2024屆安徽省蕪湖市高二上數(shù)學(xué)期末檢測試題含解析

2024屆安徽省蕪湖市高二上數(shù)學(xué)期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的（）A.充要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件2．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上3．已知雙曲線的左右焦點分別是和，點關(guān)于漸近線的對稱點恰好落在圓上，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.34．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.5．已知集合，則（）A. B.C. D.6．雙曲線的焦點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．已知，是橢圓的兩焦點，是橢圓上任一點，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點的軌跡為（）A.圓 B.兩個圓C.橢圓 D.兩個橢圓8．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.29．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.10．已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則（）A.30 B.C. D.30或11．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.12．在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項互不相鄰的概率（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.14．如圖，橢圓左頂點為軸上一點滿足，且線段與橢圓交于點是以為底邊的等腰三角形，則橢圓離心率為__________.15．經(jīng)過、兩點的直線斜率為______.16．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓上一點，滿足(O為坐標(biāo)原點)．若，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：（，）的離心率為，點P在雙曲線C上，點，分別為雙曲線C的左右焦點，.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.18．（12分）已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式及前n項和.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值20．（12分）等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若滿足數(shù)列為遞增數(shù)列，求數(shù)列前項和21．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值22．（10分）某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點圖觀察散點圖，兩個變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與x的相關(guān)系數(shù).（1）用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品非原料成本；（3）根據(jù)企業(yè)長期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值，若非原料成本y在之外，說明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？參考數(shù)據(jù)（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合充分必要條件的定義即得.【題目詳解】若，則方程表示焦點在軸上的橢圓；反之，若方程表示焦點在軸上的橢圓，則；所以“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的充要條件.故選：A.2、A【解題分析】根據(jù)題意，得到兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內(nèi)的一動點，所以可設(shè)，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【題目點撥】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運(yùn)用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.3、B【解題分析】首先求出F1到漸近線的距離,利用F1關(guān)于漸近線的對稱點恰落在圓上,可得直角三角形,利用勾股定理得到關(guān)于ac的齊次式，即可求出雙曲線的離心率【題目詳解】由題意可設(shè),則到漸近線的距離為.設(shè)關(guān)于漸近線的對稱點為M,F1M與漸近線交于A,∴MF1=2b,A為F1M的中點.又O是F1P的中點,∴OA∥F2M,∴為直角,所以△為直角三角形，由勾股定理得：，所以，所以，所以離心率故選:B.4、A【解題分析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【題目詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A5、B【解題分析】先求得集合A，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得選項.【題目詳解】解：因為，所以故選：B.6、C【解題分析】把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接寫出焦點坐標(biāo).【題目詳解】，焦點在軸上，，故焦點坐標(biāo)為.故選：C.7、A【解題分析】設(shè)的延長線交的延長線于點，由橢圓性質(zhì)推導(dǎo)出，由題意知是△的中位線，從而得到點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【題目詳解】是焦點為、的橢圓上一點為的外角平分線，，設(shè)的延長線交的延長線于點，如圖，，，，由題意知是△的中位線，，點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A8、D【解題分析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【題目詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【題目點撥】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題9、A【解題分析】利用可化簡得，由此可得.【題目詳解】由得：，，即.故選：A.10、A【解題分析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【題目詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A11、A【解題分析】由同角公式求出，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)正弦定理求出.【題目詳解】因為，所以，因為，的面積為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【題目點撥】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】先根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求，再根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果【題目詳解】因為前三項的系數(shù)為，，，當(dāng)時，為有理項，從而概率為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.【題目詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應(yīng)用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.14、##【解題分析】根據(jù)題設(shè)條件可得坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求橢圓的離心率.【題目詳解】因為，故，，且在軸的正半軸上，則在第二象限中，故，代入橢圓方程有：即，故，故答案為：.15、【解題分析】利用斜率公式可求得結(jié)果.【題目詳解】由斜率公式可知，直線的斜率為.故答案為：.16、##【解題分析】由可得，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得為直角三角形，由題意設(shè)，則，由勾股定理可得，再結(jié)合橢圓的定義可求出離心率【題目詳解】因為，所以，所以，因為，所以，所以為直角三角形，即，所以設(shè)，則，所以，得，因為則，所以，所以，即離心率為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解題分析】(1)根據(jù)題意和雙曲線的定義求出，結(jié)合離心率求出b，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，根據(jù)兩點的坐標(biāo)即可求出、，化簡計算即可.【小問1詳解】由題知：由雙曲線的定義知：，又因為，所以，所以所以，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為小問2詳解】設(shè)，則因為，，所以，所以18、（1），，證明見解析（2），【解題分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出，，對遞推公式變形，即可得證；（2）結(jié)合（1）求得通項公式，分組求和.【小問1詳解】因為，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，即，即；.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質(zhì)證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進(jìn)而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因為四邊形中，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因為平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以，因為，，所以平面PBD因為平面PBD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點O，連接PO，因為，所以，因為平面，平面底面，平面底面，所以底面,以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以，因為是平面的一個法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為20、（1）或（2）【解題分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式，可構(gòu)造方程組求得，由此可得通項公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法，結(jié)合等差等比求和公式可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，或【小問2詳解】由（1）當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列，則，設(shè)，.21、(1)見解析;(2).【解題分析】（1）推導(dǎo)出，取BC的中點F，連結(jié)EF，可推出，從而平面，進(jìn)而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為，軸，以過點且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【題目詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點F，連結(jié)EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則∴設(shè)平面的法向量為，則，即得平面一個法向量為由（1）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【題目點撥】用空間向量求解立體幾何問題的注意點（1）建立坐標(biāo)系時要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準(zhǔn)確求得所需點的坐標(biāo)（2）用平面的法向量求二面角的大小時，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論22、（1）（2）反比例函數(shù)模型擬合效果更好，產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元，（3）見解析【解題分析】（1）令，則可轉(zhuǎn)化為，求出樣本中心，回歸方程的斜率，轉(zhuǎn)化求回歸方程即可，（2）求出與的