．非零(2)范圍向量夾角θ的范圍是

，a與b同向時(shí)，夾角θ＝

；a與b反向時(shí)，夾角θ＝

.(3)向量垂直如果向量a與b的夾角是

，則a與b垂直，記作a⊥b.2．平面向量的數(shù)量積(1)已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作

.[0，π]0π90°|a|·|b|cosθa·b＝|a||b|·cosθ規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為

.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是

，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是

.(2)向量的投影定義：設(shè)θ為a與b的夾角，則

(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．(3)平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的射影

的乘積．0a·b＝0a·b＝±|a||b||a|cosθ|b|cosθ3．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)e·a＝a·e＝

；(2)非零向量a，b，a⊥b?

；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝ ，當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝ ，a·a＝ ，|a|＝(4)cosθ＝

(5)|a·b| |a||b|.|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||b|a2≤4．平面向量數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律(1)a·b＝

(交換律)；(2)(λa)·b＝ ＝

(λ為實(shí)數(shù))；(3)(a＋b)·c＝

.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c[答案]

C[答案]

C[解析]

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，在解決問(wèn)題時(shí)需要先設(shè)出向量坐標(biāo)，然后求得參數(shù)，該題較為簡(jiǎn)單．[答案]

B4．已知辮兩單渣位向沃量a，b的夾膀角為60廢°，則遞兩向輩量p＝2a＋b與q＝－3a＋2b的夾前角為()A．60液°B．12矮0°C．30右°D．15付0°[答案]B[分析]本題吩求解扒中，厭要注隔意充攔分利斷用兩沙向量罩的數(shù)腰量積介及求破向量駕模的警運(yùn)算蚊公式陶及方改法．5．(2等01軍0·江西栽文)已知汁向量a，b滿(mǎn)足|b|＝2，a與b的夾略角為60榆°，則b在a上的浮投影俘是__判__寇__櫻__肆__籍__．[答案]1[答案]37．已知i，j為互過(guò)相垂叨直的崗單位及向量診，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a與b的夾窩角為戀銳角叫，求蝦實(shí)數(shù)λ的取佳值范擺圍．[分析]利用續(xù)向量飄數(shù)量器積的丟定義回、運(yùn)嬌算律刑及模穗的求挺法求縱解，愚注意而兩向起量夾飽角的鳳定義牛．3．平套面向這量的略數(shù)量蠢積的嘗運(yùn)算米有兩暗種形恒式，舊一是鼻依據(jù)忽長(zhǎng)度統(tǒng)與夾林角，抽二是滴利用羅坐標(biāo)籮來(lái)計(jì)秩算，舒具體住應(yīng)用閃哪種滅形式貍由已祥知條喇件的榆特征杏來(lái)選兼擇．4．利表用數(shù)酬量積秀求長(zhǎng)疫度問(wèn)姜題是鉗數(shù)量浴積的跌重要娛應(yīng)用托，要招掌握蒼此類(lèi)蝕問(wèn)題染的處束理方刻法：[分析]利用否數(shù)量股積的根坐標(biāo)新運(yùn)算捧及性纖質(zhì)即陸可求繳解，薯在求|a＋b|時(shí)注劍意x的取命值范望圍．[點(diǎn)評(píng)]與三隱角函線數(shù)相檢結(jié)合掉考查固向量濫的數(shù)暮量積鑼的坐拍標(biāo)運(yùn)鴨算及泳其應(yīng)朽用是盾高考侵熱點(diǎn)粥題型離．解松答此優(yōu)類(lèi)問(wèn)識(shí)題，異除了甲要熟既練掌棕握向腐量數(shù)描量積愉的坐而標(biāo)運(yùn)魔算公蝦式、物向量樓模、戰(zhàn)夾角漆的坐纏標(biāo)運(yùn)瀉算公聰式外桶，還施應(yīng)掌眼握三傭角恒鍛等變留換的窩相關(guān)橋知識(shí).[例2]已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾山角是12擴(kuò)0°史.(1藍(lán))計(jì)算|a＋b|，|4a－2b|；(2筐)當(dāng)k為何嘗值時(shí)肝，(a＋2b)⊥(ka－b)?(2腿)若(a＋2b)⊥(ka－b)，則(a＋2b)·線(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16霉(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.[點(diǎn)評(píng)]1.當(dāng)a與b是坐貓標(biāo)形篩式給才出時(shí)踏，若血證明a⊥b，則窮只需景證明a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.2．當(dāng)欄向量a，b是非肢坐標(biāo)嘴形式跳時(shí)，脆要把a(bǔ)，b用已騾知的己不共曲線向斧量作贊為基胳底來(lái)貼表示歌且不瞧共線蜘的向片量要浮知道伶其模淚與夾或角，棄從而本進(jìn)行口運(yùn)算叔證明a·b＝0.[例3]已知a，b都是符非零序向量?jī)?cè)，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾笛角．[點(diǎn)評(píng)]1.求向鞏量的堅(jiān)夾角飽時(shí)要默注意燒：(1龍)向量恐的數(shù)符量積腎不滿(mǎn)急足結(jié)饅合律沒(méi)；(2章)數(shù)量嚼積大才于0說(shuō)明誰(shuí)不共座線的售兩向頌量的友夾角資為銳條角，妖數(shù)量補(bǔ)積等井于0說(shuō)明渣兩向見(jiàn)量的蚊夾角漢為直古角，乞數(shù)量量積小賠于0且兩捐向量統(tǒng)不能菊共線鳴時(shí)兩舒向量德的夾糾角就愧是鈍湯角．2．當(dāng)a，b是非蹈坐標(biāo)喇形式庭時(shí)，圈求a與b的夾徒角，竹需求港得a·b及|a|，|b|或得摸出它斤們的館關(guān)系怎．(2鋪00圈9·全國(guó)場(chǎng)卷Ⅰ)設(shè)非愧零向莊量a、b、c滿(mǎn)足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則〈a，b〉＝()A．15蠢0°B．12置0°C．60妨°D．30售°[答案]B[解析]本題孫主要悲考查帶向量梯運(yùn)算吼的幾今何意禍義．∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c∴如圖索所示汪就是課符合貝的向思量，無(wú)易知OA輸CB是菱樓形，△OB榨C和△OA許C都是預(yù)等邊蝴三角嘗形．∴〈a，b〉＝12恨0°決.[答案]C[解析]設(shè)a1為橢俊圓的專(zhuān)長(zhǎng)半含軸長(zhǎng)蓮，a2為雙舒曲線沒(méi)的實(shí)務(wù)半軸遭長(zhǎng)，味當(dāng)P點(diǎn)在舌雙曲聰線的估右支開(kāi)上時(shí)疤，由漿題意午得，1．兩古個(gè)向雨量的唐數(shù)量釣積(1足)數(shù)量播積概廟念的殃理解①兩個(gè)祥向量裹的數(shù)曾量積已是一喘個(gè)數(shù)匹量，拿它的涌值為攻兩個(gè)后向量市的模殿與兩著向量地夾角衫的余蹤蝶弦的街乘積吼，結(jié)階果可藝正、靠可負(fù)畏、可錦為零激，其庸符號(hào)譜由夾凡角的邊余弦舍值確傲定．紐奉計(jì)算研數(shù)量漠積的婆關(guān)鍵嫂是正已確確統(tǒng)定兩草向量您的夾粉角，徑條件要是兩略向量懇的始蜓點(diǎn)必盯須重蟲(chóng)合，民否則令要通辟過(guò)平清移，術(shù)使兩佩向量還符合解以上諷條件風(fēng)．②兩向嗽量a，b的數(shù)憑量積a·b與代窩數(shù)中a，b的乘逆積寫(xiě)尊法不巖同，禿不應(yīng)肺該漏伴掉其推中的“·”．③b在a上的嶄投影曬是一園個(gè)數(shù)糾量，猴它可妥正，把可負(fù)狐，也逐可以公等于0.(2堅(jiān))對(duì)數(shù)票量積全運(yùn)算曠律的局理解①當(dāng)a≠0時(shí)，瞇由a·b＝0不一旬定推斤出b＝0，這勻是因爭(zhēng)為對(duì)名任一稅個(gè)與a垂直奔的向闊量b，都雁有a·b＝0.當(dāng)a≠0時(shí)，a·b＝a·c也不略一定月推出b＝c，因惰為由a·b＝a·c，得a·(b－c)＝0，即a與(b－c)垂直硬．也賴(lài)就是枯向量鈴的數(shù)信量積限運(yùn)算拉不滿(mǎn)償足消邁去律覺(jué)．②對(duì)于做實(shí)數(shù)a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)，但窄對(duì)于助向量腔來(lái)說(shuō)示，(a·b)·c與a·(b·c)不一繁定相淚等，躺這是林因?yàn)?a·b)·c表示加一個(gè)識(shí)與c共線爪的向嫌量，寸而a·(b·c)表示壁一個(gè)犁與a共線詢(xún)的向臂量，矩而a與c不一鎮(zhèn)定共醬線，捏所以(a·b)·c與a·(b·c)不一枕定相將等．2．向咐量的進(jìn)應(yīng)用(1精)向量若在幾導(dǎo)何中僵的應(yīng)艇用①證明涼線段輩平行彎問(wèn)題壓，包淘括相坦似問(wèn)乘題，沿常用錘向量停平行(共線)的充亭要條琴件．a(chǎn)∥b?a＝λb?x1y2－x2