云南省曲靖市沾益縣第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

云南省曲靖市沾益縣第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是A.

B.

C.

D.參考答案：A3.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是（）．

．

．

．參考答案：A由三視圖知，原幾何體為一個正方體挖掉一個正四棱錐其中正方體的棱為2，正四棱錐的底面邊長為正方體的上底面，高為1.∴原幾何體的體積為,選A.4.已知函數(shù)，且，則等于（

）A.－2013B．－2014C．2013D．2014參考答案：D當(dāng)為奇數(shù)時,當(dāng)為偶數(shù)時，所以5.如果復(fù)數(shù)的模為4，則實數(shù)的值為（

）A．2

B．

C．

D．參考答案：C6.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是（）A.海里

B.海里

C..海里

D.海里參考答案：A略7.已知集合則集合B可能是（A）

（B）

（C）

（D）R參考答案：8.已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定A．與a，b都相交

B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交

D．與a，b都平行參考答案：C若c與a，b都不相交，則與a，b都平行，根據(jù)公理4，則a∥b，與a，b異面矛盾9.若將函數(shù)圖象上的每一個點(diǎn)都向左平移個單位，得到的圖象，若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A. B.C. D.參考答案：B10.已知α，β為銳角△ABC的兩個內(nèi)角，x∈R，f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，則關(guān)于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集為（）A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（，2） C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） D．（﹣，2）參考答案：B【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】由已知α，β為銳角△ABC的兩個內(nèi)角，得到cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，從而得到函數(shù)在（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣∞，2）單調(diào)遞增，利用此單調(diào)性將f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0轉(zhuǎn)化為不等式∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|解之即可．【解答】解：∵α，β為銳角△ABC的兩個內(nèi)角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，∴f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣∞，2）單調(diào)遞增，由關(guān)于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到關(guān)于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化簡為3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的反函數(shù)________________．參考答案：由，得，所以，即。因為，所以，即，所以。12.方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）兩根tanα、tanβ，且α，β∈（﹣，），則α+β=．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由韋達(dá)定理和兩角和的正切公式可得tan（α+β）=1，進(jìn)一步縮小角的范圍可得α+β∈（﹣π，0），可得答案．【解答】解：∵方程x2+3ax+3a+1=0兩根tanα、tanβ，∴tanα+tanβ=﹣3a，tanαtanβ=3a+1，∴tan（α+β）==1，又∵α，β∈（﹣，），tanα+tanβ=﹣3a＜0，tanαtanβ=3a+1＞0∴tanα＜0，tanβ＜0，∴α，β∈（﹣，0），∴α+β∈（﹣π，0），結(jié)合tan（α+β）=1∴α+β=故答案為：【點(diǎn)評】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，涉及韋達(dá)定理，屬中檔題．13.下面是某小組學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測驗中的得分莖葉圖，則該組男生的平均得分與女生的平均得分之差是

▲

．參考答案：答案：1.514.已知集合，，則實數(shù)的取值范圍是___________________．參考答案：15.若是等比數(shù)列，是互不相等的正整數(shù)，則有正確的結(jié)論：．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若是等差數(shù)列，是互不相等的正整數(shù)，則有正確的結(jié)論：

.參考答案：16.已知函數(shù)y=g（x）的圖象由f（x）=sin2x的圖像向右平移（0<<）個單位得到，這兩個函數(shù)的部分圖象如圖所示，則=

▲

．參考答案：17.已知函數(shù)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，向量=（0，1），θn是向量與的夾角，則使得恒成立的實

數(shù)t的取值范圍為．參考答案：t≥【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意得，﹣θn是直線OAn的傾斜角，化簡=…==（﹣）；計算+++…+＜，從而求出t的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意得，﹣θn是直線OAn的傾斜角，∴==tan（﹣θn）===（﹣）；∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣＜；要使恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是t≥．故答案為：t≥．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為正半軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ﹣2sinθ，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a為常數(shù)）．（1）求直線l普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l分圓C所得的兩弧長度之比為1：2，求實數(shù)a的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；參數(shù)的意義．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（1）利用極坐標(biāo)公式，把極坐標(biāo)方程化為普通方程，消去參數(shù)t，把參數(shù)方程化為普通方程；（2）根據(jù)題意，得出直線l被圓C截得的弦所對的圓心角為120°，圓心C到直線l的距離d=r，由此列出方程求出a的值．【解答】解：（1）圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ﹣2sinθ可化為ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，利用極坐標(biāo)公式，化為普通方程是x2+y2=4x﹣2y，即（x﹣2）2+（y+1）2=5；直線l的參數(shù)方程為，消去參數(shù)t，化為普通方程是y=﹣ax；（2）圓C的方程為（x﹣2）2+（y+1）2=5，圓心C為（2，﹣1），半徑r=，直線l的方程為y=﹣ax，即ax+y﹣=0，直線l將圓C分成弧長之比為1：2的兩段圓弧，∴直線l被圓截得的弦所對的圓心角為120°，∴圓心C到直線l的距離d=r=，即=，整理得11a2﹣24a+4=0，解得a=2或a=．【點(diǎn)評】本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，由題意得出圓心C到直線l的距離d等于半徑r的一半是解題的關(guān)鍵．19.設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實根的個數(shù)（重根按一個計）（Ⅰ）求方程有實根的概率；（Ⅱ）求的分布列和期望.參考答案：（Ⅰ）

……5分（Ⅱ）可取的值為0，1，2

……1分

……3分012……1分

……2分20.已知函數(shù)，其中n∈N*，a為常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)n=2時，求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時，有f（x）≤x﹣1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題．【專題】計算題；證明題；壓軸題．【分析】（1）欲求：“當(dāng)n=2時，”的極值，利用導(dǎo)數(shù)，求其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及單調(diào)性進(jìn)行判斷即可；（2）欲證：“f（x）≤x﹣1”，令，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，只要證明函數(shù)f（x）的最大值是x﹣1即可．【解答】解：（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞1}，當(dāng)n=2時，，所以．（1）當(dāng)a＞0時，由f'（x）=0得，，此時．當(dāng)x∈（1，x1）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．（2）當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）無極值．綜上所述，n=2時，當(dāng)a＞0時，f（x）在處取得極小值，極小值為．當(dāng)a≤0時，f（x）無極值．（Ⅱ）證法一：因為a=1，所以．當(dāng)n為偶數(shù)時，令，則（x≥2）．所以當(dāng)x∈[2，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增，又g（2）=0，因此恒成立，所以f（x）≤x﹣1成立．當(dāng)n為奇數(shù)時，要證f（x）≤x﹣1，由于，所以只需證ln（x﹣1）≤x﹣1，令h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1），則（x≥2），所以當(dāng)x∈[2，+∞）時，h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1）單調(diào)遞增，又h（2）=1＞0，所以當(dāng)x≥2時，恒有h（x）＞0，即ln（x﹣1）＜x﹣1命題成立．綜上所述，結(jié)論成立．證法二：當(dāng)a=1時，．當(dāng)x≥2時，對任意的正整數(shù)n，恒有，故只需證明1+ln（x﹣1）≤x﹣1．令h（x）=x﹣1﹣（1+ln（x﹣1））=x﹣2﹣ln（x﹣1），x∈[2，+∞），則，當(dāng)x≥2時，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x≥2時，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x﹣1）≤x﹣1成立．故當(dāng)x≥2時，有．即f（x）≤x﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、不等式等知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力．21.（14分）已知函數(shù)f（x）=x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，證明：f（x2）＜x2﹣1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0，①當(dāng)△≤0，②當(dāng)△＞0，a＜1時，若a≤0，若a＞0，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性．當(dāng)0＜a＜1時，（2）求出函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，等價于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞），直接推出結(jié)果．（3）通過（1），（2），推出0＜a＜1，構(gòu)造新函數(shù)g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函數(shù)的單調(diào)性證明求解即可．【解答】（本小題滿分14分）（1）解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），，…（1分）令f′（x）=0，得x2﹣2x+a=0，其判別式△=4﹣4a，①當(dāng)△≤0，即a≥1時，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…（2分）②當(dāng)△＞0，即a＜1時，方程x2﹣2x+a=0的兩根為，，…（3分）若a≤0，則x1≤0，則x∈（0，x2）時，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，此時，f（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增；…（4分）若a＞0，則x1＞0，則x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，此時，f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增．…綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）（2）解：由（1）可知，函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，等價于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞）有兩不等實根，故0＜a＜1．…（7分）（3）證明：由（1），（2）得0＜a＜1，，且1＜x2＜2，．…（8分），…（9分）令g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，則，…（10分）由于1＜t＜2，則g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上單調(diào)遞減．…（11分）故g（t）＜g（1）=1﹣2ln1﹣1=0．…（12分）∴f（x2）﹣x2+1=g（x2）＜0．…（13分）∴f（x2）＜x2﹣1．…（14分）【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．22.汽車尾氣中含有一氧化碳(CO)，碳?xì)浠衔?HC)等污染物，是環(huán)境污染的主要因素之一，汽車在使用若干年之后排放的尾氣中的污染物會出現(xiàn)遞增的現(xiàn)象，所以國家根據(jù)機(jī)動車使用和安全技術(shù)、排放檢驗狀況，對達(dá)到報廢標(biāo)準(zhǔn)的機(jī)動車實施強(qiáng)制報廢．某環(huán)保組織為了解公眾對機(jī)動車強(qiáng)制報廢標(biāo)準(zhǔn)的了解情況，隨機(jī)調(diào)查了100人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表：(1)若從這100人中任選1人，選到了解機(jī)動車強(qiáng)制報廢標(biāo)準(zhǔn)的人的概率為，問是否有95%的把握認(rèn)為“對機(jī)動車強(qiáng)制報廢標(biāo)準(zhǔn)是否了解與性別有關(guān)”？

不了解了解