2024學年廣東省中山市實驗中學數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024學年廣東省中山市實驗中學數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從某個角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.2．化學中，將構成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復排列構成的固體物質稱為晶體.在結構化學中，可將晶體結構截分為一個個包含等同內(nèi)容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點位置，O原子位于棱的中點）.則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．已知關于x的不等式的解集為空集，則的最小值為（）A. B.2C. D.44．在平面上有一系列點，對每個正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，以點為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項之和為，則（）A. B.C. D.5．已知橢圓：的左、右焦點為，，上頂點為P，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構不成三角形6．設是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.487．已知，，若，則（）A.6 B.11C.12 D.228．已知是偶函數(shù)的導函數(shù)，．若時，，則使得不等式成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.9．設a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，則（）A.a，b，c依次成等差數(shù)列 B.，，依次成等差數(shù)列C.，，依次成等比數(shù)列 D.，，依次成等比數(shù)列10．沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）A.月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元 B.這一年的總利潤超過400萬元C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.7月份的利潤最大11．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.912．運行如圖所示程序后，輸出的結果為（）A.15 B.17C.19 D.21二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線被圓所截得的弦中，最短弦所在直線的一般方程是__________14．設是數(shù)列的前項和，且，，則__________15．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____16．已知數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的前5項為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）當，時，求中含項的系數(shù)；（2）用、表示，寫出推理過程18．（12分）已知橢圓左右焦點分別為，，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于M，N兩點，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）求在的最大值.20．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）當a=1時，對于任意的，，都有恒成立，則m的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關于的不等式：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】設出雙曲線方程，把雙曲線上的點的坐標表示出來并代入到方程中，找到的關系即可求解.【題目詳解】以O為原點，AD所在直線為x軸建系，不妨設，則該雙曲線過點且，將點代入方程，故離心率為，故選：B【題目點撥】本題考查已知點在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎題目2、C【解題分析】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，求出的值，即可得到答案；【題目詳解】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故選：C.3、D【解題分析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【題目詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當且僅當取等號，所以的最小值為4.故答案為：4.【題目點撥】本題主要考查均值不等式，關鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關系，再將所求的式子運用不等式的性質降低元的個數(shù)，運用均值不等式，是中檔題.4、C【解題分析】根據(jù)兩圓的幾何關系及其圓心在函數(shù)的圖象上，即可得到遞推關系式，通過構造等差數(shù)列求得的通項公式，得出，最后利用裂項相消，求出數(shù)列前項和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數(shù)列且，，則，，則，即，故答案選：.5、A【解題分析】根據(jù)題意求得，要判斷的形狀，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判斷，從而可得結論.【題目詳解】解：由橢圓：，得，則，則，所以且為銳角，因為，所以銳角，所以為銳角三角形.故選：A.6、C【解題分析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎題型.7、C【解題分析】根據(jù)遞推關系式計算即可求出結果.【題目詳解】因為，，，則，，，故選：C.8、C【解題分析】構造函數(shù)，分析函數(shù)在上的單調性，將所求不等式變形為，可得出關于的不等式，即可得解.【題目詳解】構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，當時，，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且該函數(shù)在上也為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，則，由得，可得，解得故選：C.9、B【解題分析】由等差數(shù)列的性質得，利用正弦定理、余弦定理推導出，從而，，依次成等差數(shù)列.【題目詳解】解：∵a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，∴，根據(jù)正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差數(shù)列.故選：B.【題目點撥】本題考查三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.10、B【解題分析】根據(jù)圖形和中位數(shù)、眾數(shù)的概念依次判斷選項即可.【題目詳解】A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個月的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬元)，故B錯誤；C：這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；D：7月份的利潤最大，為60萬元，故D正確.故選：B11、C【解題分析】由，，共面，設，列方程組能求出λ的值【題目詳解】∵，，共面，∴設(實數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C12、D【解題分析】根據(jù)給出的循環(huán)程序進行求解，直到滿足，輸出.【題目詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】先求出直線所過的定點，當該定點為弦的中點時弦長最短，利用點斜式求出直線方程，整理成一般式即可.【題目詳解】即，令，解得即直線過定點圓的圓心為，半徑為，最短弦所在直線的方程為整理得最短弦所在直線的一般方程是故答案為：.14、【解題分析】原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【題目點撥】這類型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當時構造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項公式.15、【解題分析】聯(lián)立直線得，由無公共點得，進而得，即可求出離心率的取值范圍.【題目詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.16、【解題分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式可得答案.【題目詳解】因為，所以數(shù)列的前5項為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），過程見解析【解題分析】（1）寫出函數(shù)的解析式，利用二項式定理可求得函數(shù)中含項的系數(shù)；（2）利用錯位相減法化簡函數(shù)的解析式，求出解析式中含項的系數(shù)，再結合組合數(shù)公式化簡可得結果.【小問1詳解】解：當，時，，的展開式通項為，此時，函數(shù)中含項的系數(shù)之和為.【小問2詳解】解：因為，①則，②①②得，所以，，而為中含項的系數(shù)，而函數(shù)中含項的系數(shù)也可視為中含項的系數(shù)，故，且，故.18、（1）（2）【解題分析】（1）依題意得到方程組，求出、、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出過且與軸垂直時、的坐標，即可得到，當過的直線不與軸垂直時，可設，，直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示得到，將韋達定理代入得到，再根據(jù)函數(shù)的性質求出取值范圍；【小問1詳解】解：由題意可列方程組，解得，所以橢圓方程為：.【小問2詳解】解：①當過的直線與軸垂直時，此時，，，則，.②當過的直線不與軸垂直時，可設，，直線方程為聯(lián)立得：.所以，=將韋達定理代入上式得：.，，，由①②可知.19、（1）（2）【解題分析】（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得，再由正弦函數(shù)單調區(qū)間，整體代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調性即可求解.【小問1詳解】，，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1），解得函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，，所以函數(shù)的最大值為.20、（1）（2）【解題分析】（1）設等差數(shù)列公差為d，首項為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答案；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項和公式，利用分組求和法即可求解【小問1詳解】解：設等差數(shù)列公差為d，首項為a1，由題意，有，解得，所以；【小問2詳解】解：，所以21、（1）答案見解析；（2）.【解題分析】（1）由題可得，利用導數(shù)與單調性關系分類討論即得；（2）由題可得，利用函數(shù)的單調性及極值求函數(shù)最值即得.【小問1詳解】由題可得的定義域為，若，恒有，當時，，當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，若，令，得，若，恒有在上單調遞增，若，當時，；當時，，故在和上單調遞增，在上單調遞減，若，當時，；當時，，故在和上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述，當，在上單調遞增，在上單調遞減，當，在和上單調遞增，在上單調遞減，當，在上單調遞增，當，在和上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】由（1）知，時，在和上