江蘇省徐州市睢寧縣第一中學(xué)2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

江蘇省徐州市睢寧縣第一中學(xué)2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是（）A. B.C.軸，且 D.四邊形的一個(gè)內(nèi)角為2．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．對于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.，則C.若，，則， D.若，則4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則為（）A. B.C. D.5．下列說法正確的有（）個(gè).①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項(xiàng).A.1 B.2C.3 D.06．已知雙曲線方程為，過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意的直線的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條7．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.8．已知圓，直線，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A. B.C.8 D.99．設(shè)為實(shí)數(shù)，則曲線：不可能是（）A.拋物線 B.雙曲線C.圓 D.橢圓10．若圓C：上有到的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.11．現(xiàn)有4本不同的書全部分給甲、乙、丙3人，每人至少一本，則不同的分法有（）A.12種 B.24種C.36種 D.48種12．已知分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率，那么是下列哪個(gè)事件的概率（）A事件同時(shí)發(fā)生B.事件至少有一個(gè)發(fā)生C.事件都不發(fā)生D事件至多有一個(gè)發(fā)生二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是—個(gè)圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點(diǎn)E在棱上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P對應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最小值為___________.14．已知拋物線，則的準(zhǔn)線方程為______.15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線左支上的一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是____________16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長為5，若，那么△的周長是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求證：；（3）當(dāng)，求a的取值范圍.18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC.（1）求角C的大??；（2）若cosA=，求的值.19．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值21．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的最大值.22．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】先求出橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，對于A，根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)求出離心率判斷A；對于B，根據(jù)勾股定理以及離心率公式判斷B；根據(jù)結(jié)合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形的一個(gè)內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，得到，結(jié)合離心率公式判斷D.【題目詳解】∵橢圓∴對于A，若，則，∴，∴，不滿足條件，故A不符合條件；對于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合條件；對于C，軸，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不滿足題意，故C不符合條件；對于D，四邊形的一個(gè)內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，∴∴，解得∴，故D不符合條件故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應(yīng)用，充分利用建立的等式是解題關(guān)鍵.2、A【解題分析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【題目詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線圓的切線，，，所以由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率故選：A3、C【解題分析】對于選項(xiàng)A，可以舉反例判斷；對于選項(xiàng)BCD可以利用作差法判斷得解.【題目詳解】解：A.若，則不一定成立.如：.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，所以該選項(xiàng)正確；D.，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C4、C【解題分析】直接由等差數(shù)列求和公式結(jié)合，求出，再由求和公式求出即可.【題目詳解】由題意知：，解得，則.故選：C.5、A【解題分析】由向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，以及向量共線定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【題目詳解】對于①，與共線，與共線，故不一定成立，故①正確；對于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以兩圓相交，故②錯(cuò)誤；對于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項(xiàng)，故③錯(cuò)誤故選：A6、A【解題分析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.①直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②過點(diǎn)平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；③設(shè)過的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.7、A【解題分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過的點(diǎn)即可求解.【題目詳解】漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以有，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A8、B【解題分析】先求得直線過定點(diǎn)，再根據(jù)當(dāng)點(diǎn)與圓心連線垂直于直線l時(shí)，被圓O截得的弦長最短求解.【題目詳解】因?yàn)橹本€方程，即為，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)與圓心連線垂直于直線l時(shí)，被圓O截得的弦長最短，點(diǎn)與圓心（0，0）的距離為，此時(shí)，最短弦長為，故選：B9、A【解題分析】根據(jù)圓的方程、橢圓的方程、雙曲線的方程和拋物線的方程特征即可判斷.【題目詳解】解：對A：因?yàn)榍€C的方程中都是二次項(xiàng)，所以根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征曲線C不可能是拋物線，故選項(xiàng)A正確；對B：當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對C：當(dāng)時(shí)，曲線C為圓，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對D：當(dāng)且時(shí)，曲線C為橢圓，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.10、C【解題分析】利用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【題目詳解】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以．因?yàn)閳AC上有到的距離為1的點(diǎn)，所以圓C與圓：有公共點(diǎn)，所以因?yàn)椋?，解得，故選：C11、C【解題分析】先把4本書按2，1，1分為3組，再全排列求解.【題目詳解】先把4本書按2，1，1分為3組，再全排列，則有種分法，故選：C12、C【解題分析】表示事件至少有一個(gè)發(fā)生概率，據(jù)此得到答案.【題目詳解】分別表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率，表示事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率，故表示事件都不發(fā)生的概率.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解題分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可得對應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點(diǎn)到平面的距離的最小值即可.【題目詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡得對應(yīng)的軌跡方程為.所以點(diǎn)P對應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個(gè)邊即是邊長為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，可取平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)點(diǎn)的軌跡，可設(shè)，，所以點(diǎn)到平面的距離，所以故答案為：；14、##【解題分析】根據(jù)拋物線的方程求出的值即得解.【題目詳解】解：因?yàn)閽佄锞€，所以，所以的準(zhǔn)線方程為.故答案為：15、5【解題分析】根據(jù)得出，設(shè)，從而利用雙曲線的定義可求出，的關(guān)系，從而可求出答案.【題目詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，則，因?yàn)椋?，因?yàn)?，不妨設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以雙曲線的離心率故答案為：.16、16【解題分析】利用橢圓的定義可知，又△的周長，即可求焦點(diǎn)三角形的周長.【題目詳解】由橢圓定義知：，所以△的周長為.故答案為：16.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析（3）【解題分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令x=1處的切線的斜率等1，結(jié)合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最小值即可證明；（3）根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，分類討論導(dǎo)數(shù)的值的情況，根據(jù)單調(diào)性，判斷函數(shù)的最小值情況，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知：，因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為，故，即；【小問2詳解】證明：由（1）知：，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也即最小值，最小值為，故，即成立；【小問3詳解】當(dāng)，即，（），設(shè)，（），則，當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增，，適合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增，，適合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增，，適合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在內(nèi)，，在內(nèi)，，故，顯然時(shí)，，不滿足當(dāng)恒成立，綜上述：.18、（1）（2）【解題分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得，由此求得.（2）先求得，結(jié)合兩角差的正弦公式求得.【小問1詳解】，，即，，，.【小問2詳解】由，可得，.19、（1）證明見解析；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.【解題分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）利用分組求和法，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由題知：所以又因?yàn)樗运詳?shù)列為以－1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知：，所以，，記，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；記兩式相減得：，所以，所以，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.20、(1)見解析;(2).【解題分析】（1）推導(dǎo)出，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，可推出，從而平面，進(jìn)而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【題目詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則∴設(shè)平面的法向量為，則，即得平面一個(gè)法向量為由（1）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】用空間向量求解立體幾何問題的注意點(diǎn)（1）建立坐標(biāo)系時(shí)要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準(zhǔn)確求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)（2）用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點(diǎn)需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論21、（1）（2）6【解題分析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公可得，從而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最大值為4，從而可求出三角形周長的最大值【小問1詳解】由，得

，由正弦定