新教材人教A版必修第二冊第8章81第2課時圓柱圓錐圓臺球與簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征學案

第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球與簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征學習任務核心素養(yǎng)1．了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義．2．把握圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征．(重點)3．熟悉簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，了解簡潔組合體的兩種根本構(gòu)成形式．(重點、易混點)通過學習有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，培育直觀想象、規(guī)律推理、數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng)．如圖，觀看以下實物圖．問題：(1)上述三個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？(2)上述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉(zhuǎn)而成？(3)如何形成上述幾何體的曲面？學問點1圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體1．如圖，在圓柱中任取不重合的兩條母線，如AB，CD，它們有何關(guān)系？過它們的截面是怎樣的圖形？連接AC，AC還是母線嗎？[提示]ABCD，截面ABCD是矩形．AC不是母線．1．矩形的兩相鄰邊長分別為3cm和4cm，以一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，那么所形成的圓柱的底面積為________．16πcm2或9πcm2[當以3cm長的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，得到的圓柱的底面半徑為4cm，底面積為16πcm2；當以4cm長的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，得到的圓柱的底面半徑為3cm，底面積為9πcm2．]學問點2圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體2．如圖，在圓錐中任取不重合的兩條母線，如AB，AD，它們之間有何關(guān)系？過它們的截面是怎樣的圖形？[提示]AB與AD相交于點A，且AB＝AD．截面ABD是過頂點A的等腰三角形．3．以Rt△ABC任一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體就是棱錐，這句話對嗎？[提示]不對．必需以直角邊所在直線為軸．假設以斜邊所在直線為軸，形成的幾何體是同底面的兩個圓錐組成的．2．圓錐的母線有()A．1條B．2條C．3條D．很多條D[由圓錐的結(jié)構(gòu)特征知圓錐的母線有很多條．]學問點3圓臺的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的局部叫做圓臺圖示及相關(guān)概念軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的局部；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的局部；臺體：棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體3．思索辨析(正確的畫“√〞，錯誤的畫“×〞)(1)用平面去截圓柱，會得到一個圓柱和一個圓臺． ()(2)用一個平面截圓錐，截得的兩局部分別是圓錐和圓臺． ()[答案](1)×(2)×4．以下命題中，正確的選項是()A．以直角三角形的始終角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D．圓錐的側(cè)面綻開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑A[以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺，所以選項B不正確；圓錐僅有一個底面，所以選項C不正確；圓錐的側(cè)面綻開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長，所以選項D不正確．很明顯選項A正確．]學問點4球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球圖示及相關(guān)概念球心：半圓的圓心叫做球的球心；半徑：連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；直徑：連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑4．球能否由圓面旋轉(zhuǎn)而成？[提示]能．圓面以直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)半周形成的旋轉(zhuǎn)體即為球．5．(多項選擇題)以下說法正確的選項是()A．球的半徑是球面上任意一點與球心的連線B．球面上任意兩點的連線是球的直徑C．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面D．以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做球AC[A是正確的；B是錯誤的，只有兩點的連線經(jīng)過球心時才為直徑；C是正確的；球面和球是兩個不同的概念，以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球，故D錯誤．]6．以下給出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周(如下圖)，能形成圓臺的是________．(填序號)①②③④①[依據(jù)定義，①形成的是圓臺，②形成的是球，③形成的是圓柱，④形成的是圓錐．]學問點5簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡潔組合體的定義：由簡潔幾何體組合而成的幾何體．(2)簡潔組合體的構(gòu)成有兩種根本形式：簡潔組合體eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由簡潔幾何體拼接而成，,由簡潔幾何體截去或挖去一局部而成.))7．如圖，第一排中的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，能形成其次排中的某個幾何體，請把第一、其次排中相應的圖形用線連起來．(1)(2)(3)(4)ABCD[答案](1)—C(2)—B(3)—D(4)—A類型1旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)以下說法不正確的選項是()A．圓柱的側(cè)面綻開圖是一個矩形B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺平行于底面的截面是圓面(2)給出以下命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，那么這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是相互平行的．其中正確的選項是()A．①②B．②③C．①③D．②④(1)C(2)D[(1)由圓錐的概念知，直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐．強調(diào)肯定要圍著它的一條直角邊，即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯．(2)由圓柱、圓錐、圓臺的定義及母線的性質(zhì)可知②④正確，①③錯誤．]簡潔旋轉(zhuǎn)體推斷問題的解題策略(1)精確?????把握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其結(jié)構(gòu)特征是解決此類概念問題的關(guān)鍵．(2)解題時要留意兩個明確：①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成．②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．eq\o([跟進訓練])1．(多項選擇題)以下說法正確的選項是()A．圓柱的底面是圓面B．經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面C．圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交D．夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體AB[A正確，圓柱的底面是圓面；B正確，如下圖，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；C不正確，圓臺的母線延長相交于一點；D不正確，夾在圓柱兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體．]類型2簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征【例2】(對接教材P103例2)如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡潔幾何體組成的？[解]旋轉(zhuǎn)后的圖形如下圖．其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O5O4，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的．旋轉(zhuǎn)體外形的判定方法是什么？[提示](1)推斷旋轉(zhuǎn)體外形的關(guān)鍵是軸確實定，看是由平面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所得，同一個平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的．(2)在旋轉(zhuǎn)過程中觀看平面圖形的各邊所形成的軌跡，應利用空間想象力量，或親自動手做出平面圖形的模型來分析旋轉(zhuǎn)體的外形．(3)要嫻熟把握各類旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征．eq\o([跟進訓練])2．如下圖的平面圖形從上往下依次由等腰三角形、圓、半圓、矩形、等腰梯形拼接形成，假設將它繞直線l旋轉(zhuǎn)形成一個組合體，試分析該組合體由哪些簡潔幾何體構(gòu)成．[解]易知得到的組合體從上到下依次為圓錐、球、半球、圓柱、圓臺．類型3幾何體的計算問題【例3】如下圖，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺O′O的母線長．1．圓柱、圓錐、圓臺平行于底面的截面是什么樣的圖形？[提示]圓面．2．圓柱、圓錐、圓臺過軸的截面是什么樣的圖形？[提示]分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形．3．經(jīng)過圓臺的任意兩條母線作截面，截面是什么圖形？[提示]由于圓臺可以看成是圓錐被平行于底面的平面所截得到的幾何體，所以任意兩條母線長度均相等，且延長后相交，故經(jīng)過這兩條母線的截面是以這兩條母線為腰的等腰梯形．[解]設圓臺的母線長為lcm，由截得的圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為rcm,4rcm，過軸SO作截面，如下圖．那么△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm．所以eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，所以eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4)．解得l＝9(cm)，即圓臺O′O的母線長為9cm．把本例的條件換為“圓臺兩底面半徑分別是2cm和5cm，母線長是3eq\r(10)63cm2[畫出軸截面，如圖，過A作AM⊥BC于M，那么BM＝5－2＝3(cm)，AM＝eq\r(AB2－BM2)＝9(cm)，所以S四邊形ABCD＝eq\f(4＋10×9,2)＝63(cm2)．]1．簡潔旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應用(1)簡潔旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等表達簡潔旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量．(2)在軸截面中解決簡潔旋轉(zhuǎn)體問題表達了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．2．與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略(1)畫出圓錐的軸截面．(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相像關(guān)系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關(guān)系，求解便可．eq\o([跟進訓練])3．一圓錐的母線長為6cm，底面半徑為3cm，把該圓錐截一圓臺，截得圓臺的母線長為4cm，那么圓臺的另一底面半徑為________cm．1[作軸截面如圖，那么eq\f(r,3)＝eq\f(6－4,6)＝eq\f(1,3)，所以r＝1cm．]1．圓柱的母線長為10，那么其高等于()A．5B．10C．20D．不確定B[圓柱的母線長和高相等．]2．下面幾何體的截面肯定是圓面的是()A．圓臺 B．球C．圓柱 D．棱柱B[截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球．]3．如圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()A[題圖中幾何體由圓錐、圓臺組合而成，可由A中圖形繞圖中旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)360°得到．]4．如圖，蒙古包可以看作是由___