第18講幻方與數(shù)陣圖

第十八講 性質(zhì)一：幻和=中心數(shù)×3把幻方中填上字母：幻和=M，abcdefghk證明：a+e+k=M，b+e+h=M，c+e+g=M，d+e+f=M，四個(gè)式子加在一起得：(a+e+k)+(b+e+h)+(c+e+g)+(d+e+f)=4M，即(a+b+c+d+e+f+g+h+k)+3e=4M，所以3M+3e=4M，得M=3e。性質(zhì)二：在幻方中，滿足b+f=2g，b+d=2k，d+h=2c，f+h=2a，即幻方明角上的數(shù)的2倍是與它對(duì)角相鄰的兩個(gè)數(shù)的和。證明：a+b+c=M，d+e+f=M，g+d+a=M，所以(a+b+c)+(d+e+f)=2×(g+d+a)，所以(b+f)+(c+e)=2g+(d+a)，又(c+e)=3M–g=a+d，所以b+f=2g。同理可以證明其他的結(jié)論。1．在幻方中，每行、每列和每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相同，那么在下圖所示的未完成的幻方中，x應(yīng)該是。13515x答案：12；解：右下角的數(shù)是5+15–13=7，上面一行中間的數(shù)是15+7–13=9，下面一行中間的數(shù)是5+15–9=11，根據(jù)幻方性質(zhì)二，有2x=9+15=24，所以x=12。2．幻方是將n2個(gè)數(shù)（不重復(fù)）排列成縱、橫各有n個(gè)數(shù)的方陣，使其每行、每列和兩條對(duì)角線上n個(gè)數(shù)相加的和都相等，請(qǐng)問(wèn)下圖3×3幻方中x是。x35891答案：194；解：左下角的數(shù)是35+89–1=123，所以中間數(shù)是(123+89)÷2=106。所以幻和是106×3=318，所以x=318–35–89=194。3．在下圖所示的○內(nèi)填入不同的數(shù)，使得三條邊上的三個(gè)數(shù)的和都是12，若A、B、C的和為18，則三個(gè)頂點(diǎn)上的三個(gè)數(shù)的和是。答案：9；解：設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)內(nèi)的數(shù)分別是D、E、F，則D+A+E=12，D+B+F=12，E+C+F=12，三個(gè)式子相加的2(D+E+F)+(A+B+C)=36，所以2(D+E+F)=18，D+E+F=9。4．下圖3×3正方形的每個(gè)方格內(nèi)的字母都代表一個(gè)數(shù)，已知其每行、每列以及兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和都相等，若a=4，d=19，l=22，那么b=，h=。abcdefghl答案：25；1；解：由a+d=h+l，即4+19=h+22，得h=1，由b+h=a+l，即b+1=4+22，得b=25，5．在圖1，圖2的空格中分別填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得橫、豎及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么“？”處的數(shù)字分別為多少？8？1112？93

圖1圖2答案：（1）9；（2）6；解：（1）中間數(shù)是(8+12)÷2=10，所以幻和是30，中間一行最右邊的數(shù)是20–11=9，所以“？”=30–12–9=9。（2）由幻方的性質(zhì)二得2ד？”=9+3=12，所以“？”=6。6．在下圖中每個(gè)小方格中填入一個(gè)數(shù)，使得每一行、每一列都有1、2、3、4、5，那么右上角小方格內(nèi)填入的數(shù)字x應(yīng)該是。54x1353231答案：1；解：左上角得空格只能填3，于是第一列的第三個(gè)數(shù)應(yīng)該填4，最下面的方格填5，第二行的第三個(gè)數(shù)應(yīng)該填2，第四行的第二個(gè)數(shù)填4，第五個(gè)數(shù)填5，右下角填3，第二行的第四個(gè)數(shù)填5，第五個(gè)數(shù)填4，第一行的第四個(gè)數(shù)填2，所以右上角數(shù)x=1。3542x132544153224315521437．下圖是一個(gè)3×3幻方，滿足每行、每列及兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和都相等，那么其中“★”代表的數(shù)是。★8102答案：21；解：由幻方的性質(zhì)二知，右下角的數(shù)是(8+2)÷2=5，第三行中間數(shù)是20–2=18，所以★+2=18+5，★=21。8．下面的一排方格中，除9、8外，每個(gè)方格中的漢字都表示一個(gè)數(shù)（不同的漢字可表示相同的數(shù)），已知任意3個(gè)連續(xù)方格中的數(shù)加起來(lái)都為22，則“走”+“進(jìn)”+“數(shù)”+“學(xué)”+“花”+“園”=。走進(jìn)9數(shù)學(xué)花8園答案：40；解：因?yàn)槿我?個(gè)連續(xù)方格中的數(shù)加起來(lái)都為22，所以9+“數(shù)”+“學(xué)”=22，“數(shù)”+“學(xué)”+“花”=22，所以“花”=9，同理“數(shù)”=8，“園”=22–9–8=5，“走”+“進(jìn)”=22–9=13，所以“走”+“進(jìn)”+“數(shù)”+“學(xué)”+“花”+“園”=13+22+5=40。9．所謂“三階乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9個(gè)不等于0的整數(shù)，使得每行、每列及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之積都相等，請(qǐng)將下圖中“乘法幻方”補(bǔ)充完整，則其中的“x”所代表的數(shù)是。20x164答案：8；解：在空格中寫(xiě)入字母，如圖所示，20ax16bcd4e則20×16=4×e，所以e=80，又20×e=16×c，所以c=100，20×a=c×e，所以a=80×100÷20=400，由20×a×x=16×b×c，所以b=5x，d×16=a×x，所以d=25x，所以20×a=b×d，即20×400=5x×25x，所以x2=64，x=8。解：仿照性質(zhì)二，可得x2=16×4，解得x=8。10．將1至8這八個(gè)自然數(shù)分別填入下圖中的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)處的○內(nèi)，并使每個(gè)面上的四個(gè)○內(nèi)的數(shù)字之和都相等，則與填入數(shù)字1的○有線段相連的三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和的最大值是。答案：21；解：因?yàn)?+2+3+…+8=36，所以每個(gè)面上的數(shù)的和是18，要使得與1相連的三個(gè)數(shù)較大，則可以考慮8、7、6，因?yàn)槊總€(gè)面上的數(shù)字和為18，則與1、8、7在同一面上的數(shù)為18–1–8–7=2；與1、8、6在同一面上的數(shù)為18–1–8–6=3；與1、7、6在同一面上的數(shù)為18–1–7–6=4；成下面的形式：驗(yàn)證符合題意，所以與1相鄰的三個(gè)數(shù)的和最大是8+7+6=21。11．將從8開(kāi)始的11個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別填入下圖中的圓圈內(nèi)，要使每邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等，中間數(shù)共有種填法。答案：3；解：8+9+10+11+…+18=143，設(shè)中間○的數(shù)為a，則4×a+143可以被5整除，即4×a除以5的余數(shù)是2或7，逐一驗(yàn)證，4×8=32，4×13=52，4×18=72，滿足要求，其他各數(shù)都不適合，所以中間數(shù)共有3種填法。12．將1到12這十二個(gè)自然數(shù)分別填入下圖的12個(gè)圓圈內(nèi)，使得每條直線上的四個(gè)數(shù)之和都相等，這個(gè)相等的和為。答案：26；解：一共有六條直線，每四個(gè)數(shù)相加，其中每個(gè)數(shù)都加了2次，設(shè)每四個(gè)數(shù)的和都為M，則6×M=2×(1+2+3+…+12)=2×78，解得M=26。13．如果將9個(gè)不同的自然數(shù)填入下圖的9個(gè)空格中，使每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等，已知A和B的差是14，B和C的差也為14，那么D和E的差是。ADBEC答案：49；解：已知A和B的差是14，B和C的差也為14，所以A與C的差是28，根據(jù)幻方性質(zhì)2，2A=C+E，2D=B+C，因?yàn)锽和C的差為14，所以B、D、C成等差數(shù)列，公差為7，D與C的差是7，A和C的差為28，所以E、A、C也成等差數(shù)列，公差為28，所以E與C的差是56，所以D與E的差是56–7=49。14．將1~8這8個(gè)自然數(shù)分別填入下圖中的8個(gè)圓圈，使得數(shù)陣中各條直線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么A和B兩個(gè)圓圈中所填的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）是。答案：4；解：把空格填上字母：設(shè)各條直線上三個(gè)數(shù)之和都為S，則a+b+c+d+e+f=2S，a+A+e+b+A+d+c+B+f=3S，所以2A+B=S，a+b+c+d+e+f+A+B=2S+A+B=5A+3B，而a+b+c+d+e+f+A+B=1+2+3+…+8=36，所以5A+3B=36，所以A是3的倍數(shù)，如果A=3，則B=7；如果A=6，則B=2，它們的差都是4.15．在下圖的每個(gè)圓圈中各填入一個(gè)不為零的數(shù)字，使得所以有線段相連的相鄰兩個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)的差至少為2，且每個(gè)數(shù)字都恰好出現(xiàn)兩次，那么A×B的值是。答案：18；解：如圖，標(biāo)上字母：F只能為1或2，則E必為6，A只能是1或2，可得C為9，D為3，I為5或6，（圖2）若B為7，則I、G、H、J、K都不能填6，所以B只能為9，G、K為7，H為3，F(xiàn)為1，A為2，A×B=2×9=18。16．從1、2、3、…、20這20個(gè)數(shù)中選出9個(gè)不同的數(shù)放入3×3的方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，這9個(gè)數(shù)中最多有個(gè)質(zhì)數(shù)。答案：7；解：若用到2，則根據(jù)奇偶性原理，最多用到6個(gè)奇數(shù)，另外3個(gè)為偶數(shù)，這樣最多可以有7個(gè)質(zhì)數(shù)，若不用2，在1~20之間，最多也是7個(gè)質(zhì)數(shù)（不算2），所以答案為7。構(gòu)造7個(gè)質(zhì)數(shù)的幻方。9195711151731317．在下圖的空格中填上不同的自然數(shù)，使每行、每列和兩條對(duì)角線上的四個(gè)數(shù)之和都等于264，求A+B–C+D+E–F+G–H的結(jié)果是。6889A96B91C8899DEFGH9819答案：16；解：由題意知，68+89+A+96=264，所以A=11；96+88+F+19=264，所以F=61，68+91+E+19=264，所以E=86，99+D+86+61=264，所以D=18，89+91+18+H=264，所以H=66，G+66+98+19=264，所以G=81，81+18+C+96=264，所以C=69，68+B+99+81=264，所以B=16，所以A+B–C+D+E–F+G–H=11+16–69+18+86–61+81–66=16。18．A、B、C、D、E、F、G、H、M各代表一個(gè)互不相同的非零數(shù)字，其中A+B=14，M÷G=M–F=H–C，D×F=24，B+E=16，那么H代表。答案：4；解：因?yàn)锽+E=16，所以B、E分別為7和9，A+B=14，所以A、B為6和8，或5和9，所以B只能為9，E=7，且A=5，D×F=24，所以D、F可能為4和6，或3和8，因?yàn)锽=9，所以M≠9，F(xiàn)<M，所以F不能取8，這樣F可能是3、4、6，若F=4，D=6，M只能取8，G=2，剩下H–C=4，只能取H=5，與A=5矛盾；若F=6，D=4，則M只能取8，G也取4，矛盾；所以只有F=3，M=6，G=2，H=4，C=1。19．如圖所示，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J表示0~9這10個(gè)各不相同的數(shù)字，表中的數(shù)為所在行與列的對(duì)應(yīng)字母的和，例如“G+C=14”，請(qǐng)將表中其他的數(shù)全部填好。+ABCDEF514G14H7I76J答案：+ABCDEF5141187G817141110H110743I4131076J71613109解：由題意知：A+F=5，B+F=14，所以F≤5，若F為小于等于4的數(shù)字，則B將大于9，舍去，只有F=5，B=9，A=0，由C+G=14和C+H=7看出，C<7，C≠5，也不能小于5，所以C=6，G=8，H=1，再由I+D=7，I+E=6，只能是I=4，D=3，E=2，最后是J=7.所以答案是+ABCDEF5141187G817141110H110743I4131076J7161310920．將1、2、3、…、15、16填入下圖的16個(gè)方格中，并滿足條件：（1）A+C+F=10；（2）B+H=R；（3）D–C=13；（4）E×M=126；（5）F+G=21；（6）G÷J=2；（7）H×M=36；（8）J×P=80；（9）K–N=Q。那么L=。ABCDEFGHJKLMNPQR答案：6；解：由E×M=126，所以E和M應(yīng)該是9和14；H×M=36=4×9=3×12，所以M只能是9，E=14，H=4；又J×P=80=8×10=5×16，所以J和P可能是8和10，或5和16，由G÷J=2，J不能大于10，所以J=8或者J=5，如果J=5，則P=16，G=10，而F+G=21，則F=11，與A+C+F=10矛盾，所以只有J=8，P=10，G=16，F(xiàn)=21–16=5，A+C=10–5=5，因?yàn)镠=4，所以A和C只能是2和3，又D–C=13，所以C≠3，取C=2，A=3，D=15，現(xiàn)在還沒(méi)有填的數(shù)只剩下1、6、7、11、12、13，所以B+H=B+4=R，只能是7+4=11，即B=7，R=11，還有K–N=Q，只能是13–12=1，或13–1=12，即K=13，N=12，Q=1，或N=1，Q=12，最后剩下L=6.21．如下圖所示，在每個(gè)圓圈中填入一個(gè)數(shù)，使每條直線上所有圓圈中的數(shù)的和都是234，那么，標(biāo)有★的圓圈中填入的數(shù)是。答案：78；解：給圖中部分圓圈填上字母：如圖所示，使★處用x表示。則a+b+e=d+c=234，a+x+d=x+c+e=x+b=234，所以a+b+e+b+c=234+234，a+x+d+x+c+e+x+b=234+234+234，所以3×x=2