逆向思維在中學(xué)物理解題中的應(yīng)用(完整版)實(shí)用資料

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逆向思維在中學(xué)物理解題中的應(yīng)用逆向思維在中學(xué)物理解題中的應(yīng)用（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）摘要：逆向思維即不按習(xí)慣的思維方向，從其反向進(jìn)行思考的一種思維方式。對(duì)于某些物理問(wèn)題，當(dāng)用常規(guī)的方法解決較為繁難時(shí)，若打破常規(guī)，逆向思考，往往會(huì)化繁為簡(jiǎn)，化難為易。本文通過(guò)實(shí)例分析了逆向思維在物理解題中的幾種具體應(yīng)用。關(guān)鍵詞：逆向思維物理解題應(yīng)用逆向思維，又稱“反向思維”或“求異思維”，是相對(duì)于習(xí)慣性思維的另一種思維方式。它的基本特點(diǎn)是：從已有思路的反方向去思考、分析問(wèn)題。表現(xiàn)為逆用定義、定理、公式、法則；逆向進(jìn)行推理，反向解決問(wèn)題。逆向思維反映了思維過(guò)程的間斷性、突變性與反聯(lián)結(jié)性，它有利于克服思維定勢(shì)，防止思維僵化。應(yīng)用逆向思維解題，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生更好地理解知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、變通性，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力等，都有著至關(guān)重要的作用。然而，對(duì)于多數(shù)的中學(xué)生，往往不習(xí)慣于或者不善于逆向思維。因此，在物理的解題教學(xué)中，教師可根據(jù)實(shí)際，有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)和習(xí)慣，幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生從正向思維過(guò)渡到正、逆雙向思維，從而開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，使思維活動(dòng)進(jìn)入一個(gè)新的境界。物理解題中如何有效地應(yīng)用逆向思維呢？本文就結(jié)合具體實(shí)例對(duì)逆向思維的運(yùn)用作一些分析。一、注重課本中正逆思維的聯(lián)結(jié)，培養(yǎng)逆向思維意識(shí)在物理學(xué)中，有些重大的發(fā)明、重要物理概念和定律的引入或闡述，常常需要運(yùn)用逆向思維，這為在授課過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練提供了素材。如奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)，就是從小磁針的轉(zhuǎn)動(dòng)推出周圍存在磁場(chǎng)進(jìn)而發(fā)現(xiàn)電流可以產(chǎn)生磁場(chǎng)。法拉第在此基礎(chǔ)上運(yùn)用逆向思維“電可以生磁，磁也可以生電”，從而得出法拉第電磁感應(yīng)定律的。又如力的合成和分解，運(yùn)動(dòng)的合成和分解等概念。若能恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行“由此及彼，再由彼及此”的思考，提出相反的思路，就能幫助學(xué)生建立雙向聯(lián)結(jié)，知識(shí)就容易得到引申和擴(kuò)充，技能就會(huì)產(chǎn)生積極的遷移。同樣在習(xí)題的教學(xué)中也能使逆向思維得到訓(xùn)練。例：一個(gè)5N的力，可分解為（）A10N和10N的兩個(gè)力B10N和20N的兩個(gè)力C100N和110N的兩個(gè)力D200N和200N的兩個(gè)力分析：由力的分解具有任意性可知，5N的力可進(jìn)行任意情況的分解，但分解的力到底有多大，則不太容易考慮。因力的分解是力的合成的逆運(yùn)算，力的合成時(shí)，兩個(gè)力的合成的最大值和最小值是容易知道的。因此，對(duì)題目中各選項(xiàng)中給出的兩個(gè)力進(jìn)行合成分析，則容易作出判斷。10N和20N及100N和110N的兩種情況下，合力的最小值均為10N。故正確選項(xiàng)為AD說(shuō)明：有些物理問(wèn)題從正面考慮有困難時(shí)，應(yīng)從問(wèn)題的反方向考慮。二、從正反兩方面應(yīng)用公式、定理，有助于知識(shí)的理解，同時(shí)強(qiáng)化了逆向思維學(xué)生能將由物理規(guī)律概括出的公式從左到右熟練地寫(xiě)出不難，如果學(xué)生還善于將物理公式從右到左熟練地逆向運(yùn)用，才是對(duì)規(guī)律、公式真正理解和掌握的重要標(biāo)志之一。許多教材內(nèi)容的發(fā)展和深化，就是物理公式逆向運(yùn)用的結(jié)果。例如，動(dòng)量定理，物理所受合外力的沖量等于它動(dòng)量的變化，即Ft=p/-p。反過(guò)來(lái)，p/-p=Ft，則表示對(duì)于求動(dòng)量的變化也可通過(guò)求合外力的沖量得出；再如動(dòng)能定理，通過(guò)求合外力做功可知?jiǎng)幽艿淖兓?，反過(guò)來(lái)，通過(guò)求動(dòng)能的變化也可以求出合外力做功。例：以速度v0平拋出一個(gè)質(zhì)量為1kg的物體，并在拋出后5s落地，求它在3s內(nèi)動(dòng)量的變化。分析：物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受重力作用，而重力是恒力，由動(dòng)量定理得，△P=mgt=30kgm/s此類問(wèn)題不要因?yàn)榍髣?dòng)量變化，就急于求初末動(dòng)量而再求其差值，這樣不但求動(dòng)量比較麻煩，而且動(dòng)量是矢量，求矢量的差也是比較麻煩的。三、將運(yùn)動(dòng)過(guò)程逆過(guò)來(lái)，通過(guò)變換物理過(guò)程，常?？梢园褟?fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化變換物理過(guò)程，就是把運(yùn)動(dòng)過(guò)程反演過(guò)來(lái)。我們?cè)诮鉀Q勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，尤其是勻減速直線運(yùn)動(dòng)（且末速度為零）時(shí)，我們常將其反過(guò)來(lái)作為以同樣加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程。例1：一輛汽車以2m/s2的加速度剎車后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，它停止運(yùn)動(dòng)前的最后1s內(nèi)通過(guò)的位移是____m。分析：此題若按勻減速直線運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解，需要列方程組求解，過(guò)程比較復(fù)雜，若把勻減速直線運(yùn)動(dòng)看作反向的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則前1s位移S=at2/2=1m例2：如圖所示，兩物塊并排固定在水平面上，一子彈以速度v水平射入，若子彈在木塊中做勻減速運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)兩木塊時(shí)速度剛好為0，且穿過(guò)每塊所用時(shí)間相等，則兩木塊的厚度之比d1:d2為（）A1：3B１：４C3:1D4:1分析：把此過(guò)程看成反向的初速為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)穿過(guò)每塊木塊所用的時(shí)間為t，則d2=1/2at2，d1+d2=1/2a(2t)2，解方程得d1:d2=3:1，故正確答案選C說(shuō)明:類如此題的物體沿斜面勻減速上滑到最高點(diǎn)，以及豎直上拋運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的問(wèn)題，用逆向思維的方法求解問(wèn)題往往比較簡(jiǎn)便。四、運(yùn)用逆向思維轉(zhuǎn)換物理對(duì)象，間接解決物理問(wèn)題，在運(yùn)用中訓(xùn)練逆向思維解決物理問(wèn)題時(shí)一般先選取研究對(duì)象，當(dāng)選取某一研究對(duì)象感到思維困難時(shí)，可將對(duì)象進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換，會(huì)給問(wèn)題分析帶來(lái)方便。而且，通過(guò)靈活轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，能使學(xué)生在訓(xùn)練逆向思維的同時(shí)體會(huì)到事物之間相互聯(lián)系、相互影響的哲學(xué)思想。例：如圖所示電路中，電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，當(dāng)滑動(dòng)變阻器R3的滑動(dòng)觸頭自左向右滑動(dòng)時(shí)（）A電壓表示數(shù)變大B電流表示數(shù)變大CR1消耗功率變大DR2消耗功率變大分析：當(dāng)滑動(dòng)變阻器觸頭向右滑動(dòng)時(shí)，R3減少，引起外電路的總電阻減少，由I=E/(R+r)得，總電流增大；由U=E-Ir知，路端電壓減少，即電壓表示數(shù)減少，A錯(cuò)。R2、R3兩端電壓U23=E-I（R1+r），因總電流增大，故U23減少，流過(guò)R2的電流IR2減少，而流過(guò)電流表的電流IA=I-IR2，且I增大，IR2減少，所以IA增大，故B對(duì)。因流過(guò)R1的電流增大，流過(guò)R2的電流減少，故R1消耗功率變大，R2消耗功率變小，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤。說(shuō)明：電路動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題不僅考查了電路知識(shí)，更考查了學(xué)生分析問(wèn)題的能力和方法，只有找出整體與局部的辨證關(guān)系，才能作出正確的判斷，在本題中對(duì)于外電壓和R3部分的分析都體現(xiàn)了通過(guò)不變部分來(lái)分析變化部分的思想方法。五、運(yùn)用逆向方法，變換角度思考，有助于快速解決問(wèn)題有些題目用常規(guī)方法解決比較復(fù)雜，如果換個(gè)角度去思考，則往往會(huì)使問(wèn)題快速得解。如求解牛頓定律問(wèn)題時(shí)，常規(guī)思維是分解力，但一些問(wèn)題，只對(duì)力進(jìn)行分解，顯得繁難，我們可以轉(zhuǎn)換思維角度，分解加速度，做起來(lái)就比較簡(jiǎn)捷。例：如圖a所示，電梯與水平面夾角為300，當(dāng)電梯加速向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，人對(duì)電梯的壓力是其重力的6/5，人與梯面間的摩擦力是其重力的多少倍？分析：對(duì)人受力分析，重力mg，支持力FN，摩擦力F（摩擦力方向一定與接觸面平行，由加速度方向方向可推知F水平向右），分解加速度，由牛頓第二定律得水平方向：F=ma=macos300豎直方向：FN-mg=masin300又因?yàn)镕N=6/5mg聯(lián)立解方程得F=√3/5mg說(shuō)明：此題通過(guò)分析受力情況發(fā)現(xiàn)力都是垂直的，所以采用分解加速度的方法，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。六、將解題結(jié)果逆向反推，有助于得到正確的結(jié)果學(xué)生解題常常會(huì)想當(dāng)然，往往又沒(méi)有驗(yàn)證答案的習(xí)慣。利用反證法，有助于判斷解題結(jié)果正確與否。例：如圖所示，質(zhì)量為m的小求固定在細(xì)桿ab的一端，小車靜止在水平面上，下列說(shuō)法正確的是（）A、細(xì)桿對(duì)小球的作用力大小為mg，方向豎直向下B、小球?qū)?xì)桿的作用力大小為mg，方向豎直向下C、小球?qū)?xì)桿的作用力大小為mgcosθ,方向沿ab桿向下D、細(xì)桿對(duì)小球的作用力大小為mgcosθ，方向垂直ab桿向上分析：本題學(xué)生易錯(cuò)選C，如果把答案再仔細(xì)想一下，這樣的條件小車會(huì)保持靜止?fàn)顟B(tài)嗎？七、逆向分析問(wèn)題，有助于理清解題思路一般的思維方式即正向思維就是從已知量出發(fā)，根據(jù)題意，把問(wèn)題分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的部分來(lái)考慮。再按照題意和有關(guān)物理規(guī)律及物理概念，找出已知和未知量之間的關(guān)系，從而得到結(jié)論的思維方式。逆向思維則是從待求量入手按照題意逐層次反向推導(dǎo)，直到利用題中給出的已知條件能夠?qū)?wèn)題解決為止。思維模式是：例：如圖（a）所示，在前進(jìn)的車廂的豎直后壁上放一物體，要使物體不下滑，車廂至少要以20m/s2的加速度前進(jìn)，求物體與車壁間的動(dòng)摩擦因素。（g=10m/s2）分析：初學(xué)者會(huì)認(rèn)為這個(gè)題目條件過(guò)于簡(jiǎn)單，無(wú)從下手。其實(shí)，我們只要從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行逆推，找出所需要的條件列式即可。⑴要求μ，由公式F=μFN，必須求出摩擦力和彈力。⑵要求摩擦力和彈力，可由題目的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：要使物體不下滑，對(duì)物體受力分析如圖(b)⑶由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得FN=ma，F(xiàn)=mg，再返回代入滑動(dòng)摩擦力公式即可。將上述分析過(guò)程反向?qū)懗?，即可得出解題步驟如下：設(shè)物體的質(zhì)量為m，受力分析如圖(b)水平方向：FN=ma豎直方向：F=mg由摩擦力公式F=μFN得μ=F/FN=mg/ma=0.5說(shuō)明：逆向思維就是將結(jié)論作為條件，從結(jié)論出發(fā)，逆向分析其物理過(guò)程的一種思維方式。對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，利用逆向思維可以將分析推理過(guò)程簡(jiǎn)單化。簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是當(dāng)不知道從哪里算起的時(shí)候，就從題目的要求去倒推，看看要計(jì)算出最終的結(jié)果需要什么條件，需要什么找什么，直到題目已知條件滿足要求，這個(gè)題就解開(kāi)了八、利用可逆性原理，破解物理學(xué)難題可逆性原理為求解物理學(xué)難題開(kāi)辟了一條途徑，用常規(guī)方法不易解決或無(wú)法解決的問(wèn)題首選這一原理進(jìn)行分析時(shí)，往往能快速、準(zhǔn)確地找到答案。例：如圖所示，一個(gè)三棱鏡的橫截面是直角三角形，且角A為300，AD=2/3AC，棱鏡材料的折射率為√2，把此棱鏡放在真空中，一束單色光射向AC面上的AD部分，其中有一部分光經(jīng)棱鏡后垂直于BC面射出，在圖中畫(huà)出一條由AD部分射入，最后垂直BC面射出的光線的完整的光路圖，并在圖中標(biāo)出界面處反射角和折射角的度數(shù)。分析：顯然，因不知入射角有多大，在AD部分先作入射光線會(huì)無(wú)從下手。根據(jù)光路可逆原理，假設(shè)光線垂直于BC面入射，找出它在AD部分射出的光線即可。如圖所示，AB面上的入射角為600，大于棱鏡的臨界角（C=450），發(fā)生了全反射；在AD面上的入射角為300，根據(jù)折射定律n=sini/sinr，求出折射角為300，完成光路圖。通過(guò)以上分析可看出，對(duì)于某些物理問(wèn)題，用常規(guī)的方法解題比較麻煩時(shí)，若能打破常規(guī)，逆向思考問(wèn)題，往往會(huì)收到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的效果。因此，逆向思維是解決物理題目的一種有效方法，同時(shí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性是十分有效的。參考文獻(xiàn)：中學(xué)物理教學(xué)參考2021年4月中學(xué)生理科月刊2003年10月解題中的一種思維方法——微元法上海市曹楊中學(xué)（200333）鈄方健“微元法”通俗地說(shuō)就是把研究對(duì)象分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再?gòu)木植康饺w綜合起來(lái)加以考慮的科學(xué)思維方法。高中物理中的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等等，都是用這種方法定義的，還有單擺的周期公式的推導(dǎo)，也用到了這種方法。從數(shù)學(xué)上講，是一種微分的思想方法，但在高三物理總復(fù)習(xí)中，用“微元法”來(lái)解有些問(wèn)題，簡(jiǎn)捷明了是一種普適的好辦法。下面從三方面，談?wù)劇拔⒃ā痹诮忸}中的應(yīng)用。一、合理“取樣”，從局部求整體當(dāng)物體各部分的運(yùn)動(dòng)情況相同時(shí)，取其中一小部分作為研究對(duì)象，是利用“微元法”解題的一種思維方法。[例1]一質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，半徑為R，質(zhì)量為m，設(shè)該環(huán)均勻地帶正電，總帶電量為Ｑ，現(xiàn)將此環(huán)平放在絕緣的光滑水平桌面上，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度為Ｂ，方向豎直向下。當(dāng)此環(huán)繞通過(guò)其中心的豎直軸以ω的角速度順時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)時(shí)，環(huán)中的張力等于多少？（電苛間的作用力忽略不計(jì)）分析與解：如圖1，取環(huán)上微小的一段圓弧，質(zhì)量為m。，設(shè)其張角為2θ，由于環(huán)旋轉(zhuǎn)，那么電苛隨環(huán)運(yùn)動(dòng)形成電流，小圓弧因而受到磁場(chǎng)對(duì)它的安培力，方向沿半徑向外。又小圓弧做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，必須有向心力。所以環(huán)中必定存在張力T，小圓弧所受張力T在沿半徑方向的分力和安培力的合力，提供了小圓弧運(yùn)動(dòng)的向心力。得到：①②圖1③由以上三式,并且當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ求得：二、“化變?yōu)楹恪薄ⅰ盎鸀橹薄鼻笏矔r(shí)速度圖2a圖2b[例2]如圖2a，以不變的速率v圖2a圖2b分析與解：如圖2b所示，當(dāng)繩與水平成θ角時(shí)，小船處在A點(diǎn)?，F(xiàn)經(jīng)一段很短的時(shí)間△t(△t→0)，小船被繩由A拉至B。期間繩的長(zhǎng)度變化△S＝S-S'，則。而在這段時(shí)間內(nèi)，由于AO與BO間的夾角很小，故小船的位移可作下列近似計(jì)算，。由于在極短的時(shí)間內(nèi)，船的運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以船在A處的瞬時(shí)速度無(wú)限接近△t內(nèi)的平均速度。由以上分析可知，小船在A處的瞬時(shí)速度為[例3]三個(gè)物體A、B、C，用繩連接掛在兩個(gè)定滑輪上，A、B質(zhì)量相等且整個(gè)裝置左右對(duì)稱，設(shè)某一瞬間A、B的下降速度為，在這一瞬間繩OD、OE間的夾角為2α,求此時(shí)刻物體C的上升速度。分析與解：圖3，實(shí)線代表某一時(shí)刻繩與物體所在的位置，虛線代表經(jīng)極短時(shí)間后繩物體的位置。是物體C在極短時(shí)間內(nèi)的位移，以E的圓心，以為半徑，在上截取EF=，就是物體A在極短時(shí)間內(nèi)的位移，本來(lái)是圓弧，但β→0，可以看成是直線，并且垂直，這樣=，又因?yàn)樵跇O短的時(shí)間內(nèi)物體C可以是勻速直線運(yùn)動(dòng)，即：圖3從上面的計(jì)算知道，只要用“微量法”，“化變?yōu)楹恪?、“化曲為直”作出一個(gè)直角三角形，就可以直接求出物體的瞬時(shí)速度。[例4]如圖4a，長(zhǎng)為Ｌ的直棒一端可繞固定軸Ｏ轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端Ａ擱在升降平臺(tái)上，平臺(tái)以速度Ｖ勻速上升，當(dāng)棒與豎直方向的夾角為α?xí)r，棒的角速度為多少？圖4a圖4b如圖4b，用“微量法”作出直角三角形，即得：三、找“聯(lián)系點(diǎn)”、“聯(lián)系物”求相關(guān)速度[例5]如圖5a，一輕質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端系一小球A，一物塊高為h卡在水平面與細(xì)桿之間，此時(shí)OA桿與水平面成θ角，物塊向右的速度為vB，求A球此時(shí)的速度大小。分析與解：桿與物塊的接觸點(diǎn)是vB與vA的“聯(lián)系點(diǎn)”，我們可以假設(shè)接觸點(diǎn)處有一小滑環(huán)C固定在物塊上。如圖5b,當(dāng)OA桿繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)很小的角度到達(dá)OA’，可以看出環(huán)C是既繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)又沿桿子滑動(dòng)，最后到達(dá)B點(diǎn)，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)的角度很小，可以認(rèn)為CC’垂直O(jiān)A’，從直角三角形得到，VC=VBsinθ。故圖5a圖5b[例6]如圖6直棒AB兩端分別靠在豎直墻和水平地面上，接觸處均光滑，當(dāng)直棒滑到與水平面成θ角時(shí)，Ａ點(diǎn)向下移時(shí)動(dòng)的速度為υ，則此時(shí)Ｂ點(diǎn)的移動(dòng)速度為多少？分析與解：要求出VB這里的“聯(lián)系物”是棒，根據(jù)微量法作出直角三角形和，分別得到如下兩式：sinθ=V棒／v①cosθ=V棒／VB②故VB=vtgθ圖6例7、如圖7，A、B兩物體用繩相連，在水平面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體A的速度為υ，則物體B的速度VB=？分析與解：明顯這里的“聯(lián)系物”是繩子，由直角三角形，得到如下兩式：cosα=V繩／VB①conβ=V繩／υ②故VB=υconβ／cosα圖7從以上幾個(gè)例子看出,如果有幾個(gè)物體連接在一起，先求出“聯(lián)系點(diǎn)”或“聯(lián)系物”的速度，再用微量法，作出直角三角形，求出要求的瞬時(shí)速度。通訊地址：上海市祁連山南路353號(hào)上海市曹楊中學(xué)郵政編碼：200333SUBJECT信息學(xué)競(jìng)賽中的思維方法廣東省韶關(guān)一中陳彧【關(guān)鍵字】KEYWORDS信息學(xué)思維方法【摘要】本文將借鑒一些數(shù)學(xué)思維理論，探討思維方法在信息學(xué)競(jìng)賽中的地位和作用，并介紹信息學(xué)競(jìng)賽中的幾種思維方法，包括：試驗(yàn)猜想及歸納、模型化、分類及分治、類比。其中將引用大量的例題進(jìn)行思維過(guò)程的分析，大部分的例題是1999年NOI、IOI試題，具有廣泛的代表性。最后總結(jié)本文討論的目的及啟迪。【引論】“奧林匹克是思維的體操”。同其它學(xué)科競(jìng)賽一樣，信息學(xué)競(jìng)賽是在豐富的知識(shí)、一定的實(shí)踐能力的基礎(chǔ)上，思維與思維的競(jìng)賽。優(yōu)秀的選手往往具有快速、敏捷的思維。因此，在我們不斷探討方法、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，有必要嘗試探索系統(tǒng)的思維方法，以達(dá)到啟迪思路的目的。注意思維方法并不是解題方法，我們重在對(duì)思考問(wèn)題的過(guò)程的討論，而不是對(duì)解決問(wèn)題的算法的總結(jié)。在對(duì)思維方法的具體討論之前，讓我們來(lái)看看數(shù)學(xué)家G·波利亞在1944年提出的“怎樣解題表”REF_Ref471366266\r\h[1]：……你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用的上的定理？看看未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)的或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。這里由一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？……如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？……盡管這張表是為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題而設(shè)計(jì)的，但是它給我們的啟迪是多么深刻！信息學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系是何等的緊密，而數(shù)學(xué)思維又是一門(mén)成熟的理論，它給我們的探討帶來(lái)寶貴的啟示?！菊摹克季S方法是多種多樣、因人而異的。本文將選取其中最具代表性的幾種。首先，我們?cè)嚢磦鹘y(tǒng)的“縱向”、“橫向”標(biāo)準(zhǔn)，將本文要討論的信息學(xué)競(jìng)賽思維的幾種一般方法劃分為：縱向：試驗(yàn)猜想及歸納、模型化（化歸）。橫向：分類及分治、類比。其中模型化及類比是這里重點(diǎn)介紹的思維方法，當(dāng)然此外我們也會(huì)多少涉及一些其它的思維方法，如遞歸、篩選、最優(yōu)策略、逆向思維等等也都是我們常見(jiàn)、熟悉的，但因篇幅所限而略去。試驗(yàn)、猜想及歸納我們每個(gè)人的知識(shí)構(gòu)成不同，解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)不同，思維的品質(zhì)不同，甚至性格各異，面對(duì)陌生的問(wèn)題時(shí)，產(chǎn)生的直覺(jué)、“靈感”就五花八門(mén)、各種各樣。在分析問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)往往不止一次地做猜測(cè)：“會(huì)不會(huì)是這樣”、“這不就是某某問(wèn)題嗎”。這些就是在個(gè)人知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、智力的作用下的一種猜想思維。有時(shí)，當(dāng)問(wèn)題過(guò)于復(fù)雜，“老鼠拉龜”——無(wú)從下手，無(wú)法聯(lián)系自己的知識(shí)時(shí)，我們往往希望“盡己所能，先解決規(guī)模更小的問(wèn)題，找找問(wèn)題是否存在規(guī)律吧”。這種“縮小規(guī)?！薄ⅰ罢乙?guī)律”的想法就是試驗(yàn)思維。試驗(yàn)和猜想經(jīng)常是結(jié)合在一起的。不要認(rèn)為這些思維是“不正規(guī)”、不是“名門(mén)正道”的，相反，它體現(xiàn)的是人的思維的火花的跳躍的美。歸納的過(guò)程是對(duì)試驗(yàn)猜想的總結(jié)或證明。歸納通常是嚴(yán)格的。不過(guò)，競(jìng)賽是緊張、緊迫的，在競(jìng)賽中的嚴(yán)格的歸納是不簡(jiǎn)單的、少見(jiàn)的。來(lái)看一個(gè)猜想的例子，IOI’99第一題《小花店》（詳見(jiàn)REFeg9\h[例題7]），經(jīng)驗(yàn)豐富的選手也許未到題目看完就猜測(cè)解題的方法是動(dòng)態(tài)規(guī)劃，這個(gè)猜想的形成誘導(dǎo)他快速地完成題目分析，從而最終確定算法。這個(gè)猜想來(lái)源于扎實(shí)的基本功、廣泛的實(shí)踐和豐富的經(jīng)驗(yàn)：選手對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)踐較多，思考時(shí)可以自然的與做過(guò)的例題類比而做出猜想。所以猜想決不是“瞎猜”。另一種猜想來(lái)源于試驗(yàn)。這里有一個(gè)最“經(jīng)典”的例子：[例題1]m,n∈N,1<=m,n<=k<=109,且(n2-mn-m2)2=1，輸入k，求m,n使m2+n2最大。(NOI’95)從數(shù)據(jù)的規(guī)?？伞安孪搿北绢}一定蘊(yùn)含著更為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)關(guān)系，但是題目的數(shù)學(xué)關(guān)系不明顯，數(shù)學(xué)分析的難度太大。而用簡(jiǎn)單的兩重循環(huán)枚舉可以很方便的算出小數(shù)據(jù)的情況。K123,45,6,78,9,10,11,1213…M1235813…N112358…通過(guò)這些試驗(yàn)，我們猜想符合條件的m,n成Fibonacci數(shù)列。實(shí)際上：n2-mn-m2=-(m2+mn-n2)=-[(m+n)2-mn-2n2]=-[(m+n)2-n(m+n)-n2]更多的猜想來(lái)自類比?？傊孪胧且环N合情的推理，它有利于對(duì)思路的正確誘導(dǎo)。REF_Ref471366391\r\h[2]模型化——“你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？”客觀世界是紛繁復(fù)雜的，當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，通常的想法是通過(guò)分析，不斷的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)換，得到本質(zhì)相同且熟悉的或抽象的、一般的一個(gè)問(wèn)題。這就是化歸思想。把初始的問(wèn)題或?qū)ο蠓Q為原型，把化歸后的相對(duì)定型的模擬化或理想化的對(duì)象或問(wèn)題稱為模型。模型和原型必須是本質(zhì)相同，是等價(jià)的。模型化的方向主要有圖論模型、數(shù)學(xué)模型和規(guī)劃（動(dòng)態(tài)規(guī)劃）模型。圖論模型化是我們最常使用的思想。圖論中有許多成熟的算法。把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象的圖論問(wèn)題，也是許多選手愛(ài)干的事情。原因是，通過(guò)圖論化，本來(lái)復(fù)雜、凌亂的數(shù)據(jù)關(guān)系簡(jiǎn)潔、明了了，問(wèn)題求解的思路也清晰了。[例題2]《最優(yōu)連通子集》在坐標(biāo)平面內(nèi)的整點(diǎn)集中，稱距離為1的兩點(diǎn)相鄰。若S是一個(gè)整點(diǎn)集，R、T是S中的點(diǎn)，若在S中存在互不相同的點(diǎn)序列R-Q1-Q2-…-Qk-T，其中任意相鄰兩項(xiàng)的點(diǎn)相鄰，則稱Q1-Q2-…-Qk為整點(diǎn)集S中連接R與T的一條道路。又若對(duì)于S中任何兩點(diǎn)都有且只有一條連接的道路，則稱S為單整點(diǎn)集。現(xiàn)給定S并給S中所有點(diǎn)賦一個(gè)權(quán)，求單整點(diǎn)集B，B是S的子集且B的權(quán)和最大。(NOI’99)這道題的題目本身便復(fù)雜得不得了，似乎在刻意構(gòu)造一堆復(fù)雜關(guān)系。因此我們就有對(duì)它進(jìn)行“簡(jiǎn)化”的自然愿望。我們很容易就可以想到圖。但是“圖”并沒(méi)有題中“單整點(diǎn)集”的特殊性質(zhì)——“對(duì)于任意兩個(gè)點(diǎn)有且僅有一條道路”。注意到這個(gè)性質(zhì)恰好等價(jià)于“圖中沒(méi)有圈”，而樹(shù)就是沒(méi)有圈的圖。當(dāng)建立“樹(shù)”模型的思想確立后，問(wèn)題就被簡(jiǎn)化了。隨之而來(lái)的是樹(shù)的遍歷、樹(shù)的計(jì)數(shù)等一系列與樹(shù)有關(guān)的算法。于是整道題的思路迅速清晰了許多。一種思路是：“最優(yōu)連通子集”一定是以原“單整點(diǎn)集”某個(gè)點(diǎn)為根的一棵深度搜索樹(shù)上的一棵子樹(shù)。因此對(duì)原“單整點(diǎn)集”進(jìn)行一次遍歷同時(shí)計(jì)算每棵子樹(shù)的最大權(quán)和即可。c***m[例題3]《貓捉老鼠》c***m如右圖是一個(gè)籠子，*是障礙，其中貓的初始位置已知，鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡已知。鼠每秒走一步，貓每秒走S步，問(wèn)貓能否捉住鼠？(GDOI’97)貓要捉住鼠，必須在鼠之前到達(dá)鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡上的某個(gè)位置。由此必須算出貓到達(dá)鼠的軌跡上所有位置的最短時(shí)間。我們也許會(huì)聯(lián)想起最短路徑的“標(biāo)號(hào)法”（又是一種猜想）。這是從問(wèn)題的“未知”方面的考慮。再?gòu)摹耙阎钡姆矫婵紤]，貓?jiān)诨\中行走，步長(zhǎng)已知，則當(dāng)它的位置確定時(shí)下一步能到的位置也確定。這樣，把格子看作頂點(diǎn)，一步能到達(dá)的格子間有邊連接，得到一張圖。易知這樣的圖和原問(wèn)題是等價(jià)的。至此模型化完成，解題思路輪廓已成。在這個(gè)思維過(guò)程中不僅體現(xiàn)了模型化，而且?guī)в胁孪牒碗p向思維的味道。再舉一個(gè)復(fù)雜一些的例子。[例題4]《補(bǔ)丁vs錯(cuò)誤》一個(gè)軟件存在n個(gè)錯(cuò)誤(1<=n<=20)，需要若干補(bǔ)丁，但是每個(gè)補(bǔ)丁只在軟件包含一些錯(cuò)誤而不包含另一些錯(cuò)誤時(shí)才可使用，且每個(gè)補(bǔ)丁只修復(fù)其中一部分錯(cuò)誤，同時(shí)又可導(dǎo)致另一些錯(cuò)誤。每個(gè)補(bǔ)丁的運(yùn)行時(shí)間不同，現(xiàn)在希望修復(fù)軟件所有錯(cuò)誤且耗時(shí)最少。(IOI’99中國(guó)隊(duì)選拔賽)因?yàn)樯婕昂臅r(shí)“最少”的問(wèn)題，我們自然想起最短路徑。為了達(dá)到這個(gè)目的，我們嘗試對(duì)問(wèn)題模型化。n個(gè)錯(cuò)誤的狀態(tài)（存在或沒(méi)有）的組合可以簡(jiǎn)潔地用二進(jìn)制數(shù)表示，所有可能狀態(tài)組成了圖的頂點(diǎn)。頂點(diǎn)之間的有向邊表示可以使用某個(gè)補(bǔ)丁而達(dá)到另一種狀態(tài)。邊權(quán)就是補(bǔ)丁的運(yùn)行時(shí)間。于是問(wèn)題抽象成求源點(diǎn)（2n-1）到終點(diǎn)（0）的一條最短路徑。這個(gè)模型和原型完全等價(jià)，而又體現(xiàn)了原型的“本質(zhì)”所在，是“完美”的。REF_Ref471403515\r\h[3]通常，有關(guān)離散量，數(shù)據(jù)之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮圖論模型化。如果圖論化成功，就容易得知算法的大概復(fù)雜度，是多項(xiàng)式級(jí)、指數(shù)級(jí)、還是階乘級(jí)。建立圖論模型必須注意：模型和原型的本質(zhì)越接近越好。這是因?yàn)椋绻Ｐ捅仍停ǖ谋举|(zhì)，下略）更特殊，就有可能喪失解或得不到解；如果模型比原型更一般，則可能得到的算法的復(fù)雜度過(guò)高，容易超時(shí)，也得不到解。請(qǐng)看下面的例子：[例題5]《隱藏的字碼》給定一個(gè)字碼詞典words.inp和一個(gè)文本text.inp。文本中將包含若干字碼。每個(gè)字碼的字母按順序但不一定是連續(xù)地出現(xiàn)在文本里?，F(xiàn)在要在文本中辨認(rèn)出這些字碼。不同的辨認(rèn)方式將得到不同的字碼，要求文本中包含字碼的子序列（覆蓋序列）無(wú)交叉、重疊，且所有字碼的總長(zhǎng)最大。如有4個(gè)字碼為RuN,RaBbit,HoBbit,StoP，文本為StXRuYNvRuHoaBbvizXztNwRRuuNNP，則劃線部分為3個(gè)覆蓋序列，包含了3個(gè)字碼RuN、RaBbit、RuN，總長(zhǎng)為12。(IOI’99)該題要求一組包含字碼量最多的覆蓋序列。通過(guò)分析我們知道，“右側(cè)最小”覆蓋序列（就是說(shuō)它的任何前綴都不是覆蓋序列）在文本中都是可確定的。于是我們考慮把每個(gè)“右側(cè)最小”覆蓋序列作為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)間的邊表示兩個(gè)序列沒(méi)有互相交疊。每個(gè)序列包含的字碼長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的值。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圖中的最長(zhǎng)鏈。顯然，如此圖論化是不行的：我們都知道最長(zhǎng)路徑?jīng)]有好算法。為什么圖論化后問(wèn)題的復(fù)雜度會(huì)升得如此之高呢？這是因?yàn)?，原型中，覆蓋序列是有順序的，是呈“線性”排列的。而圖是“立體”的，圖的頂點(diǎn)間沒(méi)有什么“先后順序”。把“線性”的轉(zhuǎn)化為“立體”的，模型與原型非但不等價(jià)，反而更一般化了，必定會(huì)使問(wèn)題的復(fù)雜度升高一個(gè)檔次。不過(guò)，并非所有的模型化都是嚴(yán)格等價(jià)的，模型僅是原型的一個(gè)類比，我們通常都不能脫離原型來(lái)設(shè)計(jì)具體的算法。比如REFeg2\h[例題2]中，“單整點(diǎn)集”實(shí)際上比樹(shù)還要特殊：它是根至多有4個(gè)子節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)最多有3個(gè)子節(jié)點(diǎn)的樹(shù)，且節(jié)點(diǎn)間還有更復(fù)雜的關(guān)系。我們撇開(kāi)了這些限制，得到的樹(shù)的模型當(dāng)然與原型不嚴(yán)格等價(jià)，它比原型更一般。但是這個(gè)模型和原型是如此的相似，它們的“本質(zhì)”是一致的。但是如果把“單整點(diǎn)集”理解成圖，模型就太過(guò)一般化以至失去了它的作用。又如REFeg3\h[例題3]，并不是任意一張圖都可以轉(zhuǎn)化為“籠子”的結(jié)構(gòu)，也就是說(shuō)“籠子”和圖不是嚴(yán)格等價(jià)的，但這也不妨礙對(duì)問(wèn)題的求解。在數(shù)學(xué)模型中，使用得最多的是各種組合數(shù)學(xué)模型。組合數(shù)學(xué)的難度是非常大的，建立組合數(shù)學(xué)模型要有很好的數(shù)學(xué)功底，最能體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性。同時(shí)還涉及分類、分治、遞歸等思維。各種各樣的計(jì)數(shù)問(wèn)題都可考慮建立組合數(shù)學(xué)模型，最常用的組合數(shù)學(xué)模型是遞歸關(guān)系。直接利用遞歸關(guān)系計(jì)數(shù)是可行的，但先對(duì)遞歸關(guān)系進(jìn)行求解再計(jì)數(shù)可大大降低復(fù)雜度。REFeg1\h[例題1]就是以組合數(shù)學(xué)中的Fibonacci數(shù)列做模型。最“經(jīng)典”的組合數(shù)學(xué)模型莫過(guò)于Catalan數(shù)了。Catalan數(shù)的一個(gè)原型是這樣的：[例題6]有n個(gè)數(shù)的連乘積k1k2k3…kn，插入足夠的括號(hào)，使每一個(gè)子乘積恰好是兩個(gè)因子的乘積。例如，乘積k1k2k3k4能用括號(hào)括成((k1k2)(k3k4))或(((k1k2)k3)k4)或((k1(k2k3))k4)或(k1((k2k3)k4))或(k1(k2(k3k4)))，注意我們不允許改變ki的次序。求用括號(hào)括n個(gè)數(shù)乘積k1k2k3…kn的方式數(shù)an。建立遞歸關(guān)系，通常要設(shè)法把原問(wèn)題分割成若干規(guī)模更小（分治）、性質(zhì)相同（遞歸）的子問(wèn)題。易知，a2=1，a3=2（((k1k2)k3)及(k1(k2k3))），令a0=0,a1=1，考慮n個(gè)數(shù)乘積的最后乘積（最外層括號(hào)），此最后乘積涉及兩個(gè)子問(wèn)題（分治）的乘積：((k1k2…ki)(ki+1ki+2…kn))，分別用括號(hào)括這兩個(gè)子問(wèn)題的方式數(shù)為ai及an-i（遞歸），故解決兩個(gè)子問(wèn)題共aian-i種方式，其中i能從1開(kāi)始一直到n-1。對(duì)于所有的i相加，我們得到遞歸關(guān)系(n>=2)：an=a1an-1+a2an-2+…+aian-i+…+an-1a1…………（*）這就是Catalan數(shù)的遞歸關(guān)系了。求解這個(gè)遞推關(guān)系我們可得Catalan數(shù)的解REF_Ref471494309\r\h[4]：有許多計(jì)數(shù)問(wèn)題都可以歸結(jié)為Catalan數(shù)的遞歸關(guān)系（*）式。也即是說(shuō)，Catalan數(shù)存在豐富的原型。例如：[凸多邊形問(wèn)題]將一個(gè)凸n邊形用n-3條互不相交的對(duì)角線分割成n-2個(gè)三角形，求分法總數(shù)。[數(shù)的計(jì)數(shù)問(wèn)題]有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的二杈樹(shù)共有多少。采用分治、遞歸等方法，容易得到這兩例的遞歸關(guān)系同樣是（*）式。組合問(wèn)題千變?nèi)f化，求解的方法各種各樣，模型化只是其中一種方向，有時(shí)僅僅是求解過(guò)程中的一步，但通過(guò)這些例子可見(jiàn)它的作用之大。規(guī)劃（數(shù)學(xué)規(guī)劃）模型是數(shù)學(xué)模型的一類。因其常見(jiàn)，故獨(dú)立列出。我們熟悉的規(guī)劃模型主要包括整數(shù)規(guī)劃及動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。整數(shù)規(guī)劃是所有變量均取整數(shù)的規(guī)劃問(wèn)題，這類問(wèn)題的算法通常是階乘級(jí)的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的決策、狀態(tài)變量也是取整數(shù)的，但它的算法復(fù)雜度卻是多項(xiàng)式級(jí)的。帶約束的多變量的求解問(wèn)題，特別是約束條件中有滿足某個(gè)函數(shù)的最大（?。┲?，可考慮建立規(guī)劃模型。建立規(guī)劃模型時(shí)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是首選，如果選整數(shù)規(guī)劃，則要注意算法的優(yōu)化。[例題7]《小花店》現(xiàn)有F束花要從左至右插在V個(gè)花瓶里(1<=F<=V<=100)?；ㄅc瓶分別用1~F與1~V的整數(shù)標(biāo)識(shí)?；ㄒ椿ǖ臉?biāo)識(shí)數(shù)從小到大排列。不同的花插在不同的瓶子里產(chǎn)生不同的美學(xué)價(jià)值(-50到50之間)。求最大美學(xué)價(jià)值及其一種擺放方式。(IOI’99)這實(shí)際上就是對(duì)一系列整數(shù)變量的求解，目標(biāo)函數(shù)是“最大值”型的。所以可以建立規(guī)劃模型：這是整數(shù)規(guī)劃，如果分階段決定xi，模型就向動(dòng)態(tài)規(guī)劃轉(zhuǎn)化了。[例題8]《棋盤(pán)分割》從一個(gè)矩形棋盤(pán)（一刀）割下一塊矩形棋盤(pán)并使剩下部分也是矩形，將剩下部分繼續(xù)如此分割，割了（n-1）次后，得到n塊矩形棋盤(pán)。棋盤(pán)每個(gè)格子有一個(gè)分值，現(xiàn)要把棋盤(pán)按上述規(guī)則割成n塊矩形棋盤(pán)，使各矩形棋盤(pán)的均方差最小。(NOI’99)許多選手都選擇了動(dòng)態(tài)規(guī)劃或搜索算法。為什么呢？這是因?yàn)?，雖然題目?jī)H要求一個(gè)最優(yōu)值，但應(yīng)該想到，均方差是由切的方法來(lái)決定，也就是n-1個(gè)變量，代表每一“刀”的位置。所以題目隱含著對(duì)這n-1個(gè)變量的求解。故比起其它模型來(lái)，問(wèn)題更類似于規(guī)劃模型。問(wèn)題求解的核心，就是這隱含的n-1個(gè)變量的取值。一般來(lái)說(shuō)，搜索總能容易想得到，當(dāng)然也要注意優(yōu)化，而若能加入階段的概念，把這n-1個(gè)變量的求解人為地劃分為n-1個(gè)階段，則自然會(huì)向建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型靠攏。分類及分治分類與分治來(lái)源于我們解決問(wèn)題總是希望“大事化小，小事化了”的愿望。分類，就是按邏輯來(lái)劃分問(wèn)題的各部分。程序的模塊化就是分類思想的產(chǎn)物之一，測(cè)試數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了分類的思想。分類的思維過(guò)程要保持全面、嚴(yán)密。對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)化時(shí)，要保證考慮到了問(wèn)題的方方面面，不重復(fù)，不遺漏。不僅組合問(wèn)題，其它任何問(wèn)題也要注意。[例題9]平面上有n個(gè)點(diǎn)(n>1)，現(xiàn)要求一個(gè)面積最小的圓，它能覆蓋所有這些點(diǎn)。一種思路是這樣的：因?yàn)槿c(diǎn)確定一個(gè)圓，覆蓋所有點(diǎn)的圓面積變小時(shí)一定有“收縮”到使某些點(diǎn)恰落在圓上的趨勢(shì)（可類比凸包）。所以為確定這個(gè)圓，只需枚舉3個(gè)點(diǎn)即可，復(fù)雜度O(n3)。這個(gè)思路是有缺陷的：“收縮”趨勢(shì)的確是存在的，當(dāng)最終落在圓上的點(diǎn)不少于3個(gè)時(shí)，當(dāng)然可以枚舉；問(wèn)題是，有沒(méi)有可能最終只有2個(gè)或僅1個(gè)點(diǎn)落在圓上呢？若僅有1個(gè)點(diǎn)，則顯然圓還可以再“收縮”。若僅有2個(gè)點(diǎn)，則“收縮”促使圓心落在這兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)，即這兩點(diǎn)連線就是圓的直徑，此時(shí)沒(méi)有其它的點(diǎn)在圓上是可能的，如果用3點(diǎn)來(lái)確定這個(gè)圓反而變大了（右圖）！分治在上文中曾多次提到過(guò)。分治是特殊的分類，通常與遞歸聯(lián)系在一起。它的特點(diǎn)是劃分后的子問(wèn)題又是規(guī)模更小的原問(wèn)題，這使得它的思路非常的清晰、簡(jiǎn)潔?？梢哉f(shuō)，分治思想被很好的溶入在上文的各種思想中，如組合數(shù)學(xué)、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、搜索等。類比——你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用的上的定理？……試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)的或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。這里由一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題?！隳懿荒芾盟?？……一個(gè)類比的問(wèn)題？單看REFtbl\h《怎樣解題表》中這么多的文字都涉及類比，就可知道類比的重要。如果說(shuō)前面的介紹都帶有解題方法的分析的話，那么類比就是純粹的思維方法了。事實(shí)上，一開(kāi)始本文引用REFtbl\h《怎樣解題表》，就是一種跨學(xué)科的類比，而前文也多次出現(xiàn)“類比”一詞。REFeg2\h[例題2]中，為什么會(huì)想到樹(shù)呢？因?yàn)榘杨}中“單整點(diǎn)集”中兩個(gè)點(diǎn)有且只有一條道路的性質(zhì)類比樹(shù)的性質(zhì)：“樹(shù)的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間有且只有一條道路”。REFeg3\h[例題3]、REFeg4\h[例題4]中，由于問(wèn)題涉及“最短”，故類比最短路徑，尋找相似，不斷的把問(wèn)題向目標(biāo)轉(zhuǎn)化，最終完成模型化。同樣的問(wèn)題也出現(xiàn)在IOI’99《交通信號(hào)燈》，也是求“最短”，所以也類比最短路徑，尋找差距，再嘗試消除差距，向目標(biāo)轉(zhuǎn)化，結(jié)果發(fā)現(xiàn)同樣滿足“無(wú)后效性”。類比可以是本質(zhì)的類比，也可以是形的類比，總之只要能啟發(fā)思路就行了。REFeg5\h[例題5]與IOI’98的《天外來(lái)客》有幾分相似，于是想到借鑒此題的部分思想，如儲(chǔ)存、“一次性”地讀入數(shù)據(jù)、動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想等。雖然不一定都有用，但啟發(fā)是不小的。REFeg6\h[例題6]可說(shuō)是典型例題了。凡是做組合數(shù)學(xué)時(shí)想想此題，遞推關(guān)系是如何建立的，如何求解的，也許可找到不少可借鑒之處。REFeg7\h[例題8]的形式是常見(jiàn)的，如“求一個(gè)整數(shù)矩陣的子矩陣，使子矩陣元素的和最大”。從這也可啟發(fā)把問(wèn)題分割成子問(wèn)題的分治思想。當(dāng)然由于類比是一種不嚴(yán)格的思維，失敗的類比也是難免的，比如REFeg5\h[例題5]與熟悉的圖論模型的類比，就是不成功的。這再次證明類比僅僅是啟發(fā)思路而已。要注意的是，類比必須“有物可比”。也就是說(shuō)，先要重視知識(shí)、實(shí)踐的積累。越豐富的知識(shí)、越廣泛的實(shí)踐就會(huì)帶來(lái)越多可供類比的對(duì)象，思路就越開(kāi)闊，啟發(fā)就越大?？偠灾惐染褪且环N相似，由于“相似”的含義非常廣泛，所以類比方法的表現(xiàn)形式也就豐富多樣。類比也是一種尋求解題思路，猜測(cè)問(wèn)題答案或結(jié)論的發(fā)現(xiàn)方法REF_Ref471661960\r\h[5]。盡管類比的結(jié)果不一定正確，但它是發(fā)散思維，是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)，有著非常重要的作用。當(dāng)我們面對(duì)問(wèn)題時(shí)，通?？偸峭ㄟ^(guò)觀察弄清問(wèn)題，抓住題目的特征進(jìn)行廣泛的聯(lián)想、檢索和回憶，即憑借已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，做出直覺(jué)性的理解和判斷，選擇總體思路或入手的方向。能否找到合適的策略與觀察問(wèn)題的角度及聯(lián)想范圍的廣窄深淺有關(guān)。當(dāng)思維受阻時(shí)，就應(yīng)調(diào)整思維方向，變換角度再進(jìn)行分析思考，直到產(chǎn)生新的思路REF_Ref471661985\r\h[6]。在這個(gè)過(guò)程中，各種思維方法不是孤立地，而是辯證地運(yùn)用。最后，本文對(duì)思維方法的討論的目的，一是啟迪讀者的思路；二是說(shuō)明平時(shí)的知識(shí)及實(shí)踐積累工作才是發(fā)展個(gè)人思維的最好途徑?！靖戒洝窟@張表包括“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四個(gè)部分。這里僅僅節(jié)選了“擬定計(jì)劃”一節(jié)中的部分內(nèi)容。更多的例子請(qǐng)參見(jiàn)《信息學(xué)奧林匹克》1999第3期26頁(yè)刊登的福建省試題《冪函數(shù)遞歸系數(shù)問(wèn)題》。實(shí)際上這里還需解決儲(chǔ)存量的問(wèn)題(220=1,048,576)，關(guān)系到計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存的技巧，但這不在本文的討論范圍之內(nèi)，故略去。遞歸關(guān)系的求解屬于組合數(shù)學(xué)，不在本文討論的范圍內(nèi)，故略去。在此僅討論遞歸關(guān)系的確立。Catalan數(shù)的求解在各種組合數(shù)學(xué)書(shū)籍里都有，請(qǐng)另行參閱。《數(shù)學(xué)思維論》，P141?！稊?shù)學(xué)思維論》，P242?！緟⒖紩?shū)目】《數(shù)學(xué)思維論》,任樟輝著，廣西教育出版社，1996版?！缎畔W(xué)奧林匹克》雜志《組合數(shù)學(xué)及其在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用》，莊心谷著，西安電子科技大學(xué)出版社，1989版物理解題中的遞推公式分析一些同類特殊事例，確切判斷出它們所共有的因果聯(lián)系和特征，作出一般結(jié)論。這種由特殊推出一般的推理方法叫歸納推理。物理學(xué)中許多普遍概念和規(guī)律都主要是用歸納推理得出的。歸納推理是解決物體與物體發(fā)生多次作用后的情況，即當(dāng)問(wèn)題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想將所研究的問(wèn)題歸類，然后求出通式。常用它來(lái)研究運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，在一定條件下連續(xù)進(jìn)行的、具有共同規(guī)律而具體數(shù)量特征不同的多階段運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。它具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結(jié)論；再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn)，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解；或?qū)С雎?lián)系相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式，再把結(jié)論推廣，后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解。

1、如圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛?，F(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)處與金屬球發(fā)生彈性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場(chǎng)。已知由于磁場(chǎng)的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c(diǎn)處。求經(jīng)過(guò)幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°。【分析】因絕緣球與金屬球每次碰撞后，其速率將減小，從而使其偏離豎直方向的最大角度在減小。而每次兩球碰撞后，絕緣球的速率是有規(guī)律性的變化，要求解本題題設(shè)條件下的碰撞次數(shù)，關(guān)鍵在于歸納出絕緣球在每次碰撞后的速率變化規(guī)律。【解】方法1．根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn)，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解。設(shè)小球m的擺線長(zhǎng)度為l，絕緣球第一次碰撞前的速度為v0，碰撞后絕緣球與金屬球的速度分別為v1、V1，設(shè)速度向左為正，小球m在下落過(guò)程中與M相碰之前滿足機(jī)械能守恒：

，

①

m和M碰撞過(guò)程滿足：mv0=MV1+mv1，

②

，

③

聯(lián)立②、③得：，

由于v1<0，說(shuō)明絕緣球被反彈，而后絕緣球又以反彈速度的大小和金屬球M發(fā)生碰撞，設(shè)第二次碰撞后絕緣球與金屬球的速度分別為v2、V2，滿足：

m|v1|=MV2+mv2，④

，

⑤

由④、⑤解得：，

整理得：同理第三次碰撞后絕緣球的速率v3為：，

由以上歸納推理得到第n次碰撞后絕緣球的速率為vn，

所以：，⑥

經(jīng)過(guò)第n次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°，則

，⑦

聯(lián)立①、⑥、⑦代入數(shù)據(jù)解得，（0．81）n=0．586，

當(dāng)n=3時(shí)，碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°。

方法2．導(dǎo)出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式，再把結(jié)論推廣，后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解。

設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn-1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn和Vn-1，由于碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，碰撞前后動(dòng)能相等，則

mvn-1=MVn+mvn，

，

解得，

由以上歸納推理得到第n次碰撞后絕緣球的速率為vn，，

再利用方法1的求解可得到結(jié)論。

2、某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來(lái)研究碰撞問(wèn)題，其模型如題25圖所示。用完全相同的輕繩將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號(hào)依次為1、2、3……N，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k（k＜1。將1號(hào)球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號(hào)球碰撞，2號(hào)球再與3號(hào)球碰撞……所有碰撞皆為無(wú)機(jī)械能損失的正碰。（不計(jì)空氣阻力，忽略繩的伸長(zhǎng)，g取10m/s2）（1）設(shè)與n+1號(hào)球碰撞前，n號(hào)球的速度為vn，求n+1號(hào)球碰撞后的速度。（2）若N＝5，在1號(hào)球向左拉高h(yuǎn)的情況下，要使5號(hào)球碰撞后升高16k（16h小于繩長(zhǎng)）問(wèn)k值為多少？解：（1）設(shè)n號(hào)球質(zhì)量為m，n+1，碰撞后的速度分別為取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號(hào)球與n+1號(hào)球碰撞前的速度分別為vn、0、mn+1根據(jù)動(dòng)量守恒，有①根據(jù)機(jī)械能守恒，有=②由①、②得設(shè)n+1號(hào)球與n+2號(hào)球碰前的速度為En+1據(jù)題意有vn－1=得vn－1==③（2）設(shè)1號(hào)球擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v1，由機(jī)械能守恒定律有④v1=⑤同理可求，5號(hào)球碰后瞬間的速度⑥由③式得⑦N=n=5時(shí)，v5=⑧由⑤、⑥、⑧三式得k=⑨（3）設(shè)繩長(zhǎng)為l，每個(gè)球在最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩對(duì)球的拉力為F，由牛頓第二定律有⑩則⑾⑾式中Ekn為n號(hào)球在最低點(diǎn)的動(dòng)能由題意1號(hào)球的重力最大，又由機(jī)械能守恒可知1號(hào)球在最低點(diǎn)碰前的動(dòng)能也最大，根據(jù)⑾式可判斷在1號(hào)球碰前瞬間懸掛1號(hào)球細(xì)繩的張力最大，故懸掛1號(hào)球的繩最容易斷。3、如圖所示,一排人站在沿x軸的水平軌道旁,原點(diǎn)O兩側(cè)的人的序號(hào)都記為n(n=1,2,3….每人只有一個(gè)沙袋,x>0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量為m=14千克,x<0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量m′=10千克.一質(zhì)量為M=48千克的小車以某初速度從原點(diǎn)出發(fā)向正x方向滑行.不計(jì)軌道阻力.當(dāng)車每經(jīng)過(guò)一人身旁時(shí),此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上,u的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍.(n是此人的序號(hào)數(shù)(1空車出發(fā)后,車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí)車就反向滑行?(2車上最終有大小沙袋共多少個(gè)?解:(1在小車朝正x方向滑行的過(guò)程中,第(n-1個(gè)沙袋扔到車上后的車速為vn-1,第n個(gè)沙袋扔到車上后的車速為vn,由動(dòng)量守恒定律有小車反向運(yùn)動(dòng)的條件是vn-1>0,vn<0,即M-nm>0

②M-(n+1m<0

③代入數(shù)字,得n應(yīng)為整數(shù),故n=3,即車上堆積3個(gè)沙袋后車就反向滑行。(2車自反向滑行直到接近x<0一側(cè)第1人所在位置時(shí),車速保持不變,而車的質(zhì)量為M+3m.若在朝負(fù)x方向滑行過(guò)程中,第(n-1個(gè)沙袋扔到車上后車速為vn-1′,第n個(gè)沙袋扔到車上后車速為vn′,現(xiàn)取在圖中向左的方向(負(fù)x方向?yàn)樗俣葀n′、vn-1′的正方向,則由動(dòng)量守恒定律有車不再向左滑行的條件是vn-1′>0,vn′≤0即

M+3m-nm′>0

⑤

M+3m-(n+1m′≤0

⑥n=8時(shí),車停止滑行,即在x<0一側(cè)第8個(gè)沙袋扔到車上后車就停住.故車上最終共有大小沙袋3+8=11個(gè).4．一個(gè)質(zhì)量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質(zhì)量為的受斯基摩狗站在該雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下一步，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復(fù)地跳下、追趕并跳上雪橇，狗與雪橇始終沿一條直線運(yùn)動(dòng)。若狗跳離雪橇?xí)r雪橇的速為V，則此時(shí)狗相對(duì)于地面的速度為V+（其中為狗相對(duì)于雪橇的速度，V+為代數(shù)和，若以雪橇運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?，則V為正值，為負(fù)值）。設(shè)狗總以速度追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計(jì)，已知的大小為5m/s,的大小為4m/s,M=30kg,=10kg。（1）求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小。（2）求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數(shù)。（供使用擔(dān)不一定用到的對(duì)數(shù)值lg2=0.301,lg3=0.477）解：（1）設(shè)雪橇運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?。狗?次跳下雪橇后雪橇的速度為V1，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有狗第1次跳上雪橇?xí)r，雪橇與狗的共同速度滿足可解得將=－4m/s,=5m/s,M=30kg,m=10kg代入，得=2m/s（2）解法（一）設(shè)雪橇運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?。狗第（次跳下雪橇后雪橇的速度為，則狗第（次跳上雪橇后的速度滿足這樣，狗次跳下雪橇后，雪橇的速度為滿足解得狗追不上雪橇的條件是可化為最后可求得代入數(shù)據(jù)，得狗最多能跳上雪橇3次雪橇最終的速度大小為解法（二）：設(shè)雪橇運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?。狗第次跳下雪橇后，雪橇的速度為，狗的速度為；狗第次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度為，由?dòng)量守恒定律可得第一次跳下雪橇：第一次跳上雪橇：第二次跳下雪橇：第二次跳上雪橇：第三次跳下雪橇：第三次跳上雪橇：第四次跳下雪橇：此時(shí)雪橇的速度已大于狗追趕的速度，狗將不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最終速度大小為5.626m/s。5、在用鈾235作燃料的核反應(yīng)堆中，鈾235核吸收一個(gè)動(dòng)能約為0.025的熱中子（慢中子）后，可發(fā)生裂變反應(yīng)，放出能量和2～3個(gè)快中子，而快中子不利于鈾235的裂變．為了能使裂變反應(yīng)繼續(xù)下去，需要將反應(yīng)中放出的快中子減速。有一種減速的方法是使用石墨（碳12）作減速劑．設(shè)中子與碳原子的碰撞是對(duì)心彈性碰撞，問(wèn)一個(gè)動(dòng)能為的快中子需要與靜止的碳原子碰撞多少次，才能減速成為0.025的熱中子？解：設(shè)中子和碳核的質(zhì)量分別為和，碰撞前中子的速度為，碰撞后中子和碳核的速度分別為和，因?yàn)榕鲎彩菑椥耘鲎?，所以在碰撞前后，?dòng)量和機(jī)械能均守恒，又因、和沿同一直線，故有（1）（2）解上兩式得（3）因代入（3）式得（4）負(fù)號(hào)表示的方向與方向相反，即與碳核碰撞后中子被反彈．因此，經(jīng)過(guò)一次碰撞后中子的能量為于是（5）經(jīng)過(guò)2，3，…，次碰撞后，中子的能量依次為，，，…，，有……（6）因此（7）已知代入（7）式即得（8）故初能量的快中子經(jīng)過(guò)近54次碰撞后，才成為能量為0.025的熱中子。6、一質(zhì)量為m的小滑塊A沿斜坡由靜止開(kāi)始下滑，與一質(zhì)量為km的靜止在水平地面上的小滑塊B發(fā)生正碰撞，如圖所示．設(shè)碰撞是彈性的，且一切摩擦均不計(jì)．為使二者能且只能發(fā)生兩次碰撞，則k的值應(yīng)滿足什么條件?7、（20分）一傾角為θ＝45°的斜血固定于地面，斜面頂端離地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m＝0.09kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）。小物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2。當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g＝10m/s2。在小物塊與擋板的前4次碰撞過(guò)程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？解析：解法一：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開(kāi)始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)斜面底端時(shí)速度為v。由功能關(guān)系得①以沿斜面向上為動(dòng)量的正方向。按動(dòng)量定理，碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量②設(shè)碰撞后小物塊所能達(dá)到的最大高度為h’，則③同理，有④⑤式中，v’為小物塊再次到達(dá)斜面底端時(shí)的速度，I’為再次碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量。由①②③④⑤式得⑥式中⑦由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級(jí)數(shù)，首項(xiàng)為⑧總沖量為⑨由⑩得⑾代入數(shù)據(jù)得N·s⑿解法二：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開(kāi)始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，小物塊受到重力，斜面對(duì)它的摩擦力和支持力，小物塊向下運(yùn)動(dòng)的加速度為a，依牛頓第二定律得①設(shè)小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則②以沿斜面向上為動(dòng)量的正方向。按動(dòng)量定理，碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量為③由①②③式得④設(shè)小物塊碰撞后沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a’，依牛頓第二定律有⑤小物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大高度為⑥由②⑤⑥式得⑦式中⑧同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量⑨由④⑦⑨式得⑩由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級(jí)數(shù)，首項(xiàng)為⑾總沖量為⑿由⒀得⒁代入數(shù)據(jù)得N·s⒂8、如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高Ｈ，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)。棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg（k>1）。斷開(kāi)輕繩，棒和環(huán)自由下落。假設(shè)棒足夠長(zhǎng)，與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無(wú)動(dòng)能損失。棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)。求：（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過(guò)程中，環(huán)的加速度。（2）從斷開(kāi)輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程Ｓ。（3）從斷開(kāi)輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功Ｗ。（1）設(shè)棒第一次上升過(guò)程中，環(huán)的加速度為a環(huán)環(huán)受合力F環(huán)=kmg－mg由牛頓第二定律F環(huán)=ma環(huán)由①②得a環(huán)=（k-1）g，方向豎直向上（2）設(shè)以地面為零勢(shì)能面，向上為正方向，棒第一次落地的速度大小為v1由機(jī)械能守恒解得設(shè)棒彈起后的加速度a棒由牛頓第二定律a棒=–（k+1）g棒第一次彈起的最大高度解得棒運(yùn)動(dòng)的路程S=H+2H1=（3）解法一棒第一次彈起經(jīng)過(guò)t1時(shí)間，與環(huán)達(dá)到相同速度v’1環(huán)的速度v’1=-v1+a環(huán)t1棒的速度v’1=v1+a棒t1環(huán)的位移棒的位移解得棒環(huán)一起下落至地解得同理，環(huán)第二次相對(duì)棒的位移環(huán)相對(duì)棒的總位移X=x1+x2+……+xn+……W=kmgx得解法二設(shè)環(huán)相對(duì)棒滑動(dòng)距離為l根據(jù)能量守恒mgH+mg（H+l）=kmgl摩擦力對(duì)棒及環(huán)做的總功W=-kmgl解得解題思維習(xí)題01.像12321這樣左右讀都一樣的數(shù)謂為迴文數(shù)，有人說(shuō)四位迴文數(shù)都可被11整除，對(duì)嗎？為什麼？還有幾位數(shù)的迴文數(shù)一定可被11整除？02.五位婦人圍圓桌而坐，只知道趙太太在錢(qián)太太和孫太太之間、美惠在翠明和李太太之間、錢(qián)太太在美惠和愛(ài)蓮之間、翠明和翠鳳是姊妹、意文的左邊是03.如下圖，用縫衣服的針做一個(gè)間距相近的圓形釘盤(pán)，將線按順時(shí)鐘方向，隔固定間隔綁在針上，直到綁到第一根針為止，如果還有未綁線的針，則再拿線依相同的規(guī)則繼績(jī)做下去。m根針，每次隔n格時(shí)只需要幾條線？33針1格5針2格6針3格04.用火柴棒拼出n個(gè)連成一排的正方形需要多少根？拼成n×n的大正方形需要幾支火柴棒？05.雄蜂從未受精的蜂卵中孵出，所以牠有母親而無(wú)父親，雌蜂從受精的蜂卵中孵出，所以牠有雙親，一隻雄蜂往回推n代有多少祖先？其中有多少隻雄蜂？06.如果一個(gè)正方形能被分割成n個(gè)不重疊的正方形，則n稱為「好數(shù)」，好數(shù)有那些？07.一條截面是正n邊形的纜繩，想像用雙手握住它的兩端要頭尾黏在一起，但在黏之前，扭轉(zhuǎn)右手讓多邊形旋轉(zhuǎn)n分之一，如果重複這種動(dòng)作t次，可以想像繩端多邊形旋轉(zhuǎn)全部的n分之t，現(xiàn)在將纜繩兩端多邊形對(duì)齊後黏起來(lái)，然後在外皮的每個(gè)面上塗不同顏色，需要多少種顏色？08.這是個(gè)在固定方格紙上的兩人遊戲，第一位玩家在左下角那一格作上記號(hào)，接下來(lái)玩家將記號(hào)畫(huà)在前一個(gè)記號(hào)之上方、右方、或右上方，誰(shuí)先在畫(huà)到右上角那一格就贏，找出致勝之道。09.選擇大小硬幣各三枚，將它們排成一排，使硬幣連接在一起並且大小相間。移動(dòng)一次必須滑動(dòng)相連的兩個(gè)硬幣到這排上的新位置，不能交換它們。如何使大硬幣全部擺在一邊而小硬幣在另一邊？10.一個(gè)m×n的長(zhǎng)方形，對(duì)角線穿過(guò)幾個(gè)方格？11.許多建築用磚的長(zhǎng)是寬的兩倍，要將它們砌成沒(méi)有缺陷線(如下圖)的牆，牆的大小有哪些可能？缺陷線缺陷線12.某個(gè)村莊中，每天晚上人們便成對(duì)地聚集在一起閒談村裡的事。在每次交談中，每個(gè)人都將其所知的事告訴對(duì)方，請(qǐng)問(wèn)最少經(jīng)幾次交談後，村裡每個(gè)人都知道所有消息？13.拿一張紙條依同方式多次對(duì)摺後，打開(kāi)觀察摺痕，有些向內(nèi)而有些向外。舉例來(lái)說(shuō)，摺三次得到一個(gè)摺痕序列：內(nèi)、內(nèi)、外、內(nèi)、內(nèi)、外、外，如果摺10次會(huì)得到什麼序列？14.有三個(gè)人，每個(gè)人都有兩個(gè)職業(yè)，其中司機(jī)與音樂(lè)家交惡，因?yàn)樗靶σ魳?lè)家的長(zhǎng)髮；音樂(lè)家和園丁常和John去釣魚(yú)；畫(huà)家向心理諮詢師買(mǎi)了一品脫的酒；司機(jī)和畫(huà)家的姊姊約會(huì)；Jack欠園丁5元；Joe用鐵圈打了Jack和畫(huà)家；他們之中有一個(gè)是理髮師而且任兩人工作不同。他們各是什麼職業(yè)？15.25個(gè)銅板被排成5個(gè)5個(gè)一列，一隻蒼蠅停在其中一個(gè)上並想跳上每個(gè)銅板一次，它只能跳上同行或同列的相鄰銅板，可能嗎？16.隨便取一個(gè)數(shù)，找出它所有的因數(shù)，再找出這些因數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)，比較把它們加起來(lái)再平方和把它們立方後再加起來(lái)的結(jié)果。17.有些數(shù)字可以被表示成一串連續(xù)的正整數(shù)之和，例如9＝2＋3＋4、11＝5＋6、18＝3＋4＋5＋6等等，什麼樣的數(shù)字才有這種特性？又表示方法有多少種？18.9個(gè)外觀相同的小球中有一枚較輕，其餘的等重，如何用一個(gè)天平以最少次比較找出這枚較輕的球？19.拿一條細(xì)長(zhǎng)的紙打一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)，輕輕地將它拉緊壓平，為什會(huì)成為一個(gè)「正」五邊形？20.寫(xiě)下1、2、3...成一列：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...然後每逢第三個(gè)數(shù)就刪除：1 2 4 5 7 8 10 ...再將剩下的數(shù)依序累加：1 3 7 12 19 27 37 …接下來(lái)改為每逢第二個(gè)數(shù)就刪除，再將剩下的數(shù)依序累加，你發(fā)現(xiàn)了什麼？21.一個(gè)可以用三角形排列的點(diǎn)來(lái)表示的數(shù)稱之為三角形數(shù)(如下左圖)，可以用五邊形排列的點(diǎn)來(lái)表示的數(shù)稱之為五邊形數(shù)(如下右圖)，哪些數(shù)是三角形數(shù)？哪些是五邊形數(shù)？推廣後，哪些是n邊形數(shù)？22.取一個(gè)三位數(shù)，把它倒過(guò)來(lái)寫(xiě)，用大的數(shù)減去小的，將結(jié)果再倒轉(zhuǎn)一次，然後把它們加起來(lái)，例如取123，倒成321，321－123＝198，再將198倒成891，198＋891＝1089，發(fā)生什麼事了？為什麼？23.隨便寫(xiě)下一個(gè)0和1組成的數(shù)列，假如連續(xù)兩個(gè)數(shù)字相同的話，在它們下面寫(xiě)個(gè)0，否則寫(xiě)個(gè)1，重複這過(guò)程到只剩下一數(shù)字，這數(shù)字是什麼？24.取一組滿足三平方和相等的數(shù)，例如42＋52＋62＝22＋32＋82，組合左右兩邊的數(shù)字如42、53、68，則422＋532＋682＝242＋352＋862，為什麼？25.觀察22＋32＋62＝72 32＋42＋122＝132 42＋52＋202＝212，有一般的形式嗎？再觀察 32＋42 ＝ 52 102＋112＋122 ＝ 132＋142 212＋222＋232＋242 ＝ 252＋262＋272，有一般的形式嗎？26.兩個(gè)玩家輪流喊1、2、3、4、5之中的任一數(shù)字，誰(shuí)先喊到與之前所有數(shù)字總和為31就贏了，那麼先喊的人要喊多少最有利？27.一個(gè)n層的三角格子中有多少個(gè)正三角形？28.編織機(jī)上的毛線被纏繞在梭子上，編織時(shí)一次使用數(shù)個(gè)梭子，不過(guò)換梭子和把毛線重新捲到空梭子上是無(wú)聊又不愉快的工作。如果有c個(gè)繞有同色不同重毛線的梭子，而編織時(shí)需要同時(shí)使用k個(gè)梭子，怎樣可以用完所有梭子上的毛線而不需重捲？29.觀察下表，⊕是什麼作用？表的下一列是什麼？一般性是什麼？9⊕5⊕4＝8⊕7⊕389⊕45⊕64＝68⊕87⊕43789⊕945⊕864＝868⊕787⊕9433789⊕1945⊕2864＝2868⊕3787⊕194323789⊕61945⊕42864＝42868⊕23787⊕61943123789⊕561945⊕642864＝242868⊕323787⊕7619431⊕5⊕6＝2⊕3⊕712⊕56⊕64＝24⊕32⊕76123⊕561⊕642＝242⊕323⊕7611237⊕5619⊕6428＝2428⊕3237⊕761912378⊕56194⊕64286＝24286⊕32378⊕76194123789⊕561945⊕642864＝242868⊕323787⊕76194330.唐三藏從1到9中取出兩個(gè)不同的數(shù)字，將它們的乘積告訴孫悟空，再將它們的和告訴豬八戒；要求他們兩人在不可以看到對(duì)方的數(shù)的前提下去猜這兩個(gè)數(shù)各是多少，於是兩人展開(kāi)一段對(duì)話。孫悟空：「猜不到?！关i八戒：「我也猜不到?！箤O悟空：「那我知道了！」豬八戒：「那我也知道了」請(qǐng)問(wèn)兩人拿到的數(shù)各是多少？31.希望之島中央是機(jī)場(chǎng)，東邊的人是老實(shí)人，而西邊都是說(shuō)謊者。有一天阿丁家到此島觀光，一下飛機(jī)就有導(dǎo)遊甲，導(dǎo)遊乙爭(zhēng)著當(dāng)他們的導(dǎo)遊。阿丁叫導(dǎo)遊甲去問(wèn)導(dǎo)遊乙住在島的那一邊，導(dǎo)遊甲問(wèn)完之後回來(lái)說(shuō)「乙說(shuō)他住在島的西邊」。如果你是阿丁，你會(huì)選誰(shuí)當(dāng)導(dǎo)遊？32.你在心裡想一個(gè)不超過(guò)50的整數(shù)，並從43，57中選一個(gè)數(shù)，然後將兩數(shù)相乘的末兩位數(shù)告訴我，我就能猜透你所想的及所選的數(shù)字，你知道其中的玄機(jī)嗎？33.用等長(zhǎng)的不銹鋼條焊接成正四面體鐵架，1層鐵架需要6條鋼條並有4個(gè)焊接點(diǎn)，2層需12條鋼條並有10個(gè)焊接點(diǎn)，3層需多少條鋼條並有多少個(gè)焊接點(diǎn)？6層呢？n層呢？34.在一個(gè)棋盤(pán)式方格空地上，一個(gè)守護(hù)者站在某一格子內(nèi)時(shí)，以此格子為中心的平行、垂直、對(duì)角線方向都是被監(jiān)控的範(fàn)圍。請(qǐng)問(wèn)至少需幾個(gè)守護(hù)者以及如何擺置才有辦法監(jiān)控整個(gè)棋盤(pán)？又此時(shí)有多少個(gè)小方格被兩個(gè)以上的守護(hù)者監(jiān)控？35.國(guó)王想將n位心愛(ài)的王妃安置在n×n的棋盤(pán)式後宮裡，為了讓每位王妃有自己的妃宮，要選擇n座妃宮。每位王妃都要求她的妃宮向水平、垂直及對(duì)角線方向望去，不想看到其它的妃宮，你能幫國(guó)王解決他的煩惱嗎？36.一位海盜將珠寶埋藏在一個(gè)小島上。他在島的岸邊找到兩塊明顯的大石頭(標(biāo)記為A與B點(diǎn))，並將島上的某三棵大王椰子樹(shù)標(biāo)記為C1、C2、C3。對(duì)大王椰子樹(shù)C1，他找到兩個(gè)點(diǎn)A1、B1，其中A1C1A，B1C1B都是等腰直角三角形(直角都是在C1點(diǎn))，而且角A1C1B，B1C1A都是鈍角。海盜將A1B與B37.一個(gè)條狀的格子由左向右編號(hào)為1、2、3、…，剛開(kāi)始將三個(gè)棋子放在任意三個(gè)格子上，分別記錄為。兩個(gè)人開(kāi)始輪流移動(dòng)棋子，移動(dòng)的方法是：(a)棋子可以移到左邊的空格裡；(b)如果左邊不是空格，棋子可以跳躍左邊的棋子(1or2)到下一個(gè)空格裡。誰(shuí)先把棋子移成(1,2,3)的位置上就獲勝。請(qǐng)討論哪些是先手優(yōu)勢(shì)，哪些又是後手優(yōu)勢(shì)。要找出贏的策略來(lái)。38.十二位教授{A,B,…,L}開(kāi)圓桌會(huì)議，名片依序都放在座位前。A教授最先進(jìn)來(lái)但是其他人的順序不一定。A教授心神彷彿，佔(zhàn)了在他的名片順時(shí)針下一個(gè)座位。其他陪審員逐一進(jìn)來(lái)，如他的位置仍空著，便依照安排入座，但如被佔(zhàn)了，便順時(shí)針?lè)较蛘业谝粋€(gè)空位坐下。這十一位進(jìn)來(lái)的次序數(shù)量很多，但最後能有多少種不同的坐法？39.如果可以將正整數(shù)1,2,3,…,n填在圓周上，使得依順時(shí)鐘方向任何兩個(gè)相鄰的數(shù)之和，都能夠被它們的下一個(gè)數(shù)整除。求n的所有可能值。40.己知在32個(gè)外觀相同的金幣中有兩個(gè)是假幣，這兩個(gè)假幣的重量與真幣的重量不同(每個(gè)真幣的重量都相等；兩個(gè)假幣的重量相等)。假若至多只能用天平稱4次(天平只能顯示兩堆金幣中那堆重量較重或兩堆重量相等)。試問(wèn)：如何將這32個(gè)金幣分為重量相等的兩堆？41.某一學(xué)生有100張標(biāo)有數(shù)字1至100的卡片，同時(shí)也有足夠多個(gè)標(biāo)有"＋"符號(hào)與"＝"符號(hào)的卡片。試問(wèn)：他能構(gòu)造出之等式的最大數(shù)目為何？(例如:3+8=11，2+4+6=12都是等式，一個(gè)等式中只有一個(gè)等號(hào)。每個(gè)標(biāo)有號(hào)碼的卡片不可被使用超過(guò)一次，也不可以上下顛倒使用，更不可以把兩張以上的卡片拼起來(lái)當(dāng)成一個(gè)數(shù)使用。)42.強(qiáng)盜甲及強(qiáng)盜乙二人要分搶來(lái)的100個(gè)金幣，他們分贓的方法如下：每次由強(qiáng)盜甲抓一把金幣，並如實(shí)地報(bào)出金幣的數(shù)量，然後由強(qiáng)盜乙決定這一把金幣歸誰(shuí)所有，這樣繼續(xù)下去，直到當(dāng)中有一人得九次為止，所剩的金幣歸另一人所有(依照這樣的分法也有可能沒(méi)人分到九次，金幣就分完了)，強(qiáng)盜甲每次可按照自己的策略抓取若干個(gè)金幣。無(wú)論強(qiáng)盜乙如何決定，問(wèn)強(qiáng)盜甲保證最多可以得到幾個(gè)金幣？(除寫(xiě)出答案外，請(qǐng)?jiān)斒鰪?qiáng)盜甲之策略，並證明他無(wú)法保證得到更多。)43.將數(shù)字1,2,3,…,64填入8×8的方格表中，每個(gè)小方格填入一個(gè)數(shù)且每個(gè)小方格填入的數(shù)都不相同。規(guī)定任意連續(xù)的二個(gè)數(shù)必須填在相鄰的小方格中。試問(wèn)：依此規(guī)定填滿的方格表，其一條對(duì)角線上的數(shù)值總和最小是多少？(註：所謂相鄰的小方格是指兩個(gè)小方格恰有一個(gè)共同的邊。)44.某一個(gè)法律教授收一學(xué)生,正式授課前,他們簽了這樣的合約:「等到學(xué)生在第一場(chǎng)官司中贏了,才付學(xué)費(fèi)給教授」,幾年後,學(xué)生學(xué)成並開(kāi)始他的律師生涯.但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,扔未有顧客光顧.這時(shí)教授似乎等得不耐煩了,便催促他的學(xué)生立即繳所欠之學(xué)費(fèi),否則便控告他欠債不還之罪.「如果告到官府去,這場(chǎng)官司無(wú)論是我贏了還是輸了,你都要付繳那些學(xué)費(fèi).」教授胸有成竹地對(duì)他的學(xué)生說(shuō).「假如我贏了這場(chǎng)官司,根據(jù)法庭的判決,你當(dāng)然要付還學(xué)費(fèi)給我.假如我輸了,亦即說(shuō),你的第一場(chǎng)官司贏了,根據(jù)我和你的合約,你同樣要付交學(xué)費(fèi)給我.」這位高足聽(tīng)完教授一番偉論後,不慌不忙地說(shuō):[我認(rèn)為無(wú)論你贏了或輸了這場(chǎng)官司,我也不用繳學(xué)費(fèi).因?yàn)?若我贏了,根據(jù)法庭的判決,我不用繳交學(xué)費(fèi).若我輸了,根據(jù)我們的合約,我輸了第一場(chǎng)官司,那麼,扔然不用繳交學(xué)費(fèi).]請(qǐng)問(wèn),這學(xué)生應(yīng)不應(yīng)繳交學(xué)費(fèi)?45.某國(guó)三個(gè)搞革命的哲學(xué)家在革命失敗後，於邊境一小鎮(zhèn)上被捕並關(guān)在鎮(zhèn)上的監(jiān)獄裡。該鎮(zhèn)的鎮(zhèn)長(zhǎng)是個(gè)同情革命的人，而有意放這三個(gè)人逃走。一天警長(zhǎng)手上持著五個(gè)牌子走進(jìn)監(jiān)獄對(duì)他們說(shuō)﹕我手上共有五個(gè)牌子，其中三個(gè)各寫(xiě)個(gè)"放"字。另有'兩個(gè)各寫(xiě)個(gè)"殺"邏輯學(xué)家字?，F(xiàn)在我在每個(gè)人背上各掛一個(gè)牌子，你們只可看到別人背上的字，但看不到自己背上所掛的字。若誰(shuí)能正確猜出自己背上的字，誰(shuí)就可出獄。否則便立即處決!警長(zhǎng)說(shuō)完在人背上掛上一個(gè)<放>的牌子，臨走時(shí)吩咐獄卒看視著這三個(gè)人，不讓他們互相討論。目送警長(zhǎng)走後，這三位哲學(xué)家看看同伴的牌子，各躊躇了一會(huì)，便異口同聲地告訴獄卒是<放>。請(qǐng)問(wèn)這三位哲學(xué)家為什麼如此肯定自己背上的牌子是<放>呢?46.在某地流傳著這樣說(shuō)法~~東村人所說(shuō)的都是謊話.不久,傳到東村去了.村民很憤怒,要村長(zhǎng)追究謠言的來(lái)源.村長(zhǎng)是個(gè)聰明人,他勸村民不要激動(dòng)並解釋說(shuō):[那謠言也可以解釋說(shuō)成''東村人所說(shuō)的都不是謊言''.村民不解.於是村長(zhǎng)繼續(xù)說(shuō):[我是屬於東村的人,如果我也說(shuō):''東村人所說(shuō)的都是謊話''誰(shuí)是說(shuō)謊者在一個(gè)荒島上，居民住著甲和乙兩個(gè)部落。這兩個(gè)部落的人在外表上長(zhǎng)得一模一樣，因此很難從外型分別它們。但是這兩個(gè)部落的人各有不同的特性，就是甲部落的人所說(shuō)的都是真話，乙部落的人所說(shuō)的都是假話。一天一個(gè)探險(xiǎn)者來(lái)到該島上，它遇到A、B、C三個(gè)土人。這三人只懂得一點(diǎn)點(diǎn)探險(xiǎn)者的語(yǔ)言。探險(xiǎn)者問(wèn)土人A道:你是屬於那一部落的人﹖A土人答道:KWCMJTGPTX。探險(xiǎn)者轉(zhuǎn)過(guò)頭來(lái)問(wèn)土人B和C﹕A說(shuō)什麼﹖B土人答道:A說(shuō)他屬於甲部落。C土人答道:A說(shuō)他屬於乙部落。請(qǐng)從上面的對(duì)答中，想想土人B和C屬於那一部落的人﹖真假俱樂(lè)部在真假俱樂(lè)部裡只有兩種人，一種回答問(wèn)題都說(shuō)真話，另一種永遠(yuǎn)都說(shuō)假話。一天中午，王老大進(jìn)入俱樂(lè)部，只見(jiàn)所有的會(huì)員正坐著一圓上午餐，王老大因好奇心驅(qū)使，為了要知道有多少屬於講真話的人，有多少屬於講假話的人。於是，便問(wèn)每一個(gè)會(huì)員一個(gè)問(wèn)題﹕你屬於那一類人﹖但是每個(gè)會(huì)員都回答﹕我屬於只講真話那一類。王老大不得要領(lǐng)，再問(wèn)每一會(huì)員﹕你左手邊的人屬於那一類﹖很奇怪每個(gè)人答覆是﹕他屬專說(shuō)假話得的人。王老大回家後人仍然未能想出分辨他們的辦法。不久他靈機(jī)一動(dòng)，便打電話到俱樂(lè)部去詢問(wèn)該會(huì)的主席，問(wèn)中午餐會(huì)共有多少個(gè)會(huì)員參加。主席答道﹕45個(gè)。王老大放下電話等候片刻再打電話給俱樂(lè)部的秘書(shū)說(shuō)﹕主席說(shuō)今天午餐會(huì)共有45人參加對(duì)不對(duì)﹖秘書(shū)回答﹕主席說(shuō)謊，今天共有50人進(jìn)午餐。於是王老大可確定，午餐中有25個(gè)會(huì)員屬說(shuō)真話一類，有25人屬專說(shuō)假話的一類。小朋友你能說(shuō)出王老大所根據(jù)的理由嗎﹖47.將1～9不重複地填入九個(gè)空格中，使這三個(gè)分?jǐn)?shù)相加＝148.一名農(nóng)夫帶著一隻狼、一隻羊和一顆菜渡河，河上只有一艘小舟，而且只能戴農(nóng)夫和另一樣?xùn)|西，只有農(nóng)夫會(huì)伐船，如果農(nóng)夫不在，狼會(huì)吃羊，羊會(huì)吃菜,農(nóng)夫要如何才能平安的過(guò)河，而不會(huì)有損失？49.有四人想渡河，一名法官，一名警察，一名犯人，一名平民，當(dāng)法官單獨(dú)和警察在時(shí)法官會(huì)欺負(fù)警單獨(dú)和犯人在一起時(shí)，警察會(huì)欺負(fù)犯人，犯人單獨(dú)和平民起時(shí)，犯人會(huì)欺負(fù)平民，四個(gè)人都會(huì)伐船，而船一次可載二人，請(qǐng)問(wèn)