2024學年北京海淀科大附中高二上數(shù)學期末考試模擬試題含解析

2024學年北京海淀科大附中高二上數(shù)學期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.2．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.3．《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問第11日到第20日這10日共織布（）A.30尺 B.40尺C.6尺 D.60尺4．雙曲線的左焦點到其漸近線的距離是（）A. B.C. D.5．已知分別表示隨機事件發(fā)生的概率，那么是下列哪個事件的概率（）A事件同時發(fā)生B.事件至少有一個發(fā)生C.事件都不發(fā)生D事件至多有一個發(fā)生6．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點 D.2為函數(shù)的極大值點7．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，角終邊上有一點（1，2），為銳角，且，則（）A.-18 B.-6C. D.8．和的等差中項與等比中項分別為（）A.， B.2，C.， D.1，9．已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，為坐標原點，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點，以為直徑的圓與軸交于兩點，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.310．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.11．已知實數(shù)，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.212．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線上，且軸，若則雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總書記在2021年2月25日召開的全國脫貧攻堅總結(jié)表彰大會上發(fā)表重要講話，莊嚴宣告，在迎來中國共產(chǎn)黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅取得了全面勝利.在脫貧攻堅過程中，為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，工作人員對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中所存確結(jié)論的序號是____________①該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%；②該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%；③估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元；④估計該地有一半以上農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間14．過點,的直線方程（一般式）為___________.15．已知正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段BC，AD的中點，點G是線段CD上靠近D的四等分點，則直線EF與AG所成角的余弦值為______16．若函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，則實數(shù)k=___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，點（1）若點在圓外部，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，過點的直線交圓于，兩點，求面積的最大值及此時直線l的斜率18．（12分）已知圓C經(jīng)過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.19．（12分）在2021年“雙11”網(wǎng)上購物節(jié)期間，某電商平臺銷售了一款新手機，現(xiàn)在該電商為調(diào)查這款手機使用后的“滿意度”，從購買了該款手機的顧客中抽取1000人，每人在規(guī)定區(qū)間內(nèi)給出一個“滿意度”分數(shù)，評分在60分以下的視為“不滿意”，在60分到80分之間（含60分但不含80分）的視為“基本滿意”，在80分及以上的視為“非常滿意”.現(xiàn)將他們的評分按，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)和“滿意度”評分的中位數(shù)的估計值.（2）若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人，記這3人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)為X.①寫出X的分布列，并求數(shù)學期望；②若被抽取的這3人中對該款手機“非常滿意”的被調(diào)查者將獲得100元話費補貼，其他被調(diào)查者將獲得50元話費補貼，請求出這3人將獲得的話費補貼總額的期望.20．（12分）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）若關于的方程在上有解，求的取值范圍.21．（12分）已知圓M經(jīng)過原點和點，且它的圓心M在直線上.（1）求圓M的方程；（2）若點D為圓M上的動點，定點，求線段CD的中點P的軌跡方程.22．（10分）設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的極值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個，滿足兩個向量垂直的共有2個，利用古典概型公式可得結(jié)果.【題目詳解】集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【題目點撥】本題主要考查分步計數(shù)乘法原理的應用、向量垂直的性質(zhì)以及古典概型概率公式的應用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.2、B【解題分析】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題3、A【解題分析】由題意可知，每日的織布數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得解.【題目詳解】由題女子織布數(shù)成等差數(shù)列，設第日織布為，有，所以，故選:A.4、A【解題分析】求出雙曲線焦點坐標與漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果.【題目詳解】在雙曲線中，，，，所以，該雙曲線的左焦點坐標為，漸近線方程為，即，因，該雙曲線的左焦點到漸近線的距離為.故選：A5、C【解題分析】表示事件至少有一個發(fā)生概率，據(jù)此得到答案.【題目詳解】分別表示隨機事件發(fā)生的概率，表示事件至少有一個發(fā)生的概率，故表示事件都不發(fā)生的概率.故選：C.6、D【解題分析】根據(jù)導函數(shù)與原函數(shù)的關系可求解.【題目詳解】對于A，在區(qū)間，，故A不正確；對于B，在區(qū)間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D7、A【解題分析】由終邊上的點可得，由同角三角函數(shù)的平方、商數(shù)關系有，再應用差角、倍角正切公式即可求.【題目詳解】由題設，，，則，又，，所以.故選：A8、C【解題分析】根據(jù)等差中項和等比中項的概念分別求值即可.【題目詳解】和的等差中項為，和的等比中項為.故選：C.9、B【解題分析】由直徑所對圓周角是直角，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和角平分線定義可解.【題目詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，所以，因為，所以又因為平分，所以，由，得，所以，即所以故選：B10、B【解題分析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【題目詳解】由兩直線平行，得，故，當時，，，此時，故兩直線平行時又之間的距離為，故選：B.11、D【解題分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)，即可得到結(jié)果【題目詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標函數(shù)為，由圖可知當直線過點時，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D12、B【解題分析】由雙曲線定義結(jié)合通徑公式、化簡得出，最后得出離心率.【題目詳解】，，，解得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解題分析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項①，②，④，利用平均值的計算方法，即可判斷選項③【題目詳解】解：對于①，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項①正確；對于②，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項②正確；對于③，估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項③錯誤；對于④，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項④正確故答案為：①②④14、【解題分析】利用兩點式方程可求直線方程.【題目詳解】∵直線過點,，∴，∴，化簡得.故答案為：.15、【解題分析】建立空間直角坐標系，令正四面體的棱長為，即可求出點的坐標，從而求出異面直線所成角的余弦值；【題目詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，令正四面體的棱長為，則，所以，所以，所以，，，，，設，因為，所以，所以，所以，，設直線與所成角為，則故答案為：16、2【解題分析】由題可求函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義即求.【題目詳解】∵，∴，，又函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，∴.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為2，【解題分析】（1）根據(jù)題意，將圓的方程變形為標準方程，由點與圓的位置關系可得，求解不等式組得答案；（2）當時，圓的方程為，求出圓心與半徑，設，則，分析可得面積的最大值，結(jié)合直線與圓的位置關系可得圓心到直線的距離，設直線的方程為，即，由點到直線的距離公式列式求得的值【題目詳解】解：（1）根據(jù)題意，圓，即，若在圓外，則有，解得：，即的取值范圍為；（2）當時，圓的方程為，圓心為，半徑，設，則，當時，面積取得最大值，且其最大值為2，此時為等腰直角三角形，圓心到直線的距離，設直線的方程為，即，則有，解得，即直線的斜率【題目點撥】易錯點點睛：本題第一問解答過程中，容易忽視二元二次方程表示圓的條件，導致出錯，解題的時候要考慮周全，考查運算求解能力，是中檔題.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）由題設知，設圓心，應用兩點距離公式列方程求參數(shù)a，進而確定圓心坐標、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點距離公式、切線的性質(zhì)可得、，再應用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.19、（1）65分（2）①分布列答案見解析，數(shù)學期望：；②172.5元【解題分析】（1）由圖可知中位數(shù)在第二組，則設中位數(shù)為，從而得，解方程可得答案，（2）①由題意可求得“不滿意”與“基本滿意”的用戶應抽取17人，“非常滿意”的用戶應抽取3人，則X的可能取值分別為0，1，2，3，然后求出對應的概率，從而可求得其分布列和期望，②設這3人獲得的話費補貼總額為Y，則，然后由①結(jié)合期望的性質(zhì)可求得答案【小問1詳解】這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)為.由頻率分布直方圖可得，得分的中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為65分.【小問2詳解】①若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，則“不滿意”與“基本滿意”的用戶應抽取人，“非常滿意”的用戶應抽取人，X的可能取值分別為0，1，2，3，，，，，則X的分布列為X0123P故.②設這3人獲得的話費補貼總額為Y，則（元），所以元，故這3人將獲得的話費補貼總額的期望為172.5元.20、（1）（2）【解題分析】（1）求，由條件可得，得出關于的方程組，求解可得；（2）令，注意，所以在具有單調(diào)性時，則方程無解，求，對分類討論，求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)值的變化趨勢，即可求得結(jié)論.【題目詳解】解：（1），因為，所以，解得，，所以.（2）令，則.令，則在上單調(diào)遞增.當，即時，，所以單調(diào)遞增，又，所以；當，即時，則存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，則.當時，，所以在上有解.綜上，的取值范圍為.【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義求參數(shù)，考查導數(shù)的綜合應用，涉及到單調(diào)區(qū)間、函數(shù)零點的問題，考查分類討論思想，屬于較難題.21、（1）.（2）.【解題分析】（1）設圓M的方程為，由已知條件建立方程組，求解即可；（2）設，，依題意得.代入圓