湖南省衡陽(yáng)市縣演陂橋中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省衡陽(yáng)市縣演陂橋中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.設(shè),，若，，則的最大值為(

)

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B3.用1、2、3組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這些數(shù)被2整除的概率是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B4.已知等差數(shù)列中，，則A.8B.21C.28

D.35參考答案：C由得，所以，，選C.5.一個(gè)六面體的三視圖如圖所示，其左視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該六面體的表面積是（

）

A．

B．C．

D．參考答案：C試題分析：由三視圖可得幾何體是四棱柱，左視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，因此四棱柱的高是2，底面的直角梯形的高是2，底面直角梯形的兩底邊長(zhǎng)分別是1、2，梯形的非直角腰為，因此幾何體的表面積，故答案為C.考點(diǎn)：由三視圖求表面積.3.若sin=，則cosa=A.-

B.-

C.

D.參考答案：C7.“”是的（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，3x+4y≤0，則的取值范圍是（）A．[1，4] B．[，4] C．[1，] D．[，]參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】畫(huà)出x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示區(qū)域，化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求解即可．【解答】解：實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示的區(qū)域如圖：則==，表示陰影區(qū)域與（3，1）連線的斜率，解得A（，﹣）．kPA==，令y﹣1=k（x﹣3），可得kx﹣y﹣3k+1=0，由題意可得：，可得k=0或k=．，∈[0，]，1﹣∈[，1]．∴∈[1，]．故選：C．9.已知，且，則A、B、－7C、D、7參考答案：D因?yàn)?，且，所以，于是．故?0.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小正值為（

）A． B． C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc＋a＋c＝b，設(shè)，則p的最大值為

▲

．參考答案：12.已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），則雙曲線的焦距為_(kāi)_________．參考答案：略13.已知向量，滿足，與的夾角為，則在上的投影是

參考答案：114.已知=

．參考答案：略15.某學(xué)校舉行課外綜合知識(shí)比賽，隨機(jī)抽取400名同學(xué)的成績(jī)，成績(jī)?nèi)吭?0分至100分之間，將成績(jī)按如下方式分成5組：第一組，成績(jī)大于等于50分且小于60分；第二組，成績(jī)大于等于60分且小于70分……第五組，成績(jī)大于等于90分且小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．則400名同學(xué)中成績(jī)優(yōu)秀(大于等于80分)的學(xué)生有

名．參考答案：略16.正三棱錐P－ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為45°，則點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離是

．參考答案：17.據(jù)某報(bào)《自然健康狀況》的調(diào)查報(bào)道，所測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，觀察表中數(shù)據(jù)規(guī)律，并將最適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入表中括號(hào)內(nèi)。年齡（歲）3035404550556065……收縮壓（水銀柱/毫米）110115120125130135

145……舒張壓（水銀柱/毫米）70737578807385

……參考答案：140，88.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分14分）設(shè)（1）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：若,，則（3）證明：若,，則參考答案：19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在兩條直線都是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若在，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）.

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，令，得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下：極小值

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）因?yàn)榇嬖趦蓷l直線，都是曲線的切線

所以至少有兩個(gè)不等的正實(shí)根.

令得，記其兩個(gè)實(shí)根分別為，

則

解得.

當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線分別為

.

令.

由得（不妨設(shè)），

且當(dāng)時(shí)，，即在上是單調(diào)函數(shù).

所以.

所以是曲線的兩條不同的切線.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù).

因?yàn)椋?/p>

而，不符合題意.

而當(dāng)時(shí)，由（1）知：的最小值是（?。┤簦磿r(shí)，.

所以符合題意.

（ⅱ），即時(shí)，

所以符合題意.

（ⅲ）若，即時(shí)，有.

因?yàn)?，函?shù)在內(nèi)是增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，.

又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?/p>

所以

所以符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求證：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（I）由面面垂直的性質(zhì)定理證出PA⊥平面ABCD，從而得到AB、AD、AP兩兩垂直，因此以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立坐標(biāo)系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到、、的坐標(biāo)．由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式算出且，從而證出DE⊥AC且DE⊥AP，結(jié)合線面垂直判定定理證出ED⊥平面PAC，從而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一個(gè)法向量是，算出、夾角的余弦，即可得到直線PE與平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立關(guān)于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一個(gè)法向量，結(jié)合平面PAC的法向量，算出、的夾角余弦，再結(jié)合圖形加以觀察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD結(jié)合AB⊥AD，可得分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o﹣xyz，如圖所示…（2分）可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）

（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC內(nèi)的相交直線，∴ED⊥平面PAC．（4分）∵ED?平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一個(gè)法向量是，設(shè)直線PE與平面PAC所成的角為θ，則，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐標(biāo)為（0，0，2）（8分）設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）（10分）∴cos＜，（11分）由圖形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是銳角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值為．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題在四棱錐中證明面面垂直，并且在線面所成角的正弦情況下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．著重考查了線面垂直、面面垂直的判定定理和利用空間向量研究直線與平面所成角和二面角大小的方法，屬于中檔題．21.（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于．(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)直線和與直線分別交于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：(Ⅰ)∵點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)，設(shè)，∵直線與的斜率之積等于，∴，化簡(jiǎn)得，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.(Ⅱ)法一：設(shè)存在點(diǎn)，使得與的面積相等，∴，∵，∴，

即，

∴，解得，∵，

∴，

∴滿足條件的點(diǎn)P為.法二：設(shè)，∴，解得，∴，∵，，又點(diǎn)到直線的距離，∴，∴，

∴，解得，∵，

∴，

∴滿足條件的點(diǎn)P為.22.（12分）如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥底面ABC

D．（1）證明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．參考答案：（1）因?yàn)?2，由余弦定理得=從而B(niǎo)D2+AD2=AB2，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD