Newton迭代法求解非線性方程

Newton迭代法求解非線性方程

Newton迭代法概述構(gòu)造迭代函數(shù)的一條重要途徑是用近似方程來代替原方程去求根。因此，如果能將非線性方程fx=0用線性方程去代替，那么，求近似根問題就很容易解決，而且十分方便。牛頓設(shè)是方程fx=0的一個近似根，把如果在處作一階Taylor展開，即：(1-1)于是我們得到如下近似方程：(1-2)設(shè)，則方程的解為：x=xk+取作為原方程的新近似根，即令：,k=0,1,2,…(1-4)上式稱為牛頓迭代格式。用牛頓迭代格式求方程的根的方法就稱為牛頓迭代法，簡稱牛頓法。牛頓法具有明顯的幾何意義。方程：(1-5)是曲線上點處的切線方程。迭代格式(1-4)就是用切線式(1-5)的零點來代替曲線的零點。正因為如此，牛頓法也稱為切線法。牛頓迭代法對單根至少是二階局部收斂的，而對于重根是一階局部收斂的。一般來說，牛頓法對初值的要求較高，初值足夠靠近時才能保證收斂。若要保證初值在較大范圍內(nèi)收斂，則需對加一些條件。如果所加的條件不滿足，而導(dǎo)致牛頓法不收斂時，則需對牛頓法作一些改時，即可以采用下面的迭代格式：,(1-6)上式中，，稱為下山因子。因此，用這種方法求方程的根，也稱為牛頓下山法。牛頓法對單根收斂速度快，但每迭代一次，除需計算之外，還要計算的值。如果比較復(fù)雜，計算的工作量就可能比較大。為了避免計算導(dǎo)數(shù)值，我們可用差商來代替導(dǎo)數(shù)。通常用如下幾種方法：割線法如果用代替，則得到割線法的迭代格式為：(1-7)擬牛頓法如果用代替，則得到擬牛頓法的迭代格式為：(1-8)Steffenson法如果用代替，則得到擬牛頓法的迭代格式為：(1-9)算法分析割線法割線法的迭代公式為：,k=0,1,2,…割線法是超線性收斂，其程序流程圖為：擬牛頓法牛頓擬迭代法迭代公式為：對單根條件下，牛頓擬迭代法平方收斂，牛頓擬迭代法程序框圖如下所示：(2)對重根條件下，此時迭代公式修改為：,m為根的重數(shù)此時，牛頓迭代法至少平方收斂。Steffenson法Steffenson迭代法程序流程圖與牛頓擬迭代法類似。牛頓法的程序給定初值，用牛頓法格式，，求解非線性方程。*********************************************************************function[p1,err,k,y]=newton(f1041,df1041,p0,delta,max1)%f1041是非線性函數(shù)。%df1041是f1041的微商。%p0是初始值。%delta是給定允許誤差。%max1是迭代的最大次數(shù)。%p1是牛頓法求得的方程的近似解。%err是p0的誤差估計。%k是迭代次數(shù)。%y=f(p1)p0,feval('f1041',p0)fork=1:max1p1=p0-feval('f1041',p0)/feval('df1041',p0);err=abs(p1-p0);p0=p1;p1,err,k,y=feval('f1041',p1)if(err<delta)|(y==0),break,endp1,err,k,y=feval('f1041',p1)end*********************************************************************四、程序?qū)嵗c計算結(jié)果例用上述程序求方程的一個近似解，給定初值為，誤差界為。解：先用m文件先定義二個名為和的函數(shù)文件。functiony=f1041(x)y=x^3–3*x+2;functiony=df1041(x)y=3*x^2-3;建立一個主程序clearnewton('f1041','df1041',,10^(-6),18)然后在MATLAB命令窗口運行上述主程序，即：>>prog1041計算結(jié)果如下：p0=ans=p1=err=k=1y=p1=err=k=1y=p1=err=k=2y=p1=err=k=2y=p1=err=k=3y=p1=err=k=3y=p1=err=k=4y=p1=err=k=4y=p1=err=k=5y=p1=err=k=5y=p1=err=k=6y=p1=err=k=6y=p1=err=k=7y=p1=err=k=7y=p1=err=k=8y=p1=err=k=8y=p1=err=k=9y=p1=err=k=9y=p1=err=k=10y=p1=err=k=10y=p1=err=k=11y=p1=err=k=11y=p1=err=k=12y=p1=err=k=12y=p1=err=k=13y=p1=err=k=13y=p1=err=k=14y=p1=err=k=14y=p1=err=k=15y=p1=err=k=15y=p1=err=k=16y=