湖南省衡陽(yáng)市縣演陂橋中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省衡陽(yáng)市縣演陂橋中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.設(shè),，若，，則的最大值為(

)

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B3.用1、2、3組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這些數(shù)被2整除的概率是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B4.已知等差數(shù)列中，，則A.8B.21C.28

D.35參考答案：C由得，所以，，選C.5.一個(gè)六面體的三視圖如圖所示，其左視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該六面體的表面積是（

）

A．

B．C．

D．參考答案：C試題分析：由三視圖可得幾何體是四棱柱，左視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，因此四棱柱的高是2，底面的直角梯形的高是2，底面直角梯形的兩底邊長(zhǎng)分別是1、2，梯形的非直角腰為，因此幾何體的表面積，故答案為C.考點(diǎn)：由三視圖求表面積.3.若sin=，則cosa=A.-

B.-

C.

D.參考答案：C7.“”是的（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A8.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+y2≤1，3x+4y≤0，則的取值范圍是（）A．[1，4] B．[，4] C．[1，] D．[，]參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃．【分析】畫(huà)出x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示區(qū)域，化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求解即可．【解答】解：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示的區(qū)域如圖：則==，表示陰影區(qū)域與（3，1）連線(xiàn)的斜率，解得A（，﹣）．kPA==，令y﹣1=k（x﹣3），可得kx﹣y﹣3k+1=0，由題意可得：，可得k=0或k=．，∈[0，]，1﹣∈[，1]．∴∈[1，]．故選：C．9.已知，且，則A、B、－7C、D、7參考答案：D因?yàn)?，且，所以，于是．故?0.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，所得圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的最小正值為（

）A． B． C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc＋a＋c＝b，設(shè)，則p的最大值為

▲

．參考答案：12.已知雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），則雙曲線(xiàn)的焦距為_(kāi)_________．參考答案：略13.已知向量，滿(mǎn)足，與的夾角為，則在上的投影是

參考答案：114.已知=

．參考答案：略15.某學(xué)校舉行課外綜合知識(shí)比賽，隨機(jī)抽取400名同學(xué)的成績(jī)，成績(jī)?nèi)吭?0分至100分之間，將成績(jī)按如下方式分成5組：第一組，成績(jī)大于等于50分且小于60分；第二組，成績(jī)大于等于60分且小于70分……第五組，成績(jī)大于等于90分且小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．則400名同學(xué)中成績(jī)優(yōu)秀(大于等于80分)的學(xué)生有

名．參考答案：略16.正三棱錐P－ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為45°，則點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離是

．參考答案：17.據(jù)某報(bào)《自然健康狀況》的調(diào)查報(bào)道，所測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，觀(guān)察表中數(shù)據(jù)規(guī)律，并將最適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入表中括號(hào)內(nèi)。年齡（歲）3035404550556065……收縮壓（水銀柱/毫米）110115120125130135

145……舒張壓（水銀柱/毫米）70737578807385

……參考答案：140，88.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿(mǎn)分14分）設(shè)（1）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：若,，則（3）證明：若,，則參考答案：19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在兩條直線(xiàn)都是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若在，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）.

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，令，得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下：極小值

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）因?yàn)榇嬖趦蓷l直線(xiàn)，都是曲線(xiàn)的切線(xiàn)

所以至少有兩個(gè)不等的正實(shí)根.

令得，記其兩個(gè)實(shí)根分別為，

則

解得.

當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)分別為

.

令.

由得（不妨設(shè)），

且當(dāng)時(shí)，，即在上是單調(diào)函數(shù).

所以.

所以是曲線(xiàn)的兩條不同的切線(xiàn).

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù).

因?yàn)椋?/p>

而，不符合題意.

而當(dāng)時(shí)，由（1）知：的最小值是（ⅰ）若，即時(shí)，.

所以符合題意.

（ⅱ），即時(shí)，

所以符合題意.

（ⅲ）若，即時(shí)，有.

因?yàn)椋瘮?shù)在內(nèi)是增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，.

又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?/p>

所以

所以符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求證：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直線(xiàn)PE與平面PAC所成的角的正弦值為，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【專(zhuān)題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（I）由面面垂直的性質(zhì)定理證出PA⊥平面ABCD，從而得到AB、AD、AP兩兩垂直，因此以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立坐標(biāo)系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到、、的坐標(biāo)．由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式算出且，從而證出DE⊥AC且DE⊥AP，結(jié)合線(xiàn)面垂直判定定理證出ED⊥平面PAC，從而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一個(gè)法向量是，算出、夾角的余弦，即可得到直線(xiàn)PE與平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立關(guān)于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一個(gè)法向量，結(jié)合平面PAC的法向量，算出、的夾角余弦，再結(jié)合圖形加以觀(guān)察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD結(jié)合AB⊥AD，可得分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o﹣xyz，如圖所示…（2分）可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）

（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC內(nèi)的相交直線(xiàn)，∴ED⊥平面PAC．（4分）∵ED?平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一個(gè)法向量是，設(shè)直線(xiàn)PE與平面PAC所成的角為θ，則，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐標(biāo)為（0，0，2）（8分）設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）（10分）∴cos＜，（11分）由圖形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是銳角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值為．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題在四棱錐中證明面面垂直，并且在線(xiàn)面所成角的正弦情況下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．著重考查了線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定定理和利用空間向量研究直線(xiàn)與平面所成角和二面角大小的方法，屬于中檔題．21.（本小題滿(mǎn)分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率之積等于．(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)和與直線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：(Ⅰ)∵點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)，設(shè)，∵直線(xiàn)與的斜率之積等于，∴，化簡(jiǎn)得，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.(Ⅱ)法一：設(shè)存在點(diǎn)，使得與的面積相等，∴，∵，∴，

即，

∴，解得，∵，

∴，

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P為.法二：設(shè)，∴，解得，∴，∵，，又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，∴，∴，

∴，解得，∵，

∴，

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P為.22.（12分）如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥底面ABC

D．（1）證明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．參考答案：（1）因?yàn)?2，由余弦定理得=從而B(niǎo)D2+AD2=AB2，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD