版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
多元函數(shù)極值第一頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五一、多元函數(shù)的極值1.二元函數(shù)的極值定義1
設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,
如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y)都有(或),
極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.則稱f(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的極大值(minimalextremum
)(或極小值maximalextremum
).第二頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五
設(shè)函數(shù)z=f(x,y
)在點(diǎn)P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)
極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).稱為極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)),使函數(shù)取得極大值的點(diǎn)(或極小值的點(diǎn))(x0,y0),定理1(極值存在的必要條件)且在點(diǎn)P0
處有極值,
則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零,即使得偏導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)(stationarypoint).存在,第三頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五例1函數(shù)處有極小值.在例2函數(shù)處有極大值.在處有極大值.在第四頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五例3處無(wú)極值.在函數(shù)鞍點(diǎn)saddlepoint
第五頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五設(shè)P0(x0,y0)是函數(shù)z=f
(x,y)的駐點(diǎn),
且函數(shù)在點(diǎn)P0
的某個(gè)鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),定理2(極值存在的充分條件)令則,(1)
當(dāng)
<0
且A<0
時(shí),f(x0,y0)是極大值,當(dāng)
<0
且A>0
時(shí),
f(x0,y0)是極小值;也可能沒(méi)有極值.
函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可能有極值,(3)
當(dāng)
=0
時(shí),(2)
當(dāng)
>0
時(shí),不是極值;第六頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五(1)先求偏導(dǎo)數(shù)
(2)解方程組求出駐點(diǎn);(3)確定駐點(diǎn)處據(jù)此判斷出極值點(diǎn),并求出極值.若函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),
就可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值:
及的符號(hào),的值第七頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五例4.求函數(shù)解:
第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第八頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;第九頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五2012年考研數(shù)一練習(xí):求函數(shù)的極值。先求駐點(diǎn):得駐點(diǎn)x=e,y=0.再確定A、B、C:最后確定取得極值情況:取得極大值.第十頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五練習(xí):
求函數(shù)的極值.解(1)
求偏導(dǎo)數(shù)(2)
解方程組
得(0,0)及(2,2).第十一頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五(3)列表判斷極值點(diǎn).駐點(diǎn)(x0,y0)(0,0)(2,2)結(jié)論極大值f(0,0)=1
f(2,2)不是極值A(chǔ)4B22C+駐點(diǎn)(0,0)(2,2).第十二頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五二、多元函數(shù)的最大值及最小值例
5
使它到三點(diǎn)P1(0,0)、P2(1,0)、P3(0,1)距離的平方和為最小.解l為P
到P1、P2、P3
三點(diǎn)距離的平方和,即因?yàn)樵趚y坐標(biāo)面上找出一點(diǎn)P,設(shè)P(x,y)為所求之點(diǎn),第十三頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五對(duì)x
,y
求偏導(dǎo)數(shù),有令即解方程組得駐點(diǎn)所以由問(wèn)題的實(shí)際意義,
到三點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)一定存在,l
可微,又只有一個(gè)駐點(diǎn),
因此即為所求之點(diǎn).第十四頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五練習(xí):某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品,出售單價(jià)分別為10元和9元,生產(chǎn)x單位的甲和y單位的乙總成本C(x,y)為
400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)求兩種產(chǎn)品應(yīng)該如何安排生產(chǎn)量,以使得總利潤(rùn)最大?解:設(shè)P(x,y)為表示產(chǎn)品甲與乙分別生產(chǎn)x與y單位時(shí)所得的總利潤(rùn).因?yàn)榭偫麧?rùn)等于總收入減去總成本,所以P(x,y)=(10x+9y)-[400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)]=8x+6y-0.01(3x2+xy+3y2)-400第十五頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五由Px(x,y)=8-0.01(6x+y)=0
Py(x,y)=6-
0.01(x+6y)=0得駐點(diǎn)(120,80)再由Pxx(x,y)=-
0.06<0,Pxy(x,y)=-
0.01<0
Pyy(x,y)=-
0.06<0得B2-AC=(0.01)2-(-
0.06)2<0
所以當(dāng)x=120,y=80時(shí),P
(120,80)=320為極大值,也是最大值,即甲乙兩產(chǎn)品分別生產(chǎn)120單位和80單位時(shí),總利潤(rùn)最大。第十六頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五練習(xí):
某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2的有蓋長(zhǎng)方體水箱,問(wèn)長(zhǎng)寬高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?此水箱的用料面積解:設(shè)水箱的長(zhǎng)為x,寬為y,則其高為求偏導(dǎo)數(shù)第十七頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五時(shí),A取得最小值,根據(jù)題意可知,水箱所用材料的面積的最小值一定存在,并在開區(qū)域D(x>0,y>0)內(nèi)取得。又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn),因此可斷定當(dāng)就是說(shuō),當(dāng)水箱的長(zhǎng)、寬、高均為時(shí),水箱所用的材料最省。第十八頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化第十九頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有第二十頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F
稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.第二十一頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五可用下面步驟來(lái)求:(1)構(gòu)造輔助函數(shù)(2)解聯(lián)立方程組
在實(shí)際問(wèn)題中,往往就是所求的極值點(diǎn).即得可能的極值點(diǎn)(x,y),第二十二頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五例6
將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)zyx,,之和
使得zyxu23=為最大.解解得唯一駐點(diǎn))2,4,6(,則故最大值為第二十三頁(yè),共二十五頁(yè),編輯于2023年,星期五
哪一個(gè)平面例
9經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1,1)的所有平面中,
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 暑期理論培訓(xùn)心得體會(huì)
- 兩點(diǎn)間的距離公式同步練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)字人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)
- 《 蔚縣剪紙文化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)與形象定位研究》范文
- Unit+5+Music+早讀背誦材料默寫紙 高中英語(yǔ)人教版(2019)必修第二冊(cè)
- 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(第六版)(上冊(cè))課件 第7講2.1導(dǎo)數(shù)的概念
- 教師校本研修個(gè)人計(jì)劃15篇
- 有關(guān)教師愛(ài)崗敬業(yè)演講稿(35篇)
- 教師教育教學(xué)心得體會(huì)
- 中學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)心得體會(huì)8篇
- 中學(xué)青年教師培訓(xùn)心得體會(huì)
- 部編高中語(yǔ)文選擇性必修教學(xué)計(jì)劃(上中下冊(cè))
- 小學(xué)英語(yǔ)五年級(jí)【冀教版】上冊(cè)教學(xué)課件-【Lesson 4】
- 海生草關(guān)愛(ài)困境留守兒童公益項(xiàng)目申報(bào)書-關(guān)愛(ài)留守兒童社會(huì)工作服務(wù)項(xiàng)目
- 2023年幕墻工程事故應(yīng)急救援預(yù)案文檔
- 口腔修復(fù)金屬材料(口腔材料學(xué)課件)
- 管理研究設(shè)計(jì)與方法完整全套教學(xué)課件
- 大數(shù)據(jù)技術(shù)導(dǎo)論-北京理工大學(xué)中國(guó)大學(xué)mooc課后章節(jié)答案期末考試題庫(kù)2023年
- 古詩(shī)詞誦讀《無(wú)衣》理解性默寫與比較閱讀 2022-2023學(xué)年統(tǒng)編版高中語(yǔ)文選擇性必修上冊(cè)
- 外國(guó)人在中國(guó)永久居留申請(qǐng)表(夫妻團(tuán)聚人員)
- 統(tǒng)編版高中歷史選擇性必修一第2課西方國(guó)家古代和近代政治制度的演變課件(34張ppt)
- 生產(chǎn)車間安全隱患排查記錄表
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論