遠期及遠期的定價

遠期及遠期的定價2023/6/71第一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二從本章開始，我們將介紹財務(wù)工程的基本定價技術(shù)，其中的關(guān)鍵是衍生金融工具的定價。定價（pricing）是確定衍生工具的理論價格，它既是市場參與者進行套期保值、投機和套利的依據(jù)，也是金融工程師CHUANG造金融工具對外報價的依據(jù)。定價技術(shù)是基于對市場作為一定的假設(shè)下得到的，實際的交易價格以此為基礎(chǔ)。將介紹遠期、期貨、互換、期權(quán)，這四種金融工具的定價方法。從理論上說，任何復(fù)雜的金融工具的定價都可以據(jù)此推導(dǎo)出來。2023/6/72第二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二產(chǎn)生的背景：19世紀30-40年代,芝加哥成為美國中西部地區(qū)的重要的農(nóng)產(chǎn)品集散中心.由于農(nóng)產(chǎn)品具有很強的季節(jié)性,在農(nóng)產(chǎn)品收割季節(jié),農(nóng)產(chǎn)品大量涌入芝加哥各類農(nóng)產(chǎn)品交易市場.產(chǎn)生了很大的問題.交通運力不足的問題交通道路問題倉儲問題短時間內(nèi)供大于求完成交易的糧食的及時疏散問題導(dǎo)致農(nóng)產(chǎn)品價格在豐收季節(jié)價格暴跌,大量谷物無人問津,不僅嚴重挫傷了農(nóng)民的積極性也造成了嚴重的浪費.到了第二年春季青黃不接的時候,因糧食短缺,價格飛漲,造成加工企業(yè)原料不足生產(chǎn)困難,消費者成為最終的受害者.第三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二糧食商人在供求矛盾的不斷沖擊下,開始行動起來在交通要道的兩旁建立倉庫,收獲季節(jié)從農(nóng)民手中收購糧食,然后根據(jù)市場供應(yīng)情況,再不斷的發(fā)往外地.但是這樣雖然解決農(nóng)民賣糧難的問題,但是另一個問題也產(chǎn)生了糧食商人處于嚴重的價格風(fēng)險中為了解決這一問題,糧食商人購入糧食以后,立刻開始尋找糧食加工商,銷售商簽訂供貨合同,以事先確定的價格確定未來的糧食銷售,以確保利潤.第四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二1848年芝加哥的82位商人發(fā)起成立了芝加哥交易所(ChicagoBroadoftrade).起初這個交易所僅僅是一個商會組織,致力于改進運輸和倉儲條件,為會員提供價格信息服務(wù),促進買賣雙方達成交易.由于當(dāng)時的交通,通信條件的限制,糧食運輸很不可靠,從美國東部等其他地方傳來的供求消息很長時間才能到達芝加哥,糧價波動很大.客觀上需要避嫌工具.1851年芝加哥交易所引進了第一份遠期合約.農(nóng)場主可以利用遠期合約來保護他們的利益,避免糧食運到芝加哥市因價格下跌或需求不足而造成損失;加工商或銷售商也可以利用遠期合約減少各種原因而引起的加工費上漲的風(fēng)險,保護自身的利益.第五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二2.1遠期合約的結(jié)構(gòu)遠期合約是衍生工具的基本組成元素。定義2.1：遠期合約（forwardcontract）是買賣雙方約定未來的某一確定時間，按確定的價格交割一定數(shù)量資產(chǎn)的合約。標(biāo)的資產(chǎn)（underlyingasset）：任何衍生工具都有標(biāo)的資產(chǎn)，標(biāo)的資產(chǎn)的價格直接影響衍生工具的價值，即由標(biāo)的資產(chǎn)衍生。交割日（deliverydate）：交割時間交割價格（deliveryprice）：合約中規(guī)定的價格2023/6/76第六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二多頭（longposition）和空頭（shortposition）：合約中標(biāo)的資產(chǎn)的買方和賣方記號：t時刻標(biāo)的資產(chǎn)的價格St，K代表交割價格，到期日為T。到期日遠期合約多方的收益為

ST-K空方的收益為

K-ST注意：任何衍生金融工具都是零和博弈。2023/6/77第七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二第八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二定義2.2：遠期價格（forwardprice）：任意時刻t，使遠期合約價值為零的價格為遠期價格。根據(jù)無套利原理，遠期合約簽訂之日，遠期合約價值為零，交割價格＝遠期價格。隨著時間推移，遠期理論價格有可能改變，而原有合約的交割價格則不可能改變，因此原有合約的價值就可能不再為零,交割日遠期價格為多少？遠期價格與現(xiàn)貨價格緊密相連，理解：小麥遠期與小麥現(xiàn)貨，可以把它們作為兩種商品對待。2023/6/79第九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二遠期合約是適應(yīng)規(guī)避現(xiàn)貨交易風(fēng)險的需要而產(chǎn)生的。遠期合約是非標(biāo)準化合約。優(yōu)點：靈活性較大。在簽署遠期合約之前，雙方可以就交割地點、交割時間、交割價格、合約規(guī)模、標(biāo)的物的品質(zhì)等細節(jié)進行談判，以便盡量滿足雙方的需要。2023/6/710第十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二缺點：非集中。遠期合約屬于柜臺交易，沒有固定的、集中的交易所。不利于信息交流和傳遞，不利于形成統(tǒng)一的市場價格，市場效率較低。流動性較差。非標(biāo)準化，每份遠期合約千差萬別，這就給遠期合約的流通造成較大不便，故遠期合約要終止是很難的。沒有履約保證。當(dāng)價格變動對一方有利時，對方有可能無力或無誠意履行合約，因此遠期合約的違約風(fēng)險較高。

2023/6/711第十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二2.2現(xiàn)貨-遠期平價定理在遠期合約的最初，交易雙方同意一個就某項資產(chǎn)到期時候的執(zhí)行價格，這個價格如何確定呢？它到底與現(xiàn)貨價格有什么關(guān)系。例子：《蒙娜麗莎》的現(xiàn)貨價格與遠期價格，假設(shè)你擁有它，并想賣掉她如果立即交付，《蒙娜麗莎》的現(xiàn)貨價格＝市場價格2023/6/712第十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二假設(shè)有個買主想要將《蒙娜麗莎》的交付期推遲一年機會成本：如果現(xiàn)在出售，賣主則可以得到現(xiàn)金，投資于無風(fēng)險債券，因此，一年延期的成本就是放棄的利息收入，當(dāng)然還有保管費、保險等費用收益：可以開辦畫展等所以，遠期價格隨著機會成本的增加而上升，且隨著標(biāo)的資產(chǎn)收益的增加而下降。2023/6/713第十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二2.2現(xiàn)貨-遠期平價定理回顧：連續(xù)復(fù)利的概念若名義利率為r，一年（期）平均付息m次，則相應(yīng)的有效利率rm為后者為連續(xù)復(fù)利，如果是T年（期），則2023/6/714第十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二第十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二定理3.1（現(xiàn)貨-遠期平價定理）：假設(shè)遠期的到期時間為T，現(xiàn)貨價格為S0，則遠期價格F0滿足F0=S0erT。證明：（反證法）我們可以采用套利定價的方法來證明上述結(jié)論。假設(shè)F0>S0erT

，考慮下述投資策略：投資者在當(dāng)前（0時刻）借款S0用于買進一個單位的標(biāo)的資產(chǎn)，同時賣出一個單位的遠期合約，價格為F0，借款期限為T。在遠期合約到期時（T時刻），投資者用持有的標(biāo)的資產(chǎn)進行遠期交割結(jié)算，因此獲得F0，償還借款本息需要支出S0erT。2023/6/716第十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二因此，在遠期合約到期時，他的投資組合的凈收入為F0-S0erT

，而他的初始投入為0，這是一個無風(fēng)險的套利。反之，若F0<S0erT，即遠期價格小于現(xiàn)貨價格的終值，則套利者就可進行反向操作，即賣空標(biāo)的資產(chǎn)S0，將所得收入以無風(fēng)險利率進行投資，期限為T，同時買進一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠期合約，交割價為F0。在T時刻，套利者收到投資本息S0erT，并以F0現(xiàn)金購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣空時借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實現(xiàn)S0erT-F0的利潤。上述兩種情況與市場上不存在套利機會的假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，則F0=S0erT。證畢。2023/6/717第十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二理解：現(xiàn)貨-遠期平價定理一個農(nóng)民想把他的牛賣掉，若今天的價格為S0，那么如果他1天（月、年）后賣掉，即為牛的遠期價格F0，不計牛的飼養(yǎng)成本，那么牛遠期應(yīng)該比牛現(xiàn)貨價格高？若牛能夠在今日賣掉，獲得現(xiàn)金，以無風(fēng)險利率投資就獲得利息。F0=S0erT2023/6/718第十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二如果這只牛在10天后交割，而這只牛在此期間會產(chǎn)下一頭小牛，假定這只小牛的現(xiàn)值為I，那牛的遠期價格該是多少？如果這只牛在交割后才會產(chǎn)下一頭小牛，那牛的遠期價格該是多少？2023/6/719第十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二兩個推論以上證明的是標(biāo)的資產(chǎn)本身不帶來利息的遠期價格。如小麥遠期。但是，對于持有期間可以生息的資產(chǎn)，則需要對公式進行調(diào)整，如債券遠期。若空方持有的標(biāo)的資產(chǎn)在遠期合約在到期前獲得收益的現(xiàn)值為I，則2023/6/720第二十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二如果遠期的標(biāo)的資產(chǎn)提供確定的紅利。假設(shè)紅利是連續(xù)支付的，紅利率為q。由于具有紅利率q，該資產(chǎn)的價格才為S0，它等價于價格為

的無紅利資產(chǎn)。由無紅利的資產(chǎn)的定價公式可得2023/6/721第二十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二補充證明：以債券為例注意：債券的貼現(xiàn)率不等于無風(fēng)險收益率？2023/6/722第二十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二遠期合約的價值0時刻：遠期合約的價值為零。即交割價格為t時刻：根據(jù)定義t時刻的遠期價格為此時，遠期合約的價值（現(xiàn)值）不為零為2023/6/723第二十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二顯然有注意：t時刻標(biāo)的資產(chǎn)的遠期價格隨現(xiàn)貨價格變化而變化，而可能不在等于交割價格K。對于0時刻以k價格購買遠期的投資者，如果t時刻現(xiàn)貨價格降低，則根據(jù)遠期－現(xiàn)貨平價公式，遠期價格也降低，這樣t時刻該合約就處在負值狀態(tài)。2023/6/724第二十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二無紅利資產(chǎn)有紅利資產(chǎn)：已知紅利的現(xiàn)值I有紅利資產(chǎn)：已知紅利率為q（連續(xù)復(fù)利）2023/6/725第二十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例子：遠期價格與遠期合約價值A(chǔ)股票現(xiàn)在（0時刻）的價格是25美元，年平均紅利率為4％（連續(xù)復(fù)利），無風(fēng)險利率為10％，若以股票為標(biāo)的資產(chǎn)，其6個月的遠期合約之交割價格為27美元，求該遠期合約的價值？第二十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二回憶遠期價格的定義，該遠期合約的價格是多少？2023/6/727第二十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二公式應(yīng)用：股指套利我們可以把股票指數(shù)看作一種連續(xù)支付紅利的投資品種。對應(yīng)于構(gòu)成指數(shù)的成分股股票組合，其紅利就是該投資組合的持有者的收入。由于指數(shù)通常包含大量股票，并且股票支付紅利的時間是間隔開來的，因此，我們可以近似地假設(shè)紅利是連續(xù)支付的。根據(jù)無套利定價原理，股票指數(shù)（現(xiàn)貨）與股指期貨應(yīng)滿足平價公式。第二十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二假設(shè)紅利率為q，其他因素不計，則股指期貨就相當(dāng)于股指遠期，其價格為其中，S0為當(dāng)前的股票指數(shù)。指數(shù)套利（低買高賣）：若上述的等式不成立，（1）前者（F0）大于后者，則購買指數(shù)對應(yīng)的股票投資組合S0

，同時賣空股指期貨可以盈利；（2）反之，若后者大于前者，則賣空指數(shù)對應(yīng)的股票投資組合同時買進股指期貨可以盈利。2023/6/729第二十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二由于指數(shù)涉及市場上所有股票，指數(shù)套利有時只買賣數(shù)量較少的、有代表性的股票樣本構(gòu)成的投資組合，它的價值變化跟蹤了股票指數(shù)的變化軌跡，就存在跟綜誤差交易策略：跟蹤誤差最小化和交易成本之間的權(quán)衡。指數(shù)套利通常是通過程序化交易來實現(xiàn)的。所謂程序化交易，就是利用計算機來產(chǎn)生交易指令。2023/6/730第三十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二案例：美國股災(zāi)1987年10月19日，在正常情況下，股指期貨與股票指數(shù)滿足但是，在市場暴跌時，二者的關(guān)系可能會嚴重背離，為什么？2023/6/731第三十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二1987年10月19日，美國股市跌幅超過20%。在這一天的大多數(shù)時候，相對于標(biāo)的指數(shù)而言，股指期貨的價格都顯著地偏低。標(biāo)準普爾500指數(shù)來說，當(dāng)天的收盤價位為225.06點(下跌了57.88點)，而相應(yīng)的12月份期貨價格為201.05（下跌80.75）。在當(dāng)天的市場條件下，盡管指數(shù)與股指期貨嚴重背離，但是如果就此進行指數(shù)套利將是非常危險的，因為市場可能會繼續(xù)惡化。10月20日，指數(shù)與股指期貨之間的裂縫繼續(xù)擴大，12月份的股指期貨的價格曾經(jīng)低于指數(shù)18%。2023/6/732第三十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二2.3遠期利率協(xié)議（FRA）象其他的衍生金融工具一樣，F(xiàn)RA不交易本金，因此，它是資產(chǎn)負債表的表外項目。名義本金（nominalprincipal）由于FRA市場不采取“逐日盯市”制度，F(xiàn)RA市場只由信用很好的機構(gòu)組成。FRA市場在很大程度上是以美元計值的銀行同業(yè)市場。2023/6/733第三十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二2.3.1基本概念FRA（forwardrateagreement）：交易雙方為規(guī)避未來利率風(fēng)險或利用未來利率波動進行投機而約定的一份遠期協(xié)議。它是在某一固定利率下的遠期對遠期名義貸款，不交割貸款本金，只交割協(xié)議利率與參考利率的利差部分。遠期對遠期：遠期借款對遠期還款利率上升則多方獲利，空方損失，反之則反。2023/6/734第三十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二多方：是名義上承諾借款、支付利息的一方；空方：名義上提供貸款、收取利息的一方。協(xié)議金額、名義金額——名義上借貸本金的數(shù)量。標(biāo)價貨幣或協(xié)議貨幣——協(xié)議金額的面值貨幣。最大的市場是美元、英鎊、歐元、日元協(xié)議利率——FRA中規(guī)定的借貸固定利率，一旦確定是不變的。參考利率——市場決定的利率?？勺兊?，參考利率通常是被市場普遍接受的利率，如LIBOR（倫敦同業(yè)拆借利率）。2023/6/735第三十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二如：1×4FRA，是指從即期日到到期日為4個月，從即期日到交割日為1個月（遞延期限），即從交割日到到期日只有3個月（借款的實際期限）2023/6/736第三十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二交易日——FRA交易的執(zhí)行日。即期日——在交易日后兩天，是遞延期限（不計利息）的起始時間?；鶞嗜铡_定參考利率的日子，在交割日之前兩天。交割日——名義貸款的開始日，在這一天，交易的一方向另一方支付經(jīng)過貼現(xiàn)的利息差（利息預(yù)付）。到期日——名義貸款的到期日。如果正好是休息日，那么順延到下一個工作日。協(xié)議期限——是名義貸款期限，等于交割日與到期日之間的實際天數(shù)。注意與實際借款的區(qū)別：（1）名義性：不支付本金，只支付利差（2）利息在借款開始時支付2023/6/737第三十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例子：1993年4月12日成交一份1個月（遞延期限）對3個月（貸款期限）的遠期利率協(xié)議（1×4FRA）的各個日期為：交易日——1993/4/12即期日——1993/4/14基準日——1993/5/12交割日——1993/5/14到期日——1993/8/16合約期限為94天1×4指即期日與交割日之間為1個月，從即期日到貸款的最后到期日為4個月。由于1993年8月14日是星期六，順延到下一個工作日就是8月16日（星期一）。遞延期限為1個月，協(xié)議期限為3個月。2023/6/738第三十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二2.3.2FRA的定價利率的預(yù)期理論：FRA定價最簡單的方法是把它看作彌補即期市場上不同到期日之間的“缺口”的工具?；仡櫍豪势谙藿Y(jié)構(gòu)理論包括預(yù)期理論、流動性偏好、市場分割理論第三十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二多方（協(xié)議購買方，名義借款方）希望防范利率上升的風(fēng)險，因此，若實際利率高于協(xié)議利率，則空方向多方支付利差。協(xié)議利率低，多方相當(dāng)于獲得了一個低于市場利率的貸款，顯然是獲利的，所以，多方（名義借款方）是利率的看漲方，空方（名義貸款方）是利率的看跌方。交割額的計算：注意交割額在交割日預(yù)付需要進行貼現(xiàn)。2023/6/740第四十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例子：遠期利率的確定2000年3月1日，某人有一筆資金需要投資一年，當(dāng)時6個月期的利率為9%（連續(xù)復(fù)利），1年期的利率為10%（連續(xù)復(fù)利）。投資者有兩種選擇：直接投資一年獲取10%的利息收入先投資半年獲取9%的利率，簽訂半年遠期利率協(xié)議。顯然，要鏟除套利的話，遠期利率應(yīng)該約等于11%，為什么？2023/6/741第四十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二2023/6/742第四十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二FRA的協(xié)議期限[ts，tl]

可以看作彌補即期市場上兩個不同投資期限[0,ts]、[0,tl]的缺口。在確定投資期為[0,tl]

的投資方式時，投資者有兩種選擇：在即期市場上直接投資期限為[0,tl]的投資工具；在即期市場上選擇投資期為[0,ts]的工具，同時作為賣方參與遠期利率（即提供遠期貸款）2023/6/743第四十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二如果市場上不存在套利機會，那么上述兩種投資選擇的收益率應(yīng)該相同，即：其中，is和表示即期市場上相應(yīng)投資期限[0,tl]的即期利率；tf是FRA的協(xié)議期限，if是遠期利率，即FRA的協(xié)議利率（單利）。2023/6/744第四十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二遠期利率協(xié)議的定價（連續(xù)復(fù)利）2023/6/745第四十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二例子假設(shè)2年期即期年利率（連續(xù)復(fù)利，下同）為10.5%，3年期即期年利率為11％，本金為100萬美元的2年×3年遠期利率協(xié)議的合同利率為11％，請問該遠期利率協(xié)議的價值和遠期利率（理論上）為多少？2023/6/746第四十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二tstl0A第四十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二由此可見，由于協(xié)議利率低于遠期利率（理論利率），這實際上給了多方（借款方）的優(yōu)惠，故合約價值為正。反之，當(dāng)協(xié)議利率高于遠期利率的時候，空方獲利，這意味著遠期合約的價值為負。遠期合約的價值總是從多方的視角來看的！2023/6/748第四十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二2.4遠期匯率合約遠期外匯合約（ForwardExchangeContracts）是指雙方約定在將來某一時間按約定的遠期匯率買賣一定金額的某種外匯的合約。按照遠期的開始時期劃分，遠期外匯合約又分為直接遠期外匯合約（OutrightForwardForeignExchangeContracts）遠期期限從現(xiàn)在開始算遠期外匯綜合協(xié)議（SyntheticAgreementforForwardExchange，簡稱SAFE）遠期期限從未來的某個時刻算2023/6/749第四十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期二