第二節(jié)線性相關(guān)性

第二節(jié)線性相關(guān)性第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例1下列向量組中的向量存在線性關(guān)系嗎?解:線性相關(guān)第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例1下列向量組中的向量存在線性關(guān)系嗎?解:即線性無關(guān)第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一定義2.2(向量組線性相關(guān)性定義二)向量組A:稱為線性相關(guān),若存在不全為0

的數(shù)使稱為線性無關(guān),若當(dāng)且僅當(dāng)都為0.向量組A:一組向量是否線性相關(guān)，就是這組向量能否組合成零向量。第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例2(兩個向量的線性相關(guān)性)判斷下列向量組是否線性相關(guān)解:線性相關(guān)不可能同理線性無關(guān)對應(yīng)分量成比例向量共線(平行)第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一兩個向量線性相關(guān)性的幾何意義線性相關(guān)(共線或平行)線性無關(guān)(不共線不平行)第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例3(1)判斷是否線性相關(guān)(2)可能的話,求出

的一個線性關(guān)系式.解:是否存在不全為0的使即方程組有無非零解?有非零解線性相關(guān)第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一令取則例3(1)判斷是否線性相關(guān)(2)可能的話,求出

的一個線性關(guān)系式.解:是否存在不全為0的使第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一三個向量線性相關(guān)性的幾何意義線性相關(guān)(共面)線性無關(guān)(不共面)(例3)(例1)第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一向量組的線性關(guān)系式就是齊次線性方程組只有零解線性無關(guān)有非零解線性相關(guān)定理2.1系數(shù)矩陣第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一第三次重要總結(jié):下列命題等價(1)A可逆(若A是方陣)(2)只有零解(3)矩陣A的列線性無關(guān)(4)(5)(1’)A不可逆(若A是方陣)(2’)(3’)矩陣A的列線性相關(guān)(4’)(5’)有非零解(若A是方陣)(若A是方陣)(6)A通過初等變換可化為E(若A是方陣)A通過初等變換不可化為E(若A是方陣)(6’)第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例4用觀察法判斷下列向量組是否線性相關(guān)(1)解:4個三維向量線性相關(guān)總結(jié):n個m維向量當(dāng)時,必線性相關(guān).第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一(2)解:線性相關(guān)總結(jié):含零向量的向量組必線性相關(guān).例4用觀察法判斷下列向量組是否線性相關(guān)第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一(3)解:兩個向量不是倍數(shù)關(guān)系,線性無關(guān).例4用觀察法判斷下列向量組是否線性相關(guān)第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例5判斷A的列是否線性相關(guān).解:(法一)解:(法二)的列線性無關(guān).的列線性無關(guān).第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例5第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例7設(shè)向量組A:線性相關(guān),證明:向量組B:也線性相關(guān).證:線性相關(guān),存在不全為0的數(shù)使有不全為0,向量組A

也線性相關(guān).向量組B

總結(jié):向量組線性相關(guān),增加向量后仍線性相關(guān).等價命題:向量組線性無關(guān),減少向量后仍線性無關(guān).第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期一例8設(shè)向量組A:線性無關(guān),向量組B:線性相關(guān),證明:可表示為的線性組合,且表示法唯一.證:線性相關(guān),向量組B

存在不全為0的數(shù)使若存在不全為0的數(shù)使