2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，因此?故選：A.2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題“，”為全稱量詞命題，該命題的否定為“，”.故選：B.3．甲、乙、丙人站到共有級(jí)的臺(tái)階上（每級(jí)臺(tái)階足夠長，可站多人），同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知甲、乙、丙人每人都有種選法，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，甲、乙、丙人每人都有種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)是種.故選：C.4．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若表示取得次品的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)超幾何分布的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意知的可能取值為服從超幾何分布，所以，所以.故選：C項(xiàng).5．云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長.已知某科技公司年至年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場(chǎng)規(guī)模與年份代碼的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼12345云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模千萬元7.4112036.65522.43.03.64.0由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模的估計(jì)值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出、的值，代入回歸方程求出的值，可得出關(guān)于的回歸方程，然后在回歸方程中令可得出的值，即可求得的值，即可得解.【詳解】由題意可得，，將代入回歸方程可得，所以，關(guān)于的回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.故選：B.6．某學(xué)校選派甲，乙，丙，丁，戊共5位優(yōu)秀教師分別前往四所農(nóng)村小學(xué)支教，用實(shí)際行動(dòng)支持農(nóng)村教育，其中每所小學(xué)至少去一位教師，甲，乙，丙不去小學(xué)但能去其他三所小學(xué)，丁，戊四個(gè)小學(xué)都能去，則不同的安排方案的種數(shù)是（

）A．72 B．78 C．126 D．240【答案】B【分析】分組討論結(jié)合組合排列關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】要求每所小學(xué)至少去一位教師，則需要將5人分成4組，則①甲，乙，丙中有2位教師去同一所學(xué)校有：種情況，②甲，乙，丙中有1位教師與丁去同一所學(xué)校有：種情況，③丁，戊兩人選擇同一所學(xué)校有：種情況，所以滿足題意的情況為：，故選：B.7．三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙家為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)對(duì)該圖進(jìn)行涂色，有種不同的顏色可供選擇，相鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到四種顏色的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出所有的涂色方案種數(shù)，然后求出只用到四種顏色的涂色種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】先考慮所有的涂色方案種數(shù)：區(qū)域⑤有種涂色方法，區(qū)域①有種涂色方法，區(qū)域②有種涂色方法.若區(qū)域③和區(qū)域①同色，則區(qū)域④有種涂色方法；若區(qū)域③和區(qū)域①異色，則區(qū)域③有種涂色方法，區(qū)域④有種涂色方法.綜上所述，所有的涂色方法種數(shù)為種.接下來考慮只用到四種顏色的涂色方案種數(shù)：先從種顏色選擇種顏色，共種，區(qū)域⑤有種涂色方法，則區(qū)域①③同色或區(qū)域②④同色，若區(qū)域①③同色，則區(qū)域②④異色；若區(qū)域②④同色，則區(qū)域①③異色.此時(shí)，不同的涂色方案種數(shù)為種.因此，該方案恰好只用到四種顏色的概率是.故選：C.8．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布可計(jì)算隨機(jī)變量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其范圍.【詳解】隨機(jī)變量可能的取值為..，故的分布列為：23故因?yàn)?，故，而，故A、B錯(cuò)誤.而，令，因?yàn)?，故，此時(shí)，必成立，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差的計(jì)算以及函數(shù)的值域的求法，計(jì)算分布列時(shí)可借助常見的分布列（如二項(xiàng)分布等）來計(jì)算，估計(jì)方差的范圍時(shí)，注意利用換元法把高次函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題.二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值判斷.【詳解】A.取特殊值，，，顯然不滿足結(jié)論；B.由可知，，由不等式性質(zhì)可得，結(jié)論正確；C.由同向不等式的性質(zhì)知，，可推出，結(jié)論正確；D.取，滿足條件，顯然不成立，結(jié)論錯(cuò)誤.故選：BC.10．隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的定義以及期望，方差的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，所以，故，因此，，，所以正確的是ABD．故選：ABD．11．廉江紅橙是廣東省廉江市特產(chǎn)、中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品．設(shè)廉江地區(qū)某種植園成熟的紅橙單果質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且，．下列說法正確的是（

）A．若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取1個(gè)，則這個(gè)紅橙的質(zhì)量小于167g的概率為0.7B．若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取1個(gè)，則這個(gè)紅橙的質(zhì)量在167g～168g的概率為0.05C．若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取600個(gè)，則質(zhì)量大于163g的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為480D．若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取600個(gè)，則質(zhì)量在163g～168g的個(gè)數(shù)的方差為136.5【答案】BCD【分析】A.由求解判斷；B.由求解判斷；C.由質(zhì)量大于163g的個(gè)數(shù)求解判斷；D.由質(zhì)量在163g～168g的個(gè)數(shù)求解判斷.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，所以B正確．，若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取600個(gè)，則質(zhì)量大于163g的個(gè)數(shù)．所以，所以C正確．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，則，所以，若從種植園成熟的紅橙中隨機(jī)選取600個(gè)，則質(zhì)量在163g～168g的個(gè)數(shù)，所以，所以D正確．故選：BCD12．一個(gè)不透明的袋子里，裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球，每次從中不放回地取出一球，則下列說法正確的是（

）A．取出個(gè)球，取到紅球的概率為B．取出個(gè)球，在第一次取到藍(lán)球的條件下，第二次取到紅球的概率為C．取出個(gè)球，第二次取到紅球的概率為D．取出個(gè)球，取到紅球個(gè)數(shù)的均值為【答案】ABD【分析】根據(jù)古典概型概率公式可求得A正確；根據(jù)條件概率公式可求得B正確；將第二次取到紅球分為兩種情況，將概率加和可求得C錯(cuò)誤；記取到的紅球數(shù)為，計(jì)算可得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，根據(jù)均值求法可求得D正確.【詳解】對(duì)于A，取出個(gè)球，取到紅球的概率，A正確；對(duì)于B，記第一次取到藍(lán)球?yàn)槭录诙稳〉郊t球?yàn)槭录?，則，，，B正確；對(duì)于C，若第一次取到紅球，第二次也取到紅球，則概率為；若第一次取到藍(lán)球，第二次取到紅球，則概率為；第二次取到紅球的概率，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，記取到的紅球數(shù)為，則所有可能的取值為，，，，；取到紅球個(gè)數(shù)的均值為，D正確.故選：ABD.三、填空題13．空間中有個(gè)點(diǎn)，其中任何個(gè)點(diǎn)不共面，過每個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，可以作__________個(gè)平面.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用組合計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】空間中有個(gè)點(diǎn)，其中任何個(gè)點(diǎn)不共面，過每個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，能作的平面的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.14．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】10【分析】根據(jù)給定條件，確定展開式常數(shù)項(xiàng)的構(gòu)成形式，再借助二項(xiàng)式定理求解作答.【詳解】展開式中的常數(shù)項(xiàng)是展開式的含的項(xiàng)與相乘的積，展開式的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：1015．有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙工廠分別生產(chǎn)件、件、件，而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為、、，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，則取到次品的概率為__________.【答案】【分析】記事件、、分別表示所抽取的產(chǎn)品由甲、乙、丙工廠生產(chǎn)，記事件為“所抽的產(chǎn)品為次品”，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件、、分別表示所抽取的產(chǎn)品由甲、乙、丙工廠生產(chǎn)，記事件為“所抽的產(chǎn)品為次品”，則，，，，，由全概率公式可得.故答案為：.16．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中畫了一張表示二項(xiàng)式展開式的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣（如圖所示），在“楊輝三角”中，第20行所有數(shù)字的平方和等于__________.（用一個(gè)組合數(shù)作答）【答案】【分析】把寫成，再利用二項(xiàng)式定理求出項(xiàng)的系數(shù)作答.【詳解】依題意，在“楊輝三角”中，第20行所有數(shù)字的平方和等于，可視為按x升冪展開與按x降冪展開的兩個(gè)多項(xiàng)式乘積展開式的含項(xiàng)的系數(shù)，即展開式含項(xiàng)的系數(shù)，而，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，所以.故答案為：.四、解答題17．2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，某中學(xué)高二年級(jí)共300人，其中男生150名，女生150名，學(xué)校團(tuán)委對(duì)是否喜歡觀看該世界杯進(jìn)行了問卷調(diào)查，男生喜歡觀看的人數(shù)為90，女生喜歡觀看的人數(shù)為60.(1)根據(jù)題意補(bǔ)全2×2列聯(lián)表：喜歡觀看不喜歡觀看合計(jì)男生150女生150合計(jì)300(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡觀看世界杯與性別有關(guān)？參考臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828，.【答案】(1)2×2列聯(lián)表見解析；(2)能認(rèn)為該校學(xué)生喜歡觀看世界杯與性別有關(guān).【分析】（1）根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)確定男女生喜歡、不喜歡觀看球賽的人數(shù)，即可完成列聯(lián)表；（2）應(yīng)用卡方公式求卡方值，根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想即可得結(jié)論.【詳解】（1）依題設(shè)，喜歡觀看的男生有人，不喜歡觀看的男生有人；喜歡觀看的女生有人，不喜歡觀看的女生有人，列聯(lián)表如下圖示：喜歡觀看不喜歡觀看合計(jì)男生9060150女生6090150合計(jì)150150300（2）由，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為該校學(xué)生喜歡觀看世界杯與性別有關(guān).18．已知函數(shù).(1)若時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最小值.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；(2)答案見解析.【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間作答.（2）利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)在上的單調(diào)性，再求出最小值作答.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2），函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.19．已知公差不為零的等差數(shù)列滿足是的等比中項(xiàng)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)從下面兩個(gè)條件選擇一個(gè)作為已知條件，求數(shù)列的前項(xiàng)和.①；

②.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)；(2)答案見解析【分析】（1）先利用題給條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）選①利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和；選②利用裂項(xiàng)相消法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】（1）等差數(shù)列滿足是的等比中項(xiàng)，，即由，可得由，可得.（2）若選①：，則.；若選②：...20．“綠色出行，低碳環(huán)?！币殉蔀樾碌臅r(shí)尚，近幾年國家相繼出臺(tái)了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景.某公司對(duì)A充電樁進(jìn)行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并計(jì)算得.A充電樁投資金額x/萬元3467910所伏利潤y/百萬元1.5234.567(1)已知可用一元線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)若規(guī)定所獲利潤y與投資金額x的比值不低于，則稱對(duì)應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額”.記2分，所獲利潤y與投資金額x的比值低于且大于，則稱對(duì)應(yīng)的投入額為“良好投資額”，記1分，所獲利潤y與投資金額x的比值不超過，則稱對(duì)應(yīng)的投入額為“不合格投資額”，記0分，現(xiàn)從表中6個(gè)投資金額中任意選2個(gè)，用X表示記分之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：.【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）利用給定的數(shù)表求出，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）求出的可能值，及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.【詳解】（1）由數(shù)表知，，因此，，所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）由數(shù)表知，，，因此“優(yōu)秀投資額”有2個(gè)，“良好投資額”有1個(gè)，“不合格投資額”有3個(gè)，的可能值為，，，所以的分布列為：01234數(shù)學(xué)期望.21．設(shè).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）分離參數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值即可得到的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）解：因?yàn)?，所以?duì)任意的，恒成立，等價(jià)于在上恒成立.令，則.再令，則，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以有唯一零點(diǎn)，且.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，即，即，因?yàn)?，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，即，因?yàn)?，，所以，，可得，所以，則.所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)求導(dǎo)后，把導(dǎo)數(shù)構(gòu)造成新的函數(shù)再次求導(dǎo)，借助隱零點(diǎn)求出的最小值，進(jìn)而借助恒成立的內(nèi)容進(jìn)行解答.22．某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.(1)若，當(dāng)時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤為Y（單位：元）.（i）請(qǐng)用表示；（ii）設(shè)備升級(jí)后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加控制