;音樂與數(shù)學(xué)1500字小

音樂與數(shù)學(xué)1500字小篇一：音樂中數(shù)學(xué)論文

淺談音樂中的數(shù)學(xué)

一、音樂中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)原理

在公元前六世紀(jì)，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯用比率將數(shù)學(xué)與音樂聯(lián)絡(luò)起來，他認(rèn)識到所撥琴弦產(chǎn)生的聲音與琴弦的長度有關(guān)，發(fā)現(xiàn)了和聲與整數(shù)之間的關(guān)系。于是，畢達(dá)哥拉斯音階〔thepythagoreanscale〕和調(diào)音理論誕生了。

二、音符中的數(shù)字

萊布尼茨說過：“音樂是數(shù)學(xué)在靈魂中無意識的運算〞。眾所周知，古今中外的音樂雖然千姿百態(tài)，但都是由7個音符〔音名〕組成的，數(shù)字1～7在音樂中是奇妙的數(shù)字。

數(shù)字1

萬物之本。?老子?云：“道生一、一生二、二生三、三生萬物。〞整個宇宙就是一個多樣統(tǒng)一的和諧整體。這也是一條美感根本法那么，適用于包括音樂在內(nèi)的所有藝術(shù)及科學(xué)之中。古希臘數(shù)學(xué)家尼柯瑪赫早就提出“音樂是對立因素的和諧的統(tǒng)一，把雜多導(dǎo)致統(tǒng)一，把不協(xié)調(diào)導(dǎo)致協(xié)調(diào)。〞簡言之，便是“一〞變“多〞，“多〞變“一〞的原理。中國俗語也說：“九九歸一〞。文藝復(fù)興時期以來五百年的專業(yè)音樂在內(nèi)容上和形式上盡管存在天壤之別，但都共同遵循這個原理。音樂上許多開展樂思的手法，如重復(fù)、變奏、衍生、展開、比照等等，有時強(qiáng)調(diào)統(tǒng)一，有時強(qiáng)調(diào)變化，綜合起來，就是在統(tǒng)一中求變化，在變化中求統(tǒng)一。單音是音樂中最小的“細(xì)胞〞，一個個單音按程度方向連結(jié)成為旋律、節(jié)奏，按垂直方向縱合成為和弦，

篇二：音樂與數(shù)學(xué)

律?；叵肫鹞页踔袝r候在少科站無聊也用TurboPascal編過?亞洲雄風(fēng)?來著，當(dāng)時就覺得一串?dāng)?shù)字轉(zhuǎn)化成音樂是件很神奇的事情。來聊聊音樂和數(shù)學(xué)哈~

音樂之所以和諧美妙，很大程度上得益于兩個數(shù)學(xué)上的約等式同時成立：

1)2^(7/12)=1.4983≈3/2，誤差0.1%

2)2^(4/12)=1.2599≈5/4，誤差0.8%

聽起來很邪乎吧？待我漸漸道來……

【陪音】

唱歌的時候假如唱不上去了我們經(jīng)常會―唱低八度‖，這時候雖然聲音低了許多，但與原唱并不沖突，與伴奏也仍然和諧。那為什么―八度‖那么特殊呢？或者說，為什么差八度的音聽著那么像呢？原來差八度的兩個音其頻率正好差兩倍——比方中音do〔鋼琴正中的C，記作C4或c’〕是261.6赫茲，而高音do〔記作C5或c’’〕是它的兩倍523.3赫茲。

那為什么頻率差兩倍就聽起來像呢？這里需要引入陪音〔upperpartials〕的概念，也稱為泛音〔overtone〕。除了一些音色很純的音〔比方機(jī)器發(fā)出的正弦波〕外，多數(shù)樂器演奏中除了激活本來頻率的聲波〔基音〕之外還會激活這些頻率的整數(shù)倍，也就是陪音。當(dāng)你按下鋼琴的C4，這時空氣中激蕩著的不只有261.6赫茲的聲波，還有523.3赫茲、784.9赫茲、1046.5赫茲等等〔稱為泛音列〕，而泛音列中各個音的不同強(qiáng)度和相位正反映了樂器的音色。注意523.3赫茲是C5，1046.5赫茲是C6，但784.9赫茲并不是一個C音，我們后文會講到784.9赫茲比較接近G5。也就是說，同一音名的兩個音之間肯定有陪音的關(guān)系，但反之不成立——陪音不必須是同一音名?；氐桨硕鹊膯栴}：C5本身就是C4最近的一個陪音，C5的陪音也都是C4的陪音，所以彈C5時激活的音頻彈C4時也會激活〔當(dāng)然強(qiáng)度不同〕，兩個音聽起來自然像啦~

【平均律】

搞清楚了啥是八度，那一個八度里的音又是怎么分的呢？大家知道七腔調(diào)式中一個八度是7個根本音級、12個半音，2個半音等于一個全音。大調(diào)是―全全半全全全半‖，小調(diào)是―全半全全半全全‖。在巴赫開場提倡、現(xiàn)代普遍采用的十二平均律中，這12個半音是均勻分布的——從物理上講，也就是半音階中的音的頻率形成一個等比數(shù)列。比方說C4是261.6赫茲，C5是523.3赫茲，而兩者之間的11個音每個的頻率是上一個的2^(1/12)=1.0595倍——C為什么要用平均律，讓所有音均勻分布呢？一個重要的原因是方便轉(zhuǎn)調(diào)。比方周杰倫的?安靜?，開場一直是B了C調(diào)——也就是之前的B【音程的協(xié)和】

前菜上完了，下面是主菜：音程的協(xié)和。協(xié)和〔consonant〕這個概念，操作定義大致就是聽起來和諧、悅耳。在實證研究中一般是給參與者同時播放兩個正弦音〔這種音不帶陪音，只有基音〕，調(diào)整其間的頻率間隔，然后讓參與者在7點量表上評價這個音程有多悅耳、多優(yōu)美、多和諧之類。Plomp和Levelt的這篇論文里結(jié)合了前人和他們自己的實驗結(jié)果，得到這樣一條曲線來描繪兩個正弦音的間隔與這個音程不協(xié)和程度的關(guān)系：

圖一：音程不協(xié)和度與音程中根音和冠音間隔半音數(shù)的關(guān)系〔圖出自?AmericanScientist?上的這篇文章，是PL原文Fig.10的重新制作〕

怎么樣，這條曲線看起來很光滑圓潤小正太吧？可假如是這樣，難道兩個音的間隔越大越協(xié)和？那為什么又要分協(xié)和音程和不協(xié)和音程呢？且慢，記得我們講這只是兩個基音之間的不協(xié)和程度，而考慮上兩個音各自陪音之間的協(xié)和程度之后，這圖就變成了下面的樣子：

圖二：考慮陪音后的音程不協(xié)和度〔出自?AmericanScientist?，PL原文Fig.11的重新制作〕

光滑圓潤的小正太轉(zhuǎn)眼變成了小刺猬，而且這刺還不是亂長，偏偏長在0、3、4、5、7、9、12這幾條線附近，是不是很神奇？我反正覺得挺神奇的。原文中沒有給詳細(xì)的推導(dǎo)過程，于是我就自己嘗試推導(dǎo)了一下〔藍(lán)字部分〕。

首先圖一這個小正太，怎么看怎么像一個Gamma分布。我試了幾次后發(fā)現(xiàn)它和Gamma(2,1)最為接近：

圖三：用Excel自制的Gamma(2,1)，和圖一長得很像吧

這個曲線大概反映出我們聽覺的特點：當(dāng)兩個純音間隔很小〔比方小于0.2個半音〕時人耳難以分辨，因此感覺是完全協(xié)和的。當(dāng)剛開場可以分辨出兩個音的時候感覺特別刺耳，于是就出現(xiàn)了1-2個半音處不協(xié)和的頂峰，而之后隨著間隔變大刺耳的感覺逐漸減弱，不和諧度也下降了。Gamma(2,1)模型的詳細(xì)數(shù)值如下表：

表一：根據(jù)Gamma(2,1)算出的不協(xié)和度數(shù)值〔y軸無量綱〕

接下來看陪音之間的協(xié)和。打個不太恰當(dāng)?shù)谋确?，談戀愛不僅要兩個人談得來，還要講究門當(dāng)戶對不是？所以說還要拿雙方的弟弟妹妹們來配配看是否和諧，最后把所有不和諧的因素加起來看。表二中列出了根音6倍之內(nèi)陪音和冠音8倍之內(nèi)陪音的間隔半音數(shù)。從圖三中看到兩個音相差6個半音以上不協(xié)和程度就很低了，所以忽略掉陪音頻率差異在3:2以上的情況〔實際計算的時候我是忽略了2:1以上的情況〕。

表二：根音陪音和冠音陪音的間隔半音數(shù)

把表二中的數(shù)值代入Gamma模型，就得到表三的不和諧度：

表三：根音陪音和冠音陪音的不協(xié)和度

把所有陪音的不協(xié)和度加起來就得到了圖四，和AmericanScientist上的圖〔圖二〕差不多吧：

圖四：考慮陪音后的音程不協(xié)和度〔Excel自制〕

以上部分我們用一個Gamma模型推導(dǎo)了考慮陪音后根音-冠音間隔和音程不和諧度的關(guān)系圖上突然下降的那幾根刺是怎么來的呢？

舉例來講，間隔半音數(shù)7附近不協(xié)和度突然下降，而這個下降主要來自根音的3倍音〔橙色線〕和6倍音〔綠色線〕。回到表三，可以看到7個半音〔G4〕這一欄下黑框中的兩個數(shù)〔0.02〕遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于黑框兩邊6個半音和8個半音兩欄〔0.37〕，使得G4的陪音與C4的3倍音、6倍音上的不和諧度只有兩邊F之所以這些位置會出現(xiàn)不協(xié)和度突然下降，尋根溯源到表二就很清楚了：表三中標(biāo)粗的位置在表二中都接近0〔絕對值還是以G4〔和C4間隔7個半音〕為例：G4的2倍音和C4的3倍音太過接近，以致聽不出不協(xié)和；G4的4倍音和C4的6倍音，G4的6倍音和C4的9倍音等等也都如此。這樣疊加的效果使得G4和C4構(gòu)成的音程總體而言聽起來不協(xié)和度低，也就解釋了7附近的不協(xié)和度下降。注意，不管原圖還是自制圖中都只考慮了根音6倍以內(nèi)的陪音，加上更高倍數(shù)陪音的話―刺‖會更多。

OK，假如還有人follow的話，以上冗長的推導(dǎo)簡單來講就是要證明這樣一個結(jié)論：當(dāng)根音和冠音的振動頻率成簡單整數(shù)比時，音程就協(xié)和。兩者所成整數(shù)比越簡單、越準(zhǔn)確，音程就越協(xié)和。

這個結(jié)論大體是得到實證數(shù)據(jù)支持的：我們通常聽來協(xié)和的音程〔圖二中―刺‖的位置〕都可以近似表示成簡單整數(shù)比，而不協(xié)和音程表示成整數(shù)比要么分子分母較大，要么誤差較大〔表

四〕。簡單整數(shù)比也同樣能解釋一些三和弦的協(xié)和：比方同為大三度和小三度的疊加，大三和弦其三個音的比例是4:5:6從而聽起來非常―正‖，小三和弦三個音的比例是10:12:15協(xié)和程度就略差一些。

表四：協(xié)和音程和不協(xié)和音程對應(yīng)的振動頻率比

【見證奇跡】

總結(jié)一下上面兩部分說的：協(xié)和音程要求音階中各個音的頻率成簡單整數(shù)比a/b，而平均律要求音階在1和2之間構(gòu)成等比數(shù)列，也即各個音的頻率比需要表示為2^(m/n)〔m為兩個音的間隔數(shù)，n為一個八度音階的全部音數(shù)〕。也就是說，音程假如既要協(xié)和又要符合平均律的話，就必須有a/b=2^(m/n)。但這里就產(chǎn)生了矛盾：a/b是有理數(shù)，而2^(m/n)在m非n整數(shù)倍的情況下是無理數(shù)，兩者沒法相等。

怎么辦呢？所幸人耳沒那么準(zhǔn)確，允許一定誤差，也就是可以a/b≈2^(m/n)。兩邊取以2為底的對數(shù)得m/n≈log2(a/b)，或者寫成m/n=log2(a/b)+ε〔標(biāo)為*式〕，此處ε是平均律情況下音頻比偏離簡單整數(shù)比的誤差。這個誤差當(dāng)然不能太大：前文提到一般人對音高的區(qū)分閾大概在20音分左右，我們?nèi)?5音分〔聽力稍好的人的區(qū)分閾〕作為標(biāo)準(zhǔn)，也就得到|ε|然后考慮簡單整數(shù)比a/b：a/b為整數(shù)〔1、2〕時產(chǎn)生的是極完全和諧音程，這時候m/n=0或1，必然有準(zhǔn)確解。而我們關(guān)注的是其他協(xié)和音程，即a/b=3/2,4/3,5/4,6/5時能不能找到相應(yīng)的m/n。而事實上，只要找到在a/b=3/2〔純五度〕和a/b=5/4〔大三度〕情況下符合*式的m1/n和m2/n，其他常用協(xié)和音程也都迎刃而解。藍(lán)字部分解釋了為什么存在純五度和大三度后就能導(dǎo)出所有其他協(xié)和音程：

log2(4/3)=1–log2(3/2)，log2(3/2)是有理數(shù)時log2(4/3)必是同分母的有理數(shù)，即存在純五度也就存在純四度

log2(5/4)=1–log2(8/5)，存在大三度也就存在小六度

log2(6/5)=log2(3/2)–log2(5/4)，存在純五度、大三度也就存在小三度

log2(5/3)=1–log2(6/5)，存在小三度也就存在大六度

好，接下來的工作就是一個一個試了〔連分?jǐn)?shù)可以得到最接近的解，但我們需要所有誤差范圍之內(nèi)的解〕：下面列出了n在30以內(nèi)所有接近純五度的m1/n，m1/n≈log2(3/2)=0.5857/12,14/24

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篇三：淺談數(shù)學(xué)與音樂之關(guān)系

淺談數(shù)學(xué)與音樂之關(guān)系

眾所周知，音樂是心靈和情感在聲音方面的外化，數(shù)學(xué)是客觀事物高度抽象和邏輯思維的產(chǎn)物，看似風(fēng)馬牛不相及的“多情〞的音樂，與“冷酷〞的數(shù)學(xué)也有關(guān)系嗎其實,人們對數(shù)學(xué)與音樂之間聯(lián)絡(luò)的研究和認(rèn)識可以說源遠(yuǎn)流長.這最早可以追溯到公元前六世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用比率將數(shù)學(xué)與音樂聯(lián)絡(luò)起來.他們不僅認(rèn)識到所撥琴弦產(chǎn)生的聲音與琴弦的長度有著親密的關(guān)系,從而發(fā)現(xiàn)了和聲與整數(shù)之間的關(guān)系,而且還發(fā)現(xiàn)諧聲是由長度成整數(shù)比的同樣繃緊的弦發(fā)出的.于是,畢達(dá)哥拉斯音階和調(diào)音理論誕生了，而且在西方音樂界占據(jù)了統(tǒng)治地位.雖然托勒密對畢達(dá)哥拉斯音階的缺點進(jìn)展了改造,得出了較為理想的純律音階及相應(yīng)的調(diào)音理論,但是畢達(dá)哥拉斯音階和調(diào)音理論的這種統(tǒng)治地位直到十二平均律音階及相應(yīng)的調(diào)音理論出現(xiàn)才被徹底動搖。

在我國,最早產(chǎn)生的完備的律學(xué)理論是三分損益律,時間大約在春秋中期?管子·地員篇?和?呂氏春秋·音律篇?中分別有述;明代朱載在其音樂著作?律學(xué)新說?對十二平均律的計算方法作了概述,在?律呂精義·內(nèi)篇?中對十二平均律理論作了闡述,并把十二平均律計算的非常準(zhǔn)確,與當(dāng)今的十二平均律完全一樣,這在世界上屬于首次.孔子說的六藝“禮、樂、射、御、書、數(shù)〞，其中“樂〞指音樂，“數(shù)〞指數(shù)學(xué)，即孔子就已經(jīng)把音樂與數(shù)學(xué)并列在一起。由此可見,在古代,音樂的開展就與數(shù)學(xué)嚴(yán)密地聯(lián)絡(luò)在了一起.從那時起到如今,隨著數(shù)學(xué)和音樂的不斷開展,人們對它們之間關(guān)系的理解和認(rèn)識也在不斷地加深.感覺的音樂中處處閃現(xiàn)著理性的數(shù)學(xué)的影子。

樂譜的書寫是數(shù)學(xué)在音樂上顯示其影響的最為明顯的地方。在樂譜中，我們可以找到拍號、每個小節(jié)的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符等等。譜寫樂曲要使它合適于每音節(jié)的拍子數(shù)，這相似于找公分母的過程——在一個固定的拍子里，不同長度的音符必須使它湊

成一個特定的節(jié)拍。然而作曲家在創(chuàng)造樂曲時卻能極其美妙而又毫不費力地把它們與樂譜的嚴(yán)格構(gòu)造有機(jī)的交融在一起。對一部完好的作品進(jìn)展分析，我們會看到每一個音節(jié)都有規(guī)定的拍數(shù)，而且運用了各種適宜長度的音符。

除了上述數(shù)學(xué)與樂譜的明顯聯(lián)絡(luò)外，音樂還與比例、指數(shù)曲線、周期函數(shù)以及計算機(jī)科學(xué)等相關(guān)聯(lián)。如上文提到的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“協(xié)和音是由長度與原弦長的比為整數(shù)比的繃緊的弦給出〞，事實上被撥動弦的每一種和諧的結(jié)合，都能表示為整數(shù)比。由增大成整數(shù)比的弦的長度，可以產(chǎn)生全部的音階。例如，從一根產(chǎn)生音C的弦開場，接著C的16/15給出B,C的長度的6/5給出A,C的4/3給出G,C的3/2給出F,C的8/5給出E,C的16/9給出D,C的1/2給出低音C。又如，很多樂器的形狀和構(gòu)造都跟不同的數(shù)學(xué)概念聯(lián)絡(luò)著