平面向量數(shù)量積運(yùn)算專(zhuān)題(附答案)及平面向量四心問(wèn)題(最全)

平面向量數(shù)量積運(yùn)算題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，則λ的值為_(kāi)_______.(2)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，那么·的最小值為()A.－4＋eq\r(2) B.－3＋eq\r(2)C.－4＋2eq\r(2) D.－3＋2eq\r(2)變式訓(xùn)練1(2015·湖北)已知向量⊥，||＝3，則·＝________.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015·重慶)若非零向量a，b滿(mǎn)足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D.π(2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于eq\f(π,3)，|a|＝2，|b|＝3，則2a－b與a＋2b的夾角的余弦值等于()A.eq\f(1,26)B.－eq\f(1,26)C.eq\f(1,12) D.－eq\f(1,12)變式訓(xùn)練2(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若＝eq\f(1,2)(＋)，則與的夾角為_(kāi)_______.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120°，則|2a＋b|等于()A.2 B.4C.2eq\r(5) D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為_(kāi)_______.變式訓(xùn)練3(2015·浙江)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b滿(mǎn)足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.高考題型精練1.(2015·山東)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC＝60°，則·等于()A.－eq\f(3,2)a2 B.－eq\f(3,4)a2C.eq\f(3,4)a2 D.eq\f(3,2)a22.(2014·浙江)記max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))設(shè)a，b為平面向量，則()A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|23.(2015·湖南)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則|＋＋|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.94.如圖，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，過(guò)C作AB的垂線(xiàn)l，P為垂線(xiàn)上任一點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝p，則p·(b－a)等于()A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.－eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)5.在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<eq\f(1,2)，則||的取值范圍是()A.(0，eq\f(\r(5),2)] B.(eq\f(\r(5),2)，eq\f(\r(7),2)]C.(eq\f(\r(5),2)，eq\r(2)] D.(eq\f(\r(7),2)，eq\r(2)]6.如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，點(diǎn)M滿(mǎn)足＝3，則·等于()A.2 B.3C.4 D.67.(2014·安徽)設(shè)a，b為非零向量，|b|＝2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.08.(2014·江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________.9.設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均為單位向量，且e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，則向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為_(kāi)_______.10.如圖，在△ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，則||＝________.11.已知向量a＝(sinx，eq\f(3,4))，b＝(cosx，－1).當(dāng)a∥b時(shí)，求cos2x－sin2x的值；12.在△ABC中，AC＝10，過(guò)頂點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為D，AD＝5，且滿(mǎn)足＝eq\f(5,11).(1)求|－|；(2)存在實(shí)數(shù)t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值.平面向量數(shù)量積運(yùn)算題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，則λ的值為_(kāi)_______.(2)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，那么·的最小值為()A.－4＋eq\r(2) B.－3＋eq\r(2)C.－4＋2eq\r(2) D.－3＋2eq\r(2)答案(1)2(2)D解析(1)如圖，·＝(＋)·(＋)＝(＋eq\f(1,3))·(＋eq\f(1,λ))＝·＋eq\f(1,λ)·＋eq\f(1,3)·＋eq\f(1,3λ)·＝2×2×cos120°＋eq\f(1,λ)×2×2＋eq\f(1,3)×2×2＋eq\f(1,3λ)×2×2×cos120°＝－2＋eq\f(4,λ)＋eq\f(4,3)－eq\f(2,3λ)＝eq\f(10,3λ)－eq\f(2,3)，又∵·＝1，∴eq\f(10,3λ)－eq\f(2,3)＝1，∴λ＝2.(2)方法一設(shè)||＝||＝x，∠APB＝θ，則taneq\f(θ,2)＝eq\f(1,x)，從而cosθ＝eq\f(1－tan2\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))＝eq\f(x2－1,x2＋1).·＝||·||·cosθ＝x2·eq\f(x2－1,x2＋1)＝eq\f(x4－x2,x2＋1)＝eq\f((x2＋1)2－3(x2＋1)＋2,x2＋1)＝x2＋1＋eq\f(2,x2＋1)－3≥2eq\r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x2＋1＝eq\r(2)，即x2＝eq\r(2)－1時(shí)取等號(hào)，故·的最小值為2eq\r(2)－3.方法二設(shè)∠APB＝θ，0<θ<π，則||＝||＝eq\f(1,tan\f(θ,2)).·＝||||cosθ＝(eq\f(1,tan\f(θ,2)))2cosθ＝eq\f(cos2\f(θ,2),sin2\f(θ,2))·(1－2sin2eq\f(θ,2))＝eq\f((1－sin2\f(θ,2))(1－2sin2\f(θ,2)),sin2\f(θ,2)).令x＝sin2eq\f(θ,2)，0<x≤1，則·＝eq\f((1－x)(1－2x),x)＝2x＋eq\f(1,x)－3≥2eq\r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào).故·的最小值為2eq\r(2)－3.方法三以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則圓O的方程為x2＋y2＝1，設(shè)A(x1，y1)，B(x1，－y1)，P(x0,0)，則·＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝xeq\o\al(2,1)－2x1x0＋xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,1).由OA⊥PA?·＝(x1，y1)·(x1－x0，y1)＝0?xeq\o\al(2,1)－x1x0＋yeq\o\al(2,1)＝0，又xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，所以x1x0＝1.從而·＝xeq\o\al(2,1)－2x1x0＋xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,1)－2＋xeq\o\al(2,0)－(1－xeq\o\al(2,1))＝2xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,0)－3≥2eq\r(2)－3.故·的最小值為2eq\r(2)－3.點(diǎn)評(píng)(1)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)長(zhǎng)度和夾角，二是利用坐標(biāo)運(yùn)算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來(lái)選擇.注意兩向量a，b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫(xiě)法不同，不應(yīng)該漏掉其中的“·”.(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問(wèn)題：a·b＝0時(shí)得不到a＝0或b＝0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.變式訓(xùn)練1(2015·湖北)已知向量⊥，||＝3，則·＝________.答案9解析因?yàn)椤?，所以·?.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015·重慶)若非零向量a，b滿(mǎn)足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D.π(2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于eq\f(π,3)，|a|＝2，|b|＝3，則2a－b與a＋2b的夾角的余弦值等于()A.eq\f(1,26) B.－eq\f(1,26)C.eq\f(1,12) D.－eq\f(1,12)答案(1)A(2)B解析(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，設(shè)〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴eq\f(8,3)|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(π,4).(2)記向量2a－b與a＋2b的夾角為θ，又(2a－b)2＝4×22＋32－4×2×3×coseq\f(π,3)＝13，(a＋2b)2＝22＋4×32＋4×2×3×coseq\f(π,3)＝52，(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝8－18＋9＝－1，故cosθ＝eq\f((2a－b)·(a＋2b),|2a－b|·|a＋2b|)＝－eq\f(1,26)，即2a－b與a＋2b的夾角的余弦值是－eq\f(1,26).點(diǎn)評(píng)求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線(xiàn)的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線(xiàn)時(shí)兩向量的夾角為鈍角.變式訓(xùn)練2(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若＝eq\f(1,2)(＋)，則與的夾角為_(kāi)_______.答案90°解析∵＝eq\f(1,2)(＋)，∴點(diǎn)O是△ABC中邊BC的中點(diǎn)，∴BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得與的夾角為90°.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120°，則|2a＋b|等于()A.2 B.4C.2eq\r(5) D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為_(kāi)_______.答案(1)A(2)5解析(1)因?yàn)槠矫嫦蛄縜和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120°，所以|2a＋b|＝eq\r((2a)2＋b2＋2×|2a|×|b|cos120°)＝eq\r(22×12＋22＋2×2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝2.(2)方法一以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線(xiàn)為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小值為5.方法二設(shè)＝x(0<x<1)，∴＝(1－x)，＝－＝－x，＝＋＝(1－x)＋eq\f(1,2)，∴＋3＝eq\f(5,2)＋(3－4x)，|＋3|2＝eq\f(25,4)2＋2×eq\f(5,2)×(3－4x)·＋(3－4x)2·2＝25＋(3－4x)22≥25，∴|＋3|的最小值為5.點(diǎn)評(píng)(1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2)即可求解.(2)向量不放在坐標(biāo)系中研究，求解此類(lèi)問(wèn)題的方法是利用向量的運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會(huì)把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|＝eq\r(a2).變式訓(xùn)練3(2015·浙江)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b滿(mǎn)足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.答案eq\f(2\r(3),3)解析因?yàn)閨e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq\f(1,2).所以e1與e2的夾角為60°.又因?yàn)閎·e1＝b·e2＝1，所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2).所以b與e1的夾角為30°，所以b·e1＝|b|·|e1|cos30°＝1.所以|b|＝eq\f(2\r(3),3).高考題型精練1.(2015·山東)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC＝60°，則·等于()A.－eq\f(3,2)a2 B.－eq\f(3,4)a2C.eq\f(3,4)a2 D.eq\f(3,2)a2答案D解析如圖所示，由題意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴BD＝eq\r(3)a.∴·＝||||cos30°＝eq\r(3)a2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)a2.2.(2014·浙江)記max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))設(shè)a，b為平面向量，則()A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2答案D解析由于|a＋b|，|a－b|與|a|，|b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān)，故A，B錯(cuò).當(dāng)a，b夾角為銳角時(shí)，|a＋b|>|a－b|，此時(shí)，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a，b夾角為鈍角時(shí)，|a＋b|<|a－b|，此時(shí)，|a－b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a⊥b時(shí)，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故選D.3.(2015·湖南)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則|＋＋|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.9答案B解析∵A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓直徑，故＋＝2＝(－4,0)，設(shè)B(x，y)，則x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)，∴＋＋＝(x－6，y).故|＋＋|＝eq\r(－12x＋37)，∴x＝－1時(shí)有最大值eq\r(49)＝7，故選B.4.如圖，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，過(guò)C作AB的垂線(xiàn)l，P為垂線(xiàn)上任一點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝p，則p·(b－a)等于()A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.－eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)答案A解析以O(shè)A，OB所在直線(xiàn)分別作為x軸，y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(0,1)，C(eq\f(3,4)，eq\f(1,4))，直線(xiàn)l的方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(3,4)，即x－y－eq\f(1,2)＝0.設(shè)P(x，x－eq\f(1,2))，則p＝(x，x－eq\f(1,2))，而b－a＝(－1,1)，所以p·(b－a)＝－x＋(x－eq\f(1,2))＝－eq\f(1,2).5.在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<eq\f(1,2)，則||的取值范圍是()A.(0，eq\f(\r(5),2)] B.(eq\f(\r(5),2)，eq\f(\r(7),2)]C.(eq\f(\r(5),2)，eq\r(2)] D.(eq\f(\r(7),2)，eq\r(2)]答案D解析由題意，知B1，B2在以O(shè)為圓心的單位圓上，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，eq\f(1,2)為半徑的圓的內(nèi)部.又⊥，＝＋，所以點(diǎn)A在以B1B2為直徑的圓上，當(dāng)P與O點(diǎn)重合時(shí)，||取得最大值eq\r(2)，當(dāng)P在半徑為eq\f(1,2)的圓周上時(shí)，||取得最小值eq\f(\r(7),2)，故選D.6.如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，點(diǎn)M滿(mǎn)足＝3，則·等于()A.2 B.3C.4 D.6答案C解析在△ABC中，因?yàn)椤螦CB＝90°且AC＝BC＝4，所以AB＝4eq\r(2)，且B＝A＝45°.因?yàn)椋?，所以＝eq\f(3,4).所以·＝(＋)·＝2＋·＝2＋eq\f(3,4)·＝16＋eq\f(3,4)×4eq\r(2)×4cos135°＝4.7.(2014·安徽)設(shè)a，b為非零向量，|b|＝2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.0答案B解析設(shè)a與b的夾角為θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成，記S＝eq\i\su(i＝1,4,)(xi·yi)，則S有以下三種情況：①S＝2a2＋2b2；②S＝4a·b；③S＝|a|2＋2a·b＋|b|2.∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cosθ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cosθ.易知②最小，即8|a|2cosθ＝4|a|2，∴cosθ＝eq\f(1,2)，可求θ＝eq\f(π,3)，故選B.8.(2014·江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________.答案22解析由＝3，得＝eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，＝＋＝＋eq\f(1,4)，＝－＝＋eq\f(1,4)－＝－eq\f(3,4).因?yàn)椤ぃ?，所以(＋eq\f(1,4))·(－eq\f(3,4))＝2，即2－eq\f(1,2)·－eq\f(3,16)2＝2.又因?yàn)?＝25，2＝64，所以·＝22.9.設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均為單位向量，且e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，則向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為_(kāi)_______.答案eq\f(π,2)解析由e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，可得cos〈e1，e2〉＝eq\f(e1·e2,|e1||e2|)＝eq\f(\r(3),2)，故〈e1，e2〉＝eq\f(π,6)，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝eq\f(5π,6).f(e1，e2)＝e1coseq\f(π,6)－e2sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)e1－eq\f(1,2)e2，f(e2，－e1)＝e2coseq\f(5π,6)－(－e1)sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)e1－eq\f(\r(3),2)e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(eq\f(\r(3),2)e1－eq\f(1,2)e2)·(eq\f(1,2)e1－eq\f(\r(3),2)e2)＝eq\f(\r(3),2)－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1).故向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為eq\f(π,2).10.如圖，在△ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，則||＝________.答案eq\f(\r(13),2)解析因?yàn)椤矗担?0°，所以·＝||·||cos60°＝1×3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，又＝eq\f(1,2)(＋)，所以2＝eq\f(1,4)(＋)2＝eq\f(1,4)(2＋2·＋2)，即2＝eq\f(1,4)(1＋3＋9)＝eq\f(13,4)，所以||＝eq\f(\r(13),2).11.已知向量a＝(sinx，eq\f(3,4))，b＝(cosx，－1).(1)當(dāng)a∥b時(shí)，求cos2x－sin2x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(3)，b＝2，sinB＝eq\f(\r(6),3)，求f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))(x∈[0，eq\f(π,3)])的取值范圍.解(1)因?yàn)閍∥b，所以eq\f(3,4)cosx＋sinx＝0.所以tanx＝－eq\f(3,4).故cos2x－sin2x＝eq\f(cos2x－2sinxcosx,sin2x＋cos2x)＝eq\f(1－2tanx,1＋tan2x)＝eq\f(8,5).(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2(sinx＋cosx，－eq\f(1,4))·(cosx，－1)＝sin2x＋cos2x＋eq\f(3,2)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋eq\f(3,2).由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6),3),2)＝eq\f(\r(2),2).所以A＝eq\f(π,4)或A＝eq\f(3π,4).因?yàn)閎>a，所以A＝eq\f(π,4).所以f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))－eq\f(1,2).因?yàn)閤∈[0，eq\f(π,3)]，所以2x＋eq\f(π,4)∈[eq\f(π,4)，eq\f(11π,12)].所以eq\f(\r(3),2)－1≤f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))≤eq\r(2)－eq\f(1,2).所以f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))的取值范圍為[eq\f(\r(3),2)－1，eq\r(2)－eq\f(1,2)].12.在△ABC中，AC＝10，過(guò)頂點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為D，AD＝5，且滿(mǎn)足＝eq\f(5,11).(1)求|－|；(2)存在實(shí)數(shù)t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值.解(1)由＝eq\f(5,11)，且A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，可知||＝eq\f(5,11)||.又AD＝5，所以DB＝11.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，所以BC＝14.所以|－|＝||＝14.(2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14.由余弦定理，得cosA＝eq\f(102＋162－142,2×10×16)＝eq\f(1,2).由x＝＋t，y＝t＋，知k＝x·y＝(＋t)·(t＋)＝t||2＋(t2＋1)·＋t||2＝256t＋(t2＋1)×16×10×eq\f(1,2)＋100t＝80t2＋356t＋80.由二次函數(shù)的圖象，可知該函數(shù)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝1時(shí)，k取得最小值516.近年來(lái)，對(duì)于三角形的“四心”問(wèn)題的考察時(shí)有發(fā)生，尤其是和平面向量相結(jié)合來(lái)考察很普遍，難度上偏向中等，只要對(duì)于這方面的知識(shí)準(zhǔn)備充分，就能應(yīng)付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”問(wèn)題的類(lèi)型題做一闡述：一、

重心問(wèn)題三角形“重心”是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，所以“重心”就在中線(xiàn)上.例1

已知O是平面上一

定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：，則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的

（

）Ａ

外心

Ｂ

內(nèi)心

C

重心

D

垂心解析：如圖1，以AB，AC為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABCD，E為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，根據(jù)向量平行四邊形法則

，因?yàn)椋?，上式可化為，E在直線(xiàn)AP上，因?yàn)锳E為的中線(xiàn)，所以選C.點(diǎn)評(píng)：本題在解題的過(guò)程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合.二、

垂心問(wèn)題三角形“垂心”是三角形三條高的交點(diǎn)，所以“垂心”就在高線(xiàn)上.例2

P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是△ABC的（

）.A．外心

B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心解析:由.

即.

則，

所以P為的垂心.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線(xiàn)垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí).將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線(xiàn)垂直”等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合.三、

內(nèi)心問(wèn)題三角形“內(nèi)心”是三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，所以“內(nèi)心”就在內(nèi)角平分線(xiàn)線(xiàn)上.例3

已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)P一定過(guò)△ABC的〔

〕.A、重心

B、垂心

C、外心

D、內(nèi)心解析：如圖2所示，因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為，

又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先是什么？想想一個(gè)非零向量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí)，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，這道題就迎刃而解了.四、

外心問(wèn)題三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，所以“外心”就在垂直平分線(xiàn)線(xiàn)上.例4已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若，則O是△ABC的〔

〕.A．重心

B.垂心

C.外心

D.內(nèi)心解析：，由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等.故

是

的外心

，選C.點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合三角形的“四心”與平面向量向量本身是一個(gè)幾何概念，具有代數(shù)形式和幾何形式兩種表示方法，易于數(shù)形結(jié)合，而且向量問(wèn)題在進(jìn)行數(shù)形結(jié)合時(shí)具有新形式、新特點(diǎn)，因此可稱(chēng)為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)交匯點(diǎn)。三角形的“四心”（外心、內(nèi)心、重心、垂心）是與三角形有關(guān)的一些特殊點(diǎn)，各自有一些特殊的性質(zhì)。在高考中，往往將“向量作為載體”對(duì)三角形的“四心”進(jìn)行考查。這就需要我們?cè)谑煜は蛄康拇鷶?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上讀懂向量的幾何意義。與三角形的“四心”有關(guān)的一些常見(jiàn)的重要的向量關(guān)系式有：設(shè)，則向量必平分∠BAC，該向量必通過(guò)△ABC的內(nèi)心;設(shè)，則向量必平分∠BAC的鄰補(bǔ)角設(shè)，則向量必垂直于邊BC，該向量必通過(guò)△ABC的垂心△ABC中一定過(guò)的中點(diǎn)，通過(guò)△ABC的重心點(diǎn)是△ABC的外心點(diǎn)是△ABC的重心點(diǎn)是△ABC的垂心點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心(其中a、b、c為△ABC三邊)△ABC的外心、重心、垂心共線(xiàn)，即∥設(shè)為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，G為△ABC的重心，，I為△ABC的內(nèi)心，則有并且重心G（EQ\F(XA+XB+XC,3)，EQ\F(YA+YB+YC,3)）內(nèi)心I（EQ\F(aXA+bXB+cXC,a+b+c)，EQ\F(ayA+byB+cyC,a+b+c)）AFECTB例1：（2003年全國(guó)高考題）是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）AFECTB（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心事實(shí)上如圖設(shè)都是單位向量易知四邊形AETF是菱形故選答案B例2：（2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果，則O必為△ABC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心事實(shí)上OB⊥CA故選答案D例3：已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)O是三角形ABC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心事實(shí)上由條件可推出故選答案D例4：設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心事實(shí)上故選答案D例5、已知向量滿(mǎn)足條件，，求證