第01講乘法公式精講（解析版）2022年初三升高中數(shù)學(xué)完美升級銜接精講精練

第01講乘法公式（精講）目錄一、知識銜接二、典型例題題型一：平方差公式的應(yīng)用題型二：完全平方公式的應(yīng)用題型三：立方和、立方差公式的應(yīng)用一、知識銜接1、初中知識再現(xiàn)（1）平方差公式：；注意公式的正逆應(yīng)用.（2）完全平方公式：（3）高頻應(yīng)用方式：①②③④⑤⑥2、高中相關(guān)知識（1）立方和公式：（2）立方差公式：（3）兩數(shù)和立方公式：過程：（4）兩數(shù)差立方公式：過程：（5）三數(shù)和平方公式：過程：二、典型例題題型一：平方差公式的應(yīng)用1．（2022·遼寧大連·八年級期末）計算：_______．【答案】【詳解】解：故答案為：【點睛】本題主要考查平方差公式，熟記平方差的公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）__．【答案】【詳解】解：原式．故答案為：【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東茂名·七年級階段練習(xí)）已知，且，則＝_____．【答案】3【詳解】x2﹣y2＝651，且x＝217﹣y故答案為：3．【點睛】本題考查了利用平方差公式因式分解及因式分解的應(yīng)用，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川南充·八年級期末）已知，，則_____．【答案】2【詳解】解：，，，故答案為：【點睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．5．（2022·福建·福清西山學(xué)校九年級階段練習(xí)）引入新數(shù)，新數(shù)滿足分配律、結(jié)合律、交換律，已知，則_____．【答案】2【詳解】解：．故答案為2．【點睛】本題考查了新定義運算及平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵.6．（2022·天津西青·八年級期末）計算：______．【答案】535000【詳解】解：==1070×500=535000故答案為：535000【點睛】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·九年級期中）計算：_____．【答案】【詳解】原式．故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，同底數(shù)冪的乘法的逆用、積的乘方的逆用以及平方差公式．掌握二次根式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．8．（2022·福建·三明一中七年級階段練習(xí)）計算：________【答案】【詳解】解：====．故答案為：．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算以及平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握運算法則以及平方差公式是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022·黑龍江七臺河·八年級期末）若_____________．【答案】654383【詳解】原式=[（m+58）－10][（m+58）+10]=－100=654483－100=654383．故答案為：654383考點：平方差公式10．（2022·四川省渠縣中學(xué)七年級期中）乘法公式的探究及應(yīng)用：從邊長為4的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1）．然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）(1)上述操作能驗證的等式是______________．(2)運用（1）中得出的等式．完成下列各題：①若，，求的值；②計算：【答案】(1)（a+b）（a-b）=a2-b2(2)①6；②-1【解析】(1)解：由圖1得圖形面積為a2-b2，由圖2得圖形面積為（a+b）（a-b），∴能驗證的等式是（a+b）（a-b）=a2-b2，故答案為：（a+b）（a-b）=a2-b2；(2)①由（1）知（a+b）（a-b）=a2-b2，∵a－b＝4，a2－b2＝24，∴a+b=；②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）－216=（2-1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）－216=（22-1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）－216=（24-1）（24＋1）（28＋1）－216=（28-1）（28＋1）－216=（216-1）－216=-1．【點睛】此題考查了整式的乘法公式：平方差公式，平方差公式與幾何圖形的關(guān)系，利用平方差公式計算，熟記平方差公式是解題的關(guān)鍵．題型二：完全平方公式的應(yīng)用1．（2022·四川·達州中學(xué)七年級期中）如果是一個完全平方式，則的值為（

）A．7 B．-4 C．7或-5 D．7或-4【答案】C【詳解】∵=，∴，∴a-1=±6，∴a=7或-5．故選C．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·四川眉山·八年級期末）關(guān)于x的多項式是完全平方式，則實數(shù)m的值為（

）A．1 B．±1 C．2 D．±2【答案】D【詳解】解：∵是完全平方式，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了完全平方式，熟知完全平方式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北武漢·八年級期末）如圖，矩形ABCD的周長是10cm，以AB，AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2，那么矩形ABCD的面積是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2【答案】B【詳解】解：設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，∵正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2∴x2+y2＝17，∵矩形ABCD的周長是10cm∴2（x+y）＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴25＝17+2xy，∴xy＝4，∴矩形ABCD的面積為：xy＝4cm2，故選：B．【點睛】本題考查了正方形面積、矩形面積和完全平方公式，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，建立方程，設(shè)而不求，只求xy的值是解題關(guān)鍵．4．（2022·湖北隨州·八年級期末）楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中用如圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，觀察下列各式及其展開式：請你猜想展開式的第三項的系數(shù)是______．【答案】36【詳解】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)的第三項系數(shù)為3=1+2；的第三項系數(shù)為6=1+2+3；的第三項系數(shù)為10=1+2+3+4；

歸納發(fā)現(xiàn)的第三項系數(shù)為1+2+3+…+（n-2）+（n-1），∴展開式的第三項的系數(shù)是1+2+3+4+5+6+7+8=36．故答案為：36．【點睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，通過觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題的能力．5．（2022·貴州·凱里學(xué)院附屬中學(xué)一模）如圖所示，點A是反比例函數(shù)圖象上一點．過點A作AB⊥x軸于點B．若OA=5，則△AOB的周長為______．【答案】12【詳解】解：設(shè)，則∵點A在反比例函數(shù)圖象上∴在中，，由勾股定理得：即：∴∵∴即：∴故答案為：12【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及完全平方式的應(yīng)用，能夠利用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．6．（2022·河南·開封市第二十七中學(xué)八年級期末）若是關(guān)于的完全平方式，則__________．【答案】7或-1【詳解】解：∵x2+2（m-3）x+16是關(guān)于x的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案為-1或7．【點睛】此題主要考查了完全平方公式，正確掌握完全平方公式的基本形式是解題關(guān)鍵．7．（2022·廣東·佛山市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖b的形狀拼成一個正方形．(1)你認(rèn)為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？(2)請用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積．方法1：方法2：(3)觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：，mn．解：(4)根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，則___．【答案】(1)(2)；(3)mn．(4)29【解析】(1)圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于長為m，寬為n的長方形的長寬之差，即故答案為：(2)方法一：圖b中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個長方形的面積，即方法二：圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于m-n，所有其面積為；故答案為：，；(3)由（2）可得，mn．故答案為：mn．(4)∵=（a+b）2-4ab，當(dāng)時，故答案為：29【點睛】考查了完全平方公式的幾何背景，正方形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．8．（2022·山東濱州·八年級期末）（1）請寫出三個代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2和ab之間數(shù)量關(guān)系式．（2）應(yīng)用上一題的關(guān)系式，計算：xy＝﹣3，x﹣y＝4，試求x+y的值．（3）如圖，線段AB＝10，C點是AB上的一點，分別以AC、BC為邊長在AB的異側(cè)做正方形ACDE和正方形CBGF，連接AF；若兩個正方形的面積S1+S2＝52，求陰影部分△ACF面積．【答案】（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）x+y的值＝±2；（3）陰影部分△ACF面積為12．【解析】【詳解】（1）∵由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2，）＝4ab，即（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案為：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）由（1）題結(jié)果可得，（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝16﹣12＝4∴x+y＝±＝±2，∴x+y的值＝±2；（3）設(shè)AC＝x，BC＝y(tǒng)則x2+y2＝32，x+y＝10，∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝102﹣52＝100﹣52＝48，∴xy＝＝24，∴，∴陰影部分△ACF面積為12．【點睛】本題考查了完全平方公式的變形以及完全平方公式與圖形面積之間的關(guān)系，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．9．（2022·遼寧撫順·八年級期末）圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖b的形狀拼成一個正方形．（1）你認(rèn)為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于______．（2）請用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積．（3）觀察圖b，你能寫出以下三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：，，mn．（4）若x，y都是有理數(shù)，，，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）能，；（4）【解析】【詳解】解：（1）由題意得：圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于．故答案為：；（2）由題意得：，；（3）觀察圖b，可得三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系為：．（4）∵，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式題型三：立方和、立方差公式的應(yīng)用1．（2021·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)高一開學(xué)考試）若是的三條邊，且，則這個三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【詳解】解：，，，，或，或，，，為的三條邊，為等腰三角形或直角三角形．故選：D2．（2018·江蘇·啟東中學(xué)高一開學(xué)考試）因式分解:_____________.【答案】【詳解】解：故答案為：.【點睛】本題考查因式分解的過程.3．（2019·貴州·高一學(xué)業(yè)考試）因式分解：_________________.【答案】【詳解】.故答案為:.【點睛】本題考查立方和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．（2018·內(nèi)蒙古第一機械制造（集團）有限公司第一中學(xué)高一階段練習(xí)）因式分解：______.【答案】【詳解】，故答案為：【點睛】本題考查了立方差公式，屬于基礎(chǔ)題.5．（2018·江蘇·南京市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則的值為__________．【答案】.根據(jù)完全平方公式可得：，所以，解得：.【點睛】本題主要考查了三個數(shù)的和的完全平方公式，屬于中檔題.6．（2021·海南二中高一階段練習(xí)）已知，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)7(2)18【解析】(1)由兩邊平方并化簡得.(2).7．（2020·全國·高一）分解因式：（1）（b﹣c）3+（c﹣a）3+（a﹣b）3；

（2）（x+y+z）3﹣x3﹣y3﹣z3．【答案】（1）3(b﹣a)(c﹣b)(c﹣a)；（2）3(y+z)(x+z)(x+y)．【解析】【詳解】解：（1）(b﹣c)3+(c﹣a)3+(a﹣b)3＝[(b﹣c)+(c﹣a)][(b﹣c)2﹣(b﹣c)(c﹣a)+(c﹣a)2]+(a﹣b)3＝(b﹣a)(b2﹣2bc+c2﹣bc+ab+c2﹣ac+c2﹣2ac+a2)﹣(b﹣a)3＝(b﹣a)[(a2+b2+3c2﹣3bc+ab﹣3ac)﹣(b2﹣2ab+a2)]＝(b﹣a)[a2+b2+3c2﹣3bc+ab﹣3ac﹣b2+2ab﹣a2]＝(b﹣a)(3c2+3ab﹣3bc﹣3ac)＝3(b﹣a)(c2﹣bc﹣ac+ab)＝3(b﹣a)[c(c﹣b)﹣a(c﹣b)]＝3(b﹣a)(c﹣b)(c﹣a)；（2）(x+y+z)3﹣x3﹣y3﹣z3＝[(x+y+z)﹣x][(x+y+z)2+x(x+y+z)+x2]﹣(y+z)(y2﹣yz+z2)＝(y+z)[x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz+x2+xy+xz+x2]﹣(y+z)(y2﹣yz+z2)＝(y+z)[x2+y2+z2+2xy+2