電磁場導論之靜電場

電磁場導論之靜電場第一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場22.1基本方程及其微分形式

電磁場的普遍規(guī)律——麥克斯韋方程組靜態(tài)情況下，D/t=0,B/t=0時變電場和時變磁場相互聯(lián)系、不可分割組成統(tǒng)一的電磁場電場和磁場分為兩個獨立的部分第二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場3靜電場基本方程的積分形式物理學——積分形式——場中大范圍的特性電磁場——微分形式——每個場點上的特性第三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場42.1.1高斯通量定理的微分形式

將閉合面S縮小，使其包圍的體積V0

用哈密頓算子表示

D=

高斯通量定理的微分形式，表明靜電場是有散場。物理意義——

D相當于單位體積散發(fā)的電通量，即電通量體密度

S物理上定義為電荷密度數(shù)學上定義為D的散度divD由divD=第四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場5所以

這就是數(shù)學上的“高斯散度定理”上式把D的體積分轉(zhuǎn)換為D的閉合面積分D表示單位體積散發(fā)出的電通量，即電通量體密度。

表示總體積V中散發(fā)出的電通量，

V表示穿出閉合面S的電通量S同一個量第五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場6在直角坐標系中圓柱坐標系和球坐標系中，D的展開式見附錄。應用之一：特殊情況下，已知

分布，求D分布（例2-1）

應用之二：已知電場D分布，求體電荷密度（例2-2）第六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場7例2.1

已知半徑為R的無限長圓柱體內(nèi)均勻分布體電荷，介電常數(shù)為ε，試由D=求柱內(nèi)外的E。解：由于的分布具有軸對稱性，

因此D的分布也具有軸對稱性，

D只有Dr分量，且只與r有關。柱內(nèi)（rR），有體電荷分布，滿足D=柱外（rR），無體電荷ρ=0，滿足D=0應分兩個區(qū)域分別求解D在柱坐標系下展開簡化第七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場81）在柱內(nèi)（rR時）由不定積分求解得通解(rR)其中C1為積分常數(shù)，因r=0處D=0，故C1=0第八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場92）在柱外（rR）不定積分求解得

(Rr)其中積分常數(shù)C2由分界面邊界條件確定(rR)第九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場10可見，電荷只分布在r≤2的圓柱內(nèi)，圓柱外無電荷分布。例2.2

已知圓柱坐標系中r≤2時，；r>2時，，求電場中的體電荷分布。解：r≤2時：r>2時：該點有D線發(fā)出D>00D線在該點終止D<00D線僅在該點穿過D=0=0第十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場112.1.2環(huán)路定理的微分形式將閉合環(huán)路l縮小，其圍成的面積S0

環(huán)路定理的微分形式，表明靜電場是無旋場。數(shù)學上定義為E的旋度rotE在面的正法線方向en上的投影分量(rotE)n

由于上式無論l為任何方位時均成立，則意味著在靜電場中E的旋度本身為零。所以有

rotE=0

E=0或物理意義:E相當于圍繞場點的小閉合回路所對應的單位面積上的E環(huán)量，即E環(huán)量面密度。

enrotE(rotE)nS第十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場12由于E相當于圍繞場點的小閉合回路所對應的單位面積上的E環(huán)量，即E環(huán)量面密度。

因此，表示面積S上對應的E環(huán)量

它與沿閉合回路l的環(huán)量是同一個量

所以

這就是數(shù)學上的“斯托克斯定理”上式把E

的面積分轉(zhuǎn)換為E的閉合環(huán)路積分第十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場13可根據(jù)場矢量的旋度是否總為零，判斷其是否為靜電場。直角坐標系中圓柱坐標系和球坐標系中的展開式見附錄。例2-3

試判斷真空中的下列表達式是否可能是靜電場？若可能，求相應的電荷密度第十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場14解：E1可能是靜電場，其體電荷密度為E2決不可能是靜電場。第十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場152.1.3

電場量E和D的銜接條件

取兩種電介質(zhì)分界面上的P點為觀察點，圍繞P點作一個很小的矩形回路，它與分界面垂直的邊長Δh→0，分界面平行的上下兩個邊Δl分別在分界面的兩側。

E1t=E2t

可見，分界面兩側的電場強度E的切線分量連續(xù)。由PE1E1tE2E2t12Δh→021ΔlΔl第十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場16由于線性、各向同性電介質(zhì)D=

E，由銜接條件可知得，靜電場折射定律由

Δh→012D1D1nD2nD212P分界面上沒有面電荷時=0包圍分界面上的P點作一個很小的平扁閉合圓柱面

第十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場17續(xù)例2.1前面已求得圓柱體內(nèi)圓柱體外的通解為由于r=R處無面電荷，根據(jù)邊界條件：D1n=D2n則得即因此，圓柱體外的電場第十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場18作業(yè)2-1試判斷以下的表達式是否可能為靜電場？若可能，求相應的體電荷密度。

1）球坐標系中E=（r3+4r2）er

2）直角坐標系中E=2yex+3xey2-2已知半徑為R的球體中均勻分布體電荷，密度為，球內(nèi)外介電常數(shù)均為0，試由高斯通量定律的微分形式D=，求：球體內(nèi)外的電場強度E。R第十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場192.2電位與電位梯度

2.2.1電位的定義靜電場E=0為無旋場，可以用標量電位來描述。

物理意義——

將單位正電荷由P點移到參考點Q電場力所作的功單位V點電荷的電場第十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場20參考點Q選在無限遠處rQ時，表達式最簡單分布在有限范圍內(nèi)的任意電荷產(chǎn)生的電位可由疊加原理計算

參考點原則上可以任意選擇，應使其表達簡式單且有意義。實際工程中，常選大地或機殼為電位參考點。理論計算時，如果電荷分布在無限長或無窮大區(qū)域，不能選無限遠處為電位參考點。

第二十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場21根據(jù)電位定義例如：無限長線電荷的電場中本例中不能選取無限遠處為參考點，否則lnrQ，電位表達式無意義。PrPQrQ只能選有限遠處為電位參考點因此第二十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場222.2.2電位梯度先來推導：表示對源點坐標(x,y,z)求偏導其中

則

P(x,y,z)r(x’,y’,z’)第二十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場23表示對場點坐標(x,y,z)求偏導由于

得到因此第二十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場24從而得到再來推導E=故可改寫為其中由于交換求導、積分次序不影響結果，因此得其中括號內(nèi)為第二十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場25

E的大小——電位的最大空間變化率，

E的方向——電位減小最快的方向。直角坐標系中在圓柱坐標系和球坐標系中的展開式見附錄。當已知電荷分布求電場分布時，可先求得標量電位，然后再由電位梯度求得E矢量。第二十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場26例2-4：電偶極子：一對相距很近的等量異號電荷組成的整體。其特性用電偶極距

p=ql

表示設電偶極子位于球坐標原點，電位參考點在無限遠處。由疊加原理可求得電偶極子產(chǎn)生的電位y+qqr1r2rlxz第二十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場27兩電荷相距很近

場點P離q很遠由電位梯度運算,得電場強度y+qqr1r2rlxz第二十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場282.2.3電力線方程與等位面方程

為了使場形象化，通常繪制電力線圖和等位面圖。電力線微分方程：E

dl=0在直角座標系中Edl=（Exex+Eyey+Ezez）（

dxex+dyey+dzez）=(Eydz

Ezdy)ex+(Ezdx

Exdz)ey+(Ex

dy

Ey

dx

)ez=0E線上每一點的切線方向與該點的電場強度方向一致。因此E

dl=0可表示為上式積分求解，便得到電力線方程（E線方程）第二十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場29靜電場中電位數(shù)值相同的點構成等電位面。由E=

可知：等位面與電力線處處正交（垂直）等電位面越密處，電場強度越大

（x,y,z）=k（常數(shù)）

等位面方程式中k取不同數(shù)值可得到一族等位面例：電偶極子的等位面方程（球坐標系表示）即

取不同K值，對應不同的電位，可畫出r對的曲線第二十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場30電偶極子的電力線微分方程電偶極子沒有E分量，故積分得

即其中積分常數(shù)c可改寫為c=lnC，C取不同數(shù)值，可畫出相應的電力線。則電力線方程為第三十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場31例2-5

等量異號線電荷的幾何軸相距為2b。求：周圍的電位和場強E。解：1）線電荷產(chǎn)生的電位y

xP(x,y,z）

+t（b,o)

t(b,0)rr+式中r+和r分別為場點P到正、負電荷的距離，r0+和r0-分別為參考點到正、負線電荷的距離。

第三十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場32參考點選在y軸r0+=r0-，簡化為

等位線方程用直角坐標系表示為由疊加原理可得整理可得第三十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場33a1h1a2h2a2h2h3a3a4h4a4h4a3h3a2h2h1a1可見：的等位面為一族偏心圓柱面圓柱面的幾何軸線在y=0平面上，與z軸平行；值不同，k值將不同，幾何軸位置h和半徑a隨之不同。xy等位面bb第三十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場34即

等位面與線電荷的相對位置具有如下關系：h1h1a1a1a2a2h2h2a3h3h3a3a4a4h4h4xybb第三十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場352）由電位梯度或疊加原理，可求得電場強度E線的微分方程

為積分求解需要，改寫為積分求解得其中K=lnc為積分常數(shù)，最后的電力線方程第三十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場36圓心在x=0平面上，與z軸距離為y=C/2可見：線電荷的電力線是一族圓；圓周與z=0平面平行，過電軸，并被分為上下兩段，均由+發(fā)出，在終止，與等位面正交；若令c=2bctgC，則圓的方程可寫為對應不同C值，可以畫出相應的電力線。電力線方程第三十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場37xyh1h1a1a1a2a2h2h2a3h3h3a3a4a4h4h4線電荷的等電位線與電力線等位面方程電力線方程第三十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場38作業(yè)2-4已知電位=8x+5y2+10(V)，求：場點（0，0，0）和（1，1，1）的電位與場強數(shù)值

2-6已知同軸電纜外導體的半徑為R2=2cm，電介質(zhì)的擊穿場強為200k/cm。內(nèi)導體的半徑R1為何值時，該電纜能承受最大電壓？并求此最大電壓值。第三十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場392.3靜電場的邊值問題2.3.1泊松方程與拉普拉斯方程D=(E)=E+E=E+()=沒有電荷的場域=0

拉普拉斯方程

D=EE=E=0均勻介質(zhì)=0=2泊松方程

得第三十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場40在直角坐標系中在圓柱坐標系和球坐標系中，2的展開式見附錄。

當場域中的電介質(zhì)不是完全均勻的，但能分成幾個均勻的電介質(zhì)子區(qū)域時，可按各個均勻的子區(qū)域分別寫出泊松方程或拉普拉斯方程求解；然后利用不同介質(zhì)分界面上的銜接條件，來確定相應的積分常數(shù)。第四十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場412.3.2邊值問題的定解條件——場域邊界、自然邊界、介質(zhì)分界面銜接條件1）場域（導體）的邊界條件

第一類：已知場域邊界面S上的電位值，稱之為狄里赫利問題

第二類：已知場域邊界面S上的電位法向?qū)?shù)值，稱之為聶以曼問題

第三類：已知部分場域邊界S1上的電位值和另一部分邊界S2上的電位法向?qū)?shù)值，稱之為混合問題

第四十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場422）自然邊界條件

當電荷分布在有限區(qū)域，場域延伸到無限遠處時，

0。稱為自然邊界條件。3）

介質(zhì)分界面上的銜接條件與E1t=E2t等效與D2nD1n=等效第四十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場432.3.3 邊值問題的不定積分法

理論計算方法直接求解法:不定積分法分離變量法格林函數(shù)法間接求解法:

電軸法鏡象法復位函數(shù)法保角變換法數(shù)值計算法：有限差分法有限元法矩量法模擬電荷法不定積分法——只適用于電位僅與一個坐標變量有關，泊松方程可簡化為一個二階常微分方程，通過不定積分得到通解，確定積分常數(shù)，得到滿足電位和場強的分布函數(shù)表達式。第四十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場44解：只與r有關，與無關、與z無關。

例2-6

同軸電纜內(nèi)外導體半徑分別為R1和R2，電壓為U，試由拉普拉斯方程2=0，求介質(zhì)中的E分布。介質(zhì)中無電荷分布，滿足2=0，在圓柱坐標系下展開簡化為不定積分求解得通解為U第四十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場45由場域邊界的電位值確定積分常數(shù)C1和C2，設外導體r=R2處為電位參考點，內(nèi)導體r=R1處電位為U，則聯(lián)立求解得

第四十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場46因而同軸電纜介質(zhì)中U第四十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場47解：空間電荷分布以x=0平面左右對稱，與y、z無關；因此和E的分布也具有對稱性,且只與x關。在直角坐標系下展開，泊松方程簡化為例2-7已知自由空間中，體電荷密度為由泊松方程求電位及場強E。0xr0(x)(x>0)(x<0)第四十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場481）當x>0時通過一次不定積分，得

再次不定積分，得通解設分界面x=0處為電位參考點，則第四十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場49由于ρ對稱于分界面x=0，x=0處，E=0即則因而

(x<0)2）由于x=0平面左右兩側的電荷分布對稱,由對稱性，同理可得x0區(qū)域的電位解(x>0)第四十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場50兩個區(qū)域中場強解可合并為3）電場強度可通過電位梯度運算得到兩個區(qū)域中場強解可合并為第五十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場512.3.4靜電場的唯一性定理

靜電場問題通常難以通過泊松方程或拉普拉斯方程求解，須采用其他方法求解。

靜電場的唯一性定理：在靜電場中凡滿足電位微分方程和給定邊界條件的解，是給定靜電場的唯一正確解。注意：應同時滿足以下三個條件1）多區(qū)域時，應分別滿足各自場域的微分方程2）在場域的邊界面上，應滿足給定的邊界條件3）不同介質(zhì)分界面上，應符合分界面銜接條件第五十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場52解：判斷依據(jù)——唯一性定理：既滿足泊松方程,又滿足邊值

d0=U0例2-8

試判斷以下表達式哪個是圖示問題的正確解？x0derU0第五十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場532是正確解3也是正確解?4也不是解1絕不是解x0derU思考：為何兩個正確解？E=

唯一第五十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場54例2-9

同軸電纜內(nèi)外導體半徑分別為R1和R2，中間為兩種介質(zhì)，介電常數(shù)分別為1和2，分界面過直徑，電壓為U。試說明兩種介質(zhì)中的E相同。

Ue1R1e2R21中滿足21=02中滿足22=0解：1內(nèi)外邊界電位差為U2內(nèi)外邊界電位差為U且分界面兩側場強切線分量E1t=E2t因此，根據(jù)唯一性定理，可知E1=E2第五十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場55作業(yè)R

202-10圖示長直圓柱體半徑為R，表面電位為U，其中均勻分布體電荷密度為

，介電常數(shù)為20，試由泊松方程求圓柱體內(nèi)的電位和場強。

第五十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場562.4鏡像法與電軸法2.4.1導電平面鏡像接地導電平面存在感應電荷合成場強E不再具有球?qū)ΨQ性無限大接地導電平面上方有一個點電荷q，既無法由高斯通量定理求解，也無法由拉普拉斯方程求解。q2=0=0E=0–––––––第五十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場57對照q在無限大空間產(chǎn)生的電場：根據(jù)唯一性定理，可以判定這兩個問題的上半空間電場解答是相同的。等效點電荷–q代替面電荷鏡像電荷大小——–q位置——–h

q

q=02=0E1hhq2=0=0E=0–––––––h第五十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場58上半空間的電位和場強可由疊加原理得到

q

q=02=0E1hh第五十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場59

解：地面和墻壁均為零等位面，場域中除點電荷所在位置之外，其它場點均滿足拉普拉斯方程。

aabbba

-qq-q2=0=0=0IIIIIIIVqba例2-10

求圖示地面和墻壁附近的點電荷q所受的電場力。2=0baq=0=0第五十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場60一般來說，若兩導電平面夾角為，可用鏡象法求解此時鏡象電荷數(shù)目為個，且都在求解區(qū)外。否則，鏡像電荷必會落在求解區(qū)之內(nèi)，不能用鏡像法求解。qq

q

q第六十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場612.4.2介質(zhì)平面鏡象分界面存在極化電荷，影響兩側的電場分布。（1）1中，除q所在位置外，滿21=0；（2）2中，處處滿足22=0；

1

2（a）qh（3）分界面上，滿足銜接條件1=2邊值問題––––P–––第六十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場62111qq/r1r2h

h22q//hr2對于分界面上的P點，r1=r2=r=rP，由銜接條件1=2確定鏡像電荷聯(lián)立求解，得第六十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場63鏡像法小結實質(zhì)——等效電荷代替不均勻面電荷依據(jù)——靜電場解答的“唯一性定理”關鍵——確定等效電荷的大小和位置注意——鏡像電荷必須在求解區(qū)之外計算——多個點（線）電荷電場疊加第六十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場642.4.3球面鏡象除q位置外，滿足2=0無限遠處（r）=0

1.點電荷q在接地導體球外導體球接地，球面R=0球面存在不均勻面電荷確定鏡像電荷球面電位

d

q

R

R等位面方程r1r2q2

q

R

db即得第六十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場652.點電荷q在不接地導體球外除q所處位置外，空間中滿足2=0；電荷分布在有限范圍內(nèi),無限遠處（r∞），0；q"qbdq'RRdq導體球面等電位，但R0；導體球面上有等量異號感應電荷；負感應電荷——用q’代替，正感應電荷和原有電荷——用q''代替。鏡像電荷第六十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場66q//的大小分三種情況討論1）若球面原來帶電Q

，由q=q'+q"=Q

2）若球面原來不帶電3）若已知球面電位

Rq"qbdq'R得由得第六十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場67例2-12

半徑R=0.1m的不接地導體球原先帶電量Q=10-6庫侖，離球心距離d=0.2m處有一點電荷q=10–5C，求點電荷q受力。dqRQ由庫侖定律可求得點電荷之間的作用力F=F+F=20+13.5=6.5牛頓思考:本例中點電荷q與導體球電荷Q帶同號為何相吸？解：先確定鏡像電荷的大小和位置

qq/q//bd第六十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場68例2-11

無限大接地導板上有一凸起的半球體，正上方有一點電荷q。求：半球體上的最大場強。qhR3）由疊加原理計算A點的最大場強2）撤去平面，用鏡像電荷–q和–q代替平面上的感應電荷

–q/–qdb解：1）撤去半球面，用鏡像電荷q代替球面上的感應電荷q/bqdA第六十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場692.4.4電軸法adxa

電氣和通信工程中常遇到兩根長直、平行、圓柱導體的電場邊值問題（1）兩根圓柱導體外的空間，處處滿足2=0；（2）兩根圓柱導體表面分別為等電位面；（3）兩根圓柱導體表面分別有等量異號電荷。xybbaahh(x,y)r1r2例2-5曾討論過，線電荷的等位面是一族偏心園，且有以下關系第六十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場70電軸法解題步驟daax1）將兩個圓柱面撤去，導體表面電荷用等效電軸代替，aa2）設坐標系原點在電軸中間hhbby3）根據(jù)圓柱導體的半徑a和位置h，確定電軸位置4）由疊加原理計算兩平行圓柱導體外的電位(x,y)r1r2第七十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場71例2-13

半徑分別為R1和R2的兩長直圓柱導線幾何軸間距為d，分別帶等量異號電荷，求導線外的電位分布及A、B兩點的場強。

解：標明等效電軸的位置，取其中間為坐標原點由聯(lián)立求解得求等效電軸到原點的距離BA+(x,y)yxh2R2h1R1bbR1R2

h2h1d則圓柱導體外電位分布為第七十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場72由E=或疊加原理求得場強對于圖示A點

為正值,對于圖示B點

為負值,yB=0

BA+(x,y)yxh2R2h1R1bbR1R2

h2h1d第七十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場732-15

兩種電介質(zhì)分界面附近有一點電荷q=1C，距離分界面h=2cm。求：

1）點電荷q所受的力

2）圖示A點的電位

3）圖示B點的電場強度E

4）穿過分界面進入2中的電通量A1cm2cmq

B1r=12r=2.52cm

作業(yè)2-17

不接地導體球半徑R=0.1m，原先不帶電。距離球心0.2m處有一點電荷q=106庫侖，周圍為空氣。求：

1）球心的電位值（0）；

2）球面的電位值（R）；

3）點電荷q

所受的力f

dqR第七十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場742.5多導體系統(tǒng)的部分電容

2.5.1兩導體間的電容單位：F

電容的大小只與兩導體的形狀、尺寸、相對位置及導體間的介質(zhì)性質(zhì)有關，而與是否帶電及電量大小無關。孤立導體的電容——

看為另一導體在無限遠處電容計算假設qE假設U第七十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場75解：設等效電軸到坐標原點距離為b。

由電軸法可確定兩導線間電壓一般來說

ha，bh，傳輸線向單位長度的電容可簡化為+hbhb例2-14

求：傳輸線單位長度的電容。第七十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場762.5.2多導體系統(tǒng)的部分電容靜電獨立系統(tǒng)：

（n+1）個導體構成的靜電獨立系統(tǒng)q=0

q1

11#q2

2

2#q3

3

3#0#

電場分布只與系統(tǒng)內(nèi)各帶電體的形狀、尺寸、相互位置及電介質(zhì)性質(zhì)有關，而與系統(tǒng)外帶電體無關；

所有電位移D線全部從系統(tǒng)內(nèi)帶電體發(fā)出，全部終止于系統(tǒng)內(nèi)帶電體。第七十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場771）各帶電體電位與各導體電荷之間的關系稱為電位系數(shù)：下標相同的ii稱為自有電位系數(shù)；下標不同的ij稱為互有電位系數(shù)。只與各導體自身的幾何形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的介電常數(shù)有關；

所有電位系數(shù)都是正值；

自有電位系數(shù)ii大于與它有關的互有電位系數(shù)ij互有電位系數(shù)具有互易性ij=ji第七十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場78例2-16

圖示地面附近有兩個半徑為R1的帶電小球，電量分別為q1和q2，可看為集中在球心上。選地面為0號參考導體，求：該系統(tǒng)的電位系數(shù)。

q1q1

q2

q2h2h2Ddh1h1解：考慮到地面感應電荷的影響，應看作是由三個導體組成的靜電獨立系統(tǒng)。將地面影響用鏡像電荷代替，則有

令q10，q2=0，可得則令q20，q1=0，可得

則令q20，q1=0，可得則其中第七十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場792）各帶電體的電荷與各導體電位的函數(shù)關系式稱為靜電感應系數(shù):下標相同的ii稱為自有感應系數(shù)，下標不同的ij（ij）稱為互有感應系數(shù)。

只與導體的幾何形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的介電常數(shù)有關；

自有感應系數(shù)ii都是正值；互有感應系數(shù)ij都是負值；

自有感應系數(shù)ii大于與它有關的互有感應系數(shù)的絕對值ij

。

互有感應系數(shù)具有互易性ij=ji

第七十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場803）各導體與其它導體之間的電壓Ukj分析實際問題時，常將中的電位改寫為各導體之間的電壓Ukj來表示。

例如

因此，方程組改寫為

C

稱為部分電容:主對角線元素Cii稱為自有部分電容，非對角線元素Cij（ij）稱為互有部分電容。

第八十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場81C只與導體的幾何形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的介電常數(shù)有關；部分電容具有以下性質(zhì)：

n+1個導體的獨立系統(tǒng)，共有n（n+1）/2個部分電容。自有部分電容代表各導體與0號導體之間的部分電容；互有部分電容代表非參考導體之間的部分電容。

三相電纜與外殼組成四導體系統(tǒng)，共有６個部分電容。AC10C20C30C12C23C31BC

所有部分電容都是正值；

互有部分電容具有互易性Cij=Cji第八十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場82+V2#3#G1=2=31#q11你能根據(jù)方程組設計測量部分電容的實驗方法嗎？q1j21#3#2#-V+3=01=0G第八十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場83等效電容的概念——從兩個導體看進去的入端等效電容

可通過Y變換和串并聯(lián)化簡得到,一般來說C10=C20=C30，C12=C23=C31；

Y變換時C=CY/3；Y變換時CY=3CCABC10C20C30C12C13C23CABAC10C20C30C12C23C31BCCAB第八十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場842.5.3靜電屏蔽

C121#2#部分電容使導體之間會相互影響

當用不接地導體將某導體包圍0#C20C10對于三導體組成的靜電獨立系統(tǒng)若外導體帶電，僅在0#導體外表面感應電荷q0=–q2，不會在內(nèi)部產(chǎn)生電場，因此對內(nèi)導體實現(xiàn)靜電屏蔽。若內(nèi)導體帶電，則在0#導體內(nèi)外分別產(chǎn)生q0，內(nèi)外電場都會受到影響，外導體的電位U20和電荷q2都會改變，不會產(chǎn)生屏蔽效果。

當用接地導體將某導體包圍雖然q1使0#導體內(nèi)表面產(chǎn)生感應電荷–q0，但外表面沒有+q0，不會改變外導體的電位U20和電荷q2，從而對內(nèi)外導體均實現(xiàn)屏蔽。第八十四頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場85作業(yè)0

hR2-20

半徑為R的長直圓柱形導體離地面高度為h，求以下兩種情況時單位長度導線與大地之間的電容C0。1）考慮大地的影響(需用電軸法)；2）忽略大地的影響（孤立導體）。2-21同軸電纜內(nèi)外導體半徑分別為R1和R2

，絕緣材料的介電常數(shù)為30

。求：單位長度的電容C0。UR2R1第八十五頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場862.6電場能量和電場力

靜電場中儲存著能量，它在電場建立過程中，由外源做功轉(zhuǎn)化而來。2.6.1外源做功轉(zhuǎn)化為電場儲能

對于線性介質(zhì)，使電荷達到最后的分布需要做的功是一定的，與實現(xiàn)這一分布的方式和過程無關。充電方式之一：假設所有電荷密度都按同一比例m增加。充電開始時m=0，各處都沒有電荷，(0)=0；充電終了時m=1，各處都達到電荷密度最終值；在充電過程中0m1，各處都按同一比例增加(t)=m第八十六頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場87因此,將q移至電場內(nèi)，外源作功為由于/

=m

表示某一時刻移動單位電荷所作的功充電全過程，外源作功轉(zhuǎn)化的靜電場能量為考慮到可能存在面電荷，則電場能量積分公式為A='q=(m)(mdV)任一瞬時，電荷密度增量mm第八十七頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場88注意：正確理解公式中各項的含義表示體電荷單獨產(chǎn)生的電能？

表示面電荷單獨產(chǎn)生的電能？

表示儲存在體積V中的電能？

表示儲存在面積S上的電能？

導體系統(tǒng)的儲能由于電荷只分布在導體表面，每個導體表面是等位面第八十八頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場89例2-18

雙線傳輸線導體半徑均為R，幾何軸間距為2h，電壓為U，求：單位長度儲存的電場能量。

R2hxRU解：雙線傳輸線電場蔓延至無界場域由因此，單位長度儲能為

第八十九頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場902.6.2電場能量分布及其密度=D=D

nE=

互相抵消空腔內(nèi)表面S1導體外表面S1r∞時積分為零V'n導體S'1因此電場儲能第九十頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場91對于線性、各向同性介質(zhì)由此，既可求整個場域中的能量，也可求得局部場域中的靜電能量?？梢?，電場能量是分布在場域中每個場點上的靜電能量體密度單位：J/m3例2-17

已知半徑為R的球形空間均勻分布體電荷密度ρ。求電場中的靜電能量。0R0解法一：由電荷積分公式計算

（rR時）

第九十一頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場92球外：球內(nèi)外電場總儲能：解法二：由電場積分公式計算球內(nèi)：可見，兩種解法結果相同，但后者可計算局部場域儲能0R0第九十二頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場932.6.3點電荷系統(tǒng)的互有能量E=E1+E2++En

假設點電荷q1、q2、qn單獨存在時產(chǎn)生的場強分別為E1、E2En

，則合成場強自有能量——將許多元電荷dq從無限遠處移來，壓縮成點電荷qj需要做的功；互有能量——由于電荷之間相互作用引起，隨電荷間相互移近或離遠而改變。利用求解點電荷系統(tǒng)的能量時，其中k應不含自身產(chǎn)生的電位第九十三頁，共一百零三頁，編輯于2023年，星期一*第二章靜電場942.6.4虛位移法求電場力虛位移法——基于虛功原理求電場力的方法。1）廣義坐標和廣義力廣義坐標——確定系統(tǒng)中各導體的形狀、尺寸和相互位置的一組獨立幾何量。廣義力——企圖改變某一廣義坐標的力。

力與能量具有密切聯(lián)系。廣義力的物理含義與所選用的廣義坐標有關，兩者的乘積應等于功（能）。

廣義坐標廣義力乘積長度L（m）一般的力（N）F·dl=dA（N·m）面積S（m2）表面張力（N/m）T·ds=dA（N·m）體積V（