下冊第九章91第一類曲線積分

第九章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分第一類曲線積分第二類曲線積分第一類曲面積分第二類曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分

多元函數(shù)積分學(xué)的學(xué)習(xí)重點：

1、辨別積分類型（被積函數(shù)、積分區(qū)域）

2、學(xué)會各種積分的計算方法第一節(jié)第一類曲線積分1、問題的提出2、對弧長的曲線積分的概念3、對弧長的曲線積分的計算4、幾何意義與物理意義一、問題的提出實例:曲線形物體的質(zhì)量均勻物質(zhì)之質(zhì)量：分割求和取極限近似值精確值二、對弧長的曲線積分的概念1.定義被積函數(shù)積分弧段積分和式物理意義：曲線形物體的質(zhì)量積分變量1.存在條件：2.推廣對定義的說明4.若在

L

上f(x,y,z)≡1,則

5.當(dāng)積分曲線L的方向改變時，積分值不變,即3.(4)當(dāng)積分曲線L具有對稱性，且被積函數(shù)具有奇偶性時，第一類曲線積分與重積分有相同的對稱性質(zhì).運算性質(zhì):函數(shù)沿弧線積分存在對稱性質(zhì)：當(dāng)L為平面曲線時（1）若若（2）若若其中L由和連接而成，且與關(guān)于軸對稱其中L由和連接而成，且與關(guān)于軸對稱當(dāng)L為空間曲線時（1）若對稱于坐標(biāo)面（或面，或面）,為的奇函數(shù)，則（或或）（2）若對稱于坐標(biāo)面（或面，或面）,為的偶函數(shù)，則（或或）其中L由和連接而成，且與關(guān)于坐標(biāo)面(或?qū)ΨQ.

面，或面）基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分三、對弧長曲線積分的計算若L為平面曲線，其參數(shù)方程為則曲線的弧微分且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),由第一類曲線積分的定義，導(dǎo)出如下的計算公式平面上第一類曲線積分的計算注意:推廣到空間曲線:特殊情形(3).如果方程為極坐標(biāo)形式則例:計算曲線積分曲線是連接

(0,0)點和（1,1)點的曲線，其中。（1）曲線方程為（2）曲線方程為（3）曲線方程為解（1）（2）（3）例1：解:例2：解：方法二：利用對稱性做簡化計算例3.計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.

解:上點O(0,0)練習(xí)解：（1）

（2）

（3）

解:如圖所以四、幾何與物理意義物理應(yīng)用:平面曲線物體思考：空間曲線的轉(zhuǎn)動慣量和重心坐標(biāo)公式？(6)平面曲線物體對位于原點的單位質(zhì)量的引力應(yīng)用1.橢圓柱面被平面所截，求截得部分的側(cè)面積.解所求橢圓柱面的準(zhǔn)線是xoy面上的半個橢圓對L作分割，取微元則相應(yīng)小柱面的側(cè)面積近似等于,因此側(cè)面積積分曲線L的參數(shù)方程為于是積分公式應(yīng)用2.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則問題：若L由一般方程給出或如何計算曲線積分？答：一般先把方程化為參數(shù)方程.參數(shù)可選為變量中的任意一個.例7.計算其中為球面解:利用兩個曲面方程消去化為參數(shù)方程則五、小結(jié)1.對弧長曲線積分的概念2.對弧長曲線積分的計算3.對弧長曲線積分的應(yīng)用(重點)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)化對弧長的曲線積分為定積分1、計算弧長微分2、被積函數(shù)代換3、確定積分上下限作業(yè)P241

9-11、(2)(4)(6)2、(2)(4)6,10例6.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對稱性,得練習(xí)2、設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求練習(xí).

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求解:

分段積分例2.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則2.設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分10級期末考試題例2.L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個坐標(biāo)解: