數(shù)學教案九年級(上)

第二十一章二次根式

21.1二次根式

第一課時

教學內(nèi)容

二次根式的概念及其運用

教學目標

理解二次根式的概念，并利用右(a>0)的意義解答具體題目.

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應用概念解決實際問題.

教學重難點關鍵

1.重點：形如右(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.難點與關鍵：利用(a>0)w解決具體問題.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們獨立完成下列三個問題：

3

問題1:已知反比例函數(shù)y=—，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是

x

問題2：如圖，在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB邊的長是__________

問題3:甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8,那么甲這次射擊的方差是:，

那么S=--------------

老師點評：

問題1:橫、縱坐標相等，即x=y,所以x、3.因為點在第一象限，所以x=6,所以所求點的

坐標(百，百).

問題2:由勾股定理得

問題3:由方差的概念得$=

二、探索新知

很明顯石、阿島都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，

我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如G(a>0)的式子叫做二次根式，稱

為二次根號.

(學生活動)議一議：

1.-1有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當a<0,4a有意義嗎？

老師點評：(略)

例L下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：6、6、>、G(x〉0)、芯、6、

-V2、-----、Jx+y(x>0,y>0).

x+y

分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“、廠”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.

解：二次根式有：立、4(x>0)、芯、-6、Vx+y(x>0,y>0);不是二次根式的有:

XX+

例2.當x是多少時，J3x-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3xT》0,-1才能有

意義.

解：由3x-l>0,得：x>-

3

當X》1時，J3x—1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、鞏固練習

教材P練習1、2、3.

四、應用拓展

例3.當x是多少時，J2X+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：要使j2x+3+—1—在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿足j2x+3中的》0和」一中的

X+lX+1

x+1*0.

K上,f2x+3>0

解：依題意，得《

x+1w0

3

由①得：x>--

2

由②得：x*-l

當X》--且XW-1時，j2x+3+——在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4⑴已知y=J^+JT^+5,求土的值.(答案：2)

y

⑵若加=T=o,求/"+心"的值.(答案：?

五、歸納小結(jié)(學生活動，老師點評)

本節(jié)課要掌握：

1.形如八(a>0)的式子叫做二次根式，“、廠”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù).

六、布置作業(yè)

1.教材R復習鞏固1、綜合應用5.

2.選用課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè)：《同步訓練》

21.1二次根式⑵

第二課時

教學內(nèi)容

1.八(a>0)是一個非負數(shù)；

2.(\[a)2=a(a>0).

教學目標

理解&（a》0）是一個非負數(shù)和（6）'a（a>0）,并利用它們進行計算和化簡.

通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出〃'（a》0）是一個非負數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合

算術(shù)平方根的意義導出（）'a（a》。）；最后運用結(jié)論嚴謹解題.

教學重難點關鍵

1.重點：JI（a）0）是一個非負數(shù)；（J1）（a>0）及其運用.

2.難點、關鍵：用分類思想的方法導出6（a>0）是一個非負數(shù)；用探究的方法導出（8）

2=a（a>0）.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）口答

1.什么叫二次根式？

2.當a》0時，叫什么？當a<0時，〃■有意義嗎？

老師點評（略）.

二、探究新知

議一議：（學生分組討論，提問解答）

4a（a>0）是一個什么數(shù)呢？

老師點評：根據(jù)學生討論和上面的練習，我們可以得出

yfa（a》0）是一個非負數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

（V4）、______;（72）、_______;（V9）=______;（0）=_______;

（Q）2=--;（4）2=---;（而）2=——

老師點評："是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，"是一個平方等于4的非負數(shù),

因此有（"）」4.

同理可得：(V2)2=2,(如)2=9,(V3)2=3,(.-)2=-,(J-)2=-,(Vo)2=0,所以

V33V22

(&)2=a(a>0)

例1計算

1.(《)22.(3不)23.(J|)24.(y-)2

分析：我們可以直接利用(G):a(a>0)的結(jié)論解題.

解：()2N,(3^/5)2=32?(V5)2=32-5=45,

V22

(e芯)、坐二

V662224

三、鞏固練習

計算下列各式的值：

(V18)2(./I)2(―)2(靖)

V34

(3府-(5揚2

四、應用拓展

例2計算

1.(>/x+T)2(x》0)2.(啟)3.(J.-+2a+1)

4.(V4x2-12x+9)2

分析：(1)因為x>0,所以x+l>0;(2)a2>0;(3)a2+2a+l=(a+1)>0;

(4)4x-12x+9=(2x)-2?2x-3+3=(2x-3)2>0.

所以上面的4題都可以運用(&)%(a》0)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因為x>0,所以x+l>0

(Jx+1)2=x+l

(2),--a^O,(C)2=a2

(3),.'a2+2a+l=(a+1)2

又；(a+1);>0,.-.a3+2a+l>0,\ja2+2a+1=a2+2a+l

(4)4x-12x+9=(2x)-2?2x-3+3=(2x-3)2

又；(2x-3)

.'.4X2-12X+9>0,,1.(A/4X2-12X+9)=4x-12x+9

例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)x-3(2)x-4⑶2x-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：

1.八(a>0)是一個非負數(shù)；

2.()2=a(a>0);反之:a=(\[a)2(a>0).

六、布置作業(yè)

1.教材Ps復習鞏固2.(1)、(2)P,7.

2.選用課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè)：《同步訓練》

21.1二次根式(3)

第三課時

教學內(nèi)容

y[a^=a(a>0)

教學目標

理解J/=a(a>0)并利用它進行計算和化簡.

通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究J/=a(a>0),并利用這個結(jié)論解決具體問題.

教學重難點關鍵

1.重點：=a(a>0).

2.難點：探究結(jié)論.

3.關鍵：講清a》0時，行=^才成立.

教學過程

一、復習引入

老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；

1.形如JZ(a>0)的式子叫做二次根式;

2.8(a>0)是一個非負數(shù)；

3.(yfa)2=a(a>0).

那么，我們猜想當a》0時，〃？=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題.

二、探究新知

(學生活動)填空：

亞=------；VEoF=------；

(老師點評)：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

五=2;7o.Ol2=0.01;J(黯$；=后=0；

因此，一般地：=a(a>0)

例1化簡

(1)79(2)7(-4)2(3)后(4),(-3)2

分析：因為(1)9=-32,(2)(-4)M2,(3)25=52,

(4)(-3)七2,所以都可運用J/=a(a>0)去化簡.

解：(1)V9=VF=3(2),(—4)2=6=4

(3)V25=V5?=5(4)J(-3尸=序=3

三、鞏固練習

教材P,練習2.

四、應用拓展

例2填空：當a》0時，，/=----;當a<0時，燒:-------,并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列

問題.

(1)若〃7=a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若J/=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：???J/=a(a>0),??.要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應變形，使

氣)"'中的數(shù)是正數(shù)，因為，當a40時，廂=J(—4,那么-a》0.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知證=

Ia|,而|a|要大于a,只有什么時候才能保證呢？a<0.

解：(1)因為J^=a,所以a>0;

(2)因為J/=-a,所以a40;

(3)因為當a>0時J第=a,要使J7>a,即使a>a所以a不存在；當a<0時，J/=-a,要

使J/>a,即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3當x>2,化簡7(X-2)2-7(1-2x)2.

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握："=a(a>0)及其運用，同時理解當a<0時，J/=-a的應用拓展.

六、布置作業(yè)

1.教材Ps習題21.13、4、6、8.

2.選作課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè)：《同步訓練》

21.2二次根式的乘除

第一課時

教學內(nèi)容

4a-4b=4ab(a>0,b>0),反之&=&i-4b(a>0,b>0)及其運用.

教學目標

理解4a-4b=yfab(a>0,b>0),>[ah=4a-4b(a>0,b>0),并利用它們進行計算

和化簡

由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出?、/=癡(a>0,b>0)并運用它進行計算；利用逆向

思維，得出，拓=0-4b(a>0,b>0)并運用它進行解題和化簡.

教學重難點關鍵

重點：4a-4b=4ab(a>0,b>0),y[ah=Ja-4b(a>0,b>0)及它們的運用.

難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出4a-4b=4ab(a>0,b>0).

關鍵：要講清J拓(a<0,b<0)=JZ、/，如7(-2)x(-3)=7-(-2)x-(-3)或

J(-2)x(-3)=:2x3=V2x-y/3.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們完成下列各題.

1.填空

(1)V4x5/9=-------,J4x9=-------;

(2)V16x725=_____,716x25=_______

(3)7100xV36=______，-00x36=______

參考上面的結(jié)果，用“>、(或="填空.

nX也------74^9,V16xV25------716x25,V1OOx736----------Jl00x36

2.利用計算器計算填空

(1)72xV3_____V6,(2)V2x加_______屈,

(3)V5xV6_____V30,(4)V4xV5_____V20,

(5)gxV10-----V70.

老師點評(糾正學生練習中的錯誤)

二、探索新知

(學生活動)讓3、4個同學上臺總結(jié)規(guī)律.

老師點評：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；

(2)兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二次根式中的數(shù)相乘，作為等號另

一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

4a--Jb=>[ab.(a>0,b>0)

反過來：|=&?揚(a》0,b>0)

例L計算

(1)75x77(2)xV9(3)V9xV27(4)Ax&

分析：直接利用〃'=(a>0,b>0)計算即可.

解：⑴石xV7=A/35

(3)V9xa=，9乂27=J9?x3=96

(1)V9xl6(2)716x81(3)781x100

(4)J9x2y2(5)V54

分析：利用癡=G-4b(a>0,b>0)直接化簡即可.

解：⑴V9xl6=V9x716=3x4=12

(2)V16X81=V16x781=4x9=36

(3)781x100=^1xVi00=9x10=90

(4)^9x2y2=4^xJx2y2=后x7?x=3xy

(5)A/54=V9x6=A/3^**娓=3瓜

三、鞏固練習

(1)計算(學生練習，老師點評)

①屈“氓②3^x2而③扃?白^

(2)化簡：V20；V18;V24;V54;112a2b?

教材P”練習全部

四、應用拓展

例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：

(1)-^(—4)x(-9)=J-4xJ-9

(2)J4—x725=4x—xV25=4J—x后=4m=8&

V25V25V25

解：(1)不正確.

改正：J4)x(-9)=J4x9=V4xJ^=2x3=6

(2)不正確.

改正：J4—xV25=J—xV25=.—x25=VH2=V16x7=477

\25V25V25

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：(1)y/a?\/b=\[ab=(a>0,b>0),4ab=4a-4b(a>0,b>0)及其

運用.

六、布置作業(yè)

1.課本Pu1,4,5,6.(1)(2).

2.選用課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè)：《同步訓練》

21.2二次根式的乘除

第二課時

教學內(nèi)容

\a_s[a

b>0),反過來(a>0,b>0)及利用它們進行計算和化簡.

教學目標

理解軍工口(a>0,

八、4ay/a

)和日F(a>0,b>0)及利用它們進行運算.

y/b\b

利用具體數(shù)據(jù)，通過學生練習活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及

利用它們進行計算和化簡.

教學重難點關鍵

1.重點：理解得■=&(a>0,b>0),fa_y/a

(a>0,b>0)及利用它們進行計算和化簡.

2.難點關鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們完成下列各題：

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

V4

(3)

V16

(4)

規(guī)律:需

T巫16V42

16,73636，V16

36

8?

3.利用計算器計算填空:

⑴互,(2)^=

V4U4)X

規(guī)律:15V2[2V2[2幣\1

4；3

每組推薦一名學生上臺闡述運算結(jié)果.

(老師點評)

二、探索新知

剛才同學們都練習都很好，上臺的同學也回答得十分準確，根據(jù)大家的練習和回答，我們可以得

到：

一般地，對二次根式的除法規(guī)定：

y/aa

(a>0,b>0),

反過來,W與"》仇b>0)

下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.

例1.計算：(1)貸(2)(3

分析：上面4小題利用器=1(a>0,b>0)便可直接得出答案.

；xl6=A/4=2

分析：直接利用(a>0,b>0)就可以達到化簡之目的.

三、鞏固練習

教材P14練習1.

四、應用拓展

半=,且x為偶數(shù)，求(1+x)x2—5x+4,..

例3.已知——2---------------的值?

yjX-f)x2-i

分析:式子B=也只有a>0,b>0時才能成立.

因此得到9-x>0且x-6>0,即6<x49,又因為x為偶數(shù)，所以x=8.

[9-x>0x<9

解：由題意得!，即《

x-6>0x>6

6<x<9

??.x為偶數(shù)

x=8

l(x-4)(x-l)

.,?原式=(1+X)

\(x+l)(x-l)

=(1+x)

=(1+x),A=J(1+x)(x-4)

J(x+1)、

.,.當x=8時，原式的值=J4x9=6.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握需=筏（a>0,[a_y/a

b>0)和(a>0,b>0）及其運用.

\by/b

六、布置作業(yè)

1.教材P”習題21.22、7、8、9.

2.選用課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè)：《同步訓練》

21.2二次根式的乘除（3）

第三課時

教學內(nèi)容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算.

教學目標

理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

通過計算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點來檢驗最后結(jié)果是否滿足

最簡二次根式的要求.

重難點關鍵

1.重點：最簡二次根式的運用.

2.難點關鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書）

1、_u笛/1、6(i、3&.、&

1.計算(1)—j=,(2)—=,(3)—j=

V5V27y/2a

母際上、工V3V15372V6a28

老師點評：—f==----,—/='-----,-j==-----

V55后3扃a

2.現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是Ihkm,h2km,那么它們的傳播

半徑的比是---------

它們的比是

yJ2Rh,

二、探索新知

觀察上面計算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點:

1.被開方數(shù)不含分母；

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式.

學生分組討論，推薦3~4個人到黑板上板書.

老師點評：不是.

例2.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長.

解：因為AB-C'+BC?

2213

所以AB=V2.5+6=———=6.5(cm)

2

因此AB的長為6.5cm.

三、鞏固練習

教材P再練習2、3

四、應用拓展

例3.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:

]_后-1)后

V2+1(V2+1)(72-1)-2-1，

1lx(V3-V2)V3-V2f-國

百丁(百十⑸回及廣工-7

同理可得:米丁"一8

從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算

1

(廠+_」廠+……;;)(V2002+D的值.

V2+1V3+V2V4+V3V2002+V2001

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡

的目的.

解：原式=(亞T+6-血+4-6+……+V2002-V200T)X(V2002+1)

=(V2002-1)(V2002+1)

=2002-1=2001

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用.

六、布置作業(yè)

1.教材P”習題21.23、7、10.

2.選用課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè)：《同步訓練》

21.3二次根式的加減⑴

第一課時

教學內(nèi)容

二次根式的加減

教學目標

理解和掌握二次根式加減的方法.

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解.再總結(jié)經(jīng)驗,

用它來指導根式的計算和化簡.

重難點關鍵

1.重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教學過程

一、復習引入

學生活動：計算下列各式.

(1)2x+3x;(2)2X-3X2+5X2;(3)x+2x+3y;(4)3a-2a2+a3

教師點評：上面題目的結(jié)果，實際上是我們以前所學的同類項合并.同類項合并就是字母不變,

系數(shù)相加減.

二、探索新知

學生活動：計算下列各式.

(1)272+372(2)278-3^+578

(3)V7+277+37977(4)3也-26+6

老師點評：

(1)如果我們把應當成x,不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？

2a+3垃=(2+3)72=572

(2)把一當成y;

2次-3舟5次=(2-3+5)&=4&=8五

(3)把J7當成z;

V7+2V7+V9V7

=25+2嶼+3近=(1+2+3)V7=6>/7

(4)百看為x,a看為y.

3V3-2V3+V2

=(3-2)V3+V2

=V3+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2與血表面上看是不相同的，但它們可

以合并嗎？可以的.

(板書)372+78=372+272=572

373+727=373+373=6V3

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式

進行合并.

例L計算

(1)+(2)

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進

行合并.

解：(1)V8+718=272+372=(2+3)6=5近

(2)J16x+J64x=44+84=(4+8)4=12Vx

例2.計算

(1)3a-983屈

(2)(^48+720)+(V12-V5)

解:(1)3748-9^+3712=1273-373+673=(12-3+6)73=1573

(2)(V48+V20)+(V12-V5)=V48+V20+V12-V5

=4A/3+2V5+25/3—5/5=6y/3+y/5

三、鞏固練習

教材Pg練習1、2.

四、應用拓展

2-5xJ2)的值.

例3.已知4x2+y2-4x-6y+l0=0,求-x

3

分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,即x=L,

2

y=3.其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代

入求值.

解：*.*4x2+y2-4x-6y+l0=0

4x2-4x+l+y2-6y+9=0

(2x-l)2+(y-3)=0

乜+5x

X

=2x\[x+y/xy-xVx+5y/xy

=xVx+(>y[xy

當x=—,y=3時，

2

原式=，x+6+3>/6

2V2V24

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握：(1)不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；(2)相同的最簡二次根式進行

合并.

六、布置作業(yè)

1.教材P“習題21.31、2、3、5.

2.選作課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè)：《同步訓練》

21.3二次根式的加減(2)

第二課時

教學內(nèi)容

利用二次根式化簡的數(shù)學思想解應用題.

教學目標

運用二次根式、化簡解應用題.

通過復習，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進行合并后解應用題.

重難點關鍵

講清如何解答應用題既是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關鍵點.

教學過程

一、復習引入

上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根

式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做鞏

固.

二、探索新知

例1.如圖所示的RtaABC中，NB=90。，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A

移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動.問：幾秒后APBQ的面積為

35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）

分析：設x秒后aPBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根據(jù)三角形面積公式就可以

求出x的值.

解：設x后APBO的面積為35平方厘米.

則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x-2x=35

2

X2=35

X=A/35

所以岳秒后aPBQ的面積為35平方厘米.

PQ=^PB2+BQ2=VX2+4X2=75?=J5x35=5V7

答：逐秒后aPBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5b厘米.

例2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度.

B

Dlmc

解：由勾股定理，得

AB=dAD?+BD。=V42+22=720=275

BC=^BD2+CD2=V22+l2=V5

所需鋼材長度為

AB+BC+AC+BD

=26+6+5+2

=36+7

=3x2.24+7=13.7(m)

答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.

三、鞏固練習

教材P19練習3

四、應用拓展

例3.若最簡根式3”/4a+3A與根式，2帥2—/+6/是同類二次根式,求a、b的值.(同類

二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式)

分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實上，根式

d2ab。-尸女不是最簡二次根式,因此把加—/+6/化簡成|b|72a-b+6,才由同類

二次根式的定義得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式、/2q/_/+6/化為最簡二次根式:

322

^lab'-b+6b=yJb(2a-\+6')=IbI-J2a-2+6

4。+3b=2。一/7+6

由題意得!

3a-b=2

2。+4/?=6

'3a-b=2

a=l,b=l

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題.

六、布置作業(yè)

1.教材P”習題21.37.

2.選用課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè)：《同步訓練》

21.3二次根式的加減(3)

第三課時

教學內(nèi)容

含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、

相除；乘法公式的應用.

教學目標

含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用.

復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算.

重難點關鍵

重點：二次根式的乘除、乘方等運算規(guī)律；

難點關鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算.

教學過程

一、復習引入

學生活動：請同學們完成下列各題：

1.計算

(1)(2x+y)-zx(2)(2x2y+3xy2)+xy

2.計算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老師點評：這些內(nèi)容是對八年級上冊整式運算的再現(xiàn).它主要有(1)單項式X單項式；(2)單

項式X多項式；(3)多項式:單項式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的運用.

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立.

整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當然也可以代表

二次根式，所以，整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式.

例L計算：

(1)(V6+V8)xV3(2)(476-372)-272

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以直接可用整式的運算規(guī)律.

解：(1)(V6+V8)xV3=V6xV3+V8xV3

718+724=372+276

解；3yli)-r2\/2=4V625/2_3V225/2

2

例2.計算

(1)(V5+6)(3-V5)(2)(Vio+V7)(Vio-V?)

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立.

解：(1)(75+6)(3-75)

=375-(V5)2+18-6A/5

=13-3后

(2)(T10+V7)(V10-V7)=(V10)-(V7)

=10-7=3

三、鞏固練習

課本Pzo練習1、2.

四、應用拓展

例3.已知—=2-土工，其中a、b是實數(shù)，且a+bwO,

ah

八，極Jx+1—y/~XJx+1+yfx￥4修

化簡———廣+———尸，并求值.

'X+1+yjX，X+1—y/X

分析：由于(JTR+4)(J7TT-4)勺，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再

通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到X的值，代入化簡得結(jié)果即可.

解.原式,「?(+]―盧)：+(y/x+1+yfxY

(Vx+1+A/X)(VX+1-Vx)(Vx+1-\/x)(Vx+l+Vx)

(Jx+1—Vx)-(Jx+1+y[x)~

=--------------F--------------

(x+l)-x(x+l)-x

=(x+1)+x-2Jx(x+1)+x+2Jx(x+1)

=4x+2

x-b?x-a

?：----=2------

ab

b(x-b)=2ab-a(x-a)

，bx-b2=2ab-ax+a2

(a+b)x=a'+2ab+b2

(a+b)x=(a+b)2

a+b豐0

，x=a+b

，原式=4x+2=4(a+b)+2

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算.

六、布置作業(yè)

1.教材P”習題21.31、8、9.

2.選用課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè)：《同步訓練》

二次根式復習課

教學目標

1.使學生進一步理解二次根式的意義及基本性質(zhì)，并能熟練地化簡含二次根式的式子；

2.熟練地進行二次根式的加、減、乘、除混合運算.

教學重點和難點

重點：含二次根式的式子的混合運算.

難點：綜合運用二次根式的性質(zhì)及運算法則化簡和計算含二次根式的式子.

教學過程設計

一、復習

1.請同學回憶二次根式有哪些基本性質(zhì)？用式子表示出來，并說明各式成立的條件.

指出：二次根式的這些基本性質(zhì)都是在一定條件下才成立的，主要應用于化簡二次根式.

2.二次根式的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來.

指出：二次根式的乘、除法則也是在一定條件下成立的.把兩個二次根式相除，

先寫成分式形式，即、6+、后=得，再運用二次根式的除法法則進行計算，計算，

計算結(jié)果要把分母有理化.

3.在二次根式的化簡或計算中，還常用到以下兩個二次根式的關系式：

(l)a=G/a)2(a>0)；(2)|a|=

4.在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運用三個可逆的式子：

⑴西產(chǎn)=a(a,0)與a=(孤尸(a)0)；

(2)-^b=-7a*花(a>0,b>0)與C=V^(a)0,b>0)；

。求=知>。'b>。)與魯JI5,b>0).

例如，化簡白，可以用3種方法：

⑴直接約分為富="；

⑵分母有理化身尋=立

(3)看作二次根式的除法*=苧=欄

5.不一定能化成(、扃2.

當a》0忖，如(石)2=內(nèi)\(石)2,(而)2=癡7=(而)2,此時，好

=(、扃\當2〈0時，正2)2=J?=(應］,但4無意義，所以&-2)2<(正方2,

時、■聲(石尸.

二、例題

例1X取什么值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義：

(1)J3-x+Jx-2；(2)-----j=；

1-Vx2

(3)^/2x+J-2x；(4)—.

3x

分析：

(D題是兩個二次根式的和，X的取值必須使兩個二次根式都有意義；

(2)題中，式子的分母不能為零，即x不能取使1-必=0的值；

(3)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式都有意義；

(4)題的分子是二次根式，分母是含x的單項式，因此x的取值必須使二次根式有意義,

同時使分母的值不等于零.

解⑴要使招f意義，必須3-x>0,BPx<3；要使后”有意義，必須x-2》0,

即x32.所以使式子以-x+、/x-2有意義的播為24K3.

(2)因為1-JF=當x=±1時，l-|x|=0,原式?jīng)]有意義，所以當xW±l時,

式子有意義.

(3)因為使有意義的x值為x〉O,使W及有意義的都值為x40,所以使、位

+J-2x有意義的xffi,為x=0.

(4)因為使豉較有意義的x取值為x+2>0,即x》-2,而分母3x^0,即xrO,所

以使式子號2有意義的x取值為

3x

x》一2且x00.

例2已知m,n為實數(shù)，且滿足m=如29+.[「+4,求6m-3n的值.

分析：先根據(jù)已知條件求出m與n的值，冉求多項式6m-3n的值.二次根式

與、后二出有意義的條件分別是甘-9〉。及9-不》0,從中求得n的值，從而確定m的f

解因為n19>0,9-n2>0,且n-3r0,所以n：9且n^3,所以

Jn*-9+A/9-n2+442

n=-3,m=--------------------------=-~=~~,

n-3-63

6m-3n=6X(-|)-3(-3)=5.

指出：例1和例2主要復習二次根式的意義，即當a?0時，二次根式、回有意義.

例3

…苜la2-4a+4J3-a1

分析：第一個二次根式的被開方數(shù)的分子與分母都可以分解因式.把它們分別分解因式

后，再利用二次根式的基本性質(zhì)把式子化簡，化簡中應注意利用題中的隱含條件3-a>0和l-a

>0.

解因為l-a>0,3-a>0,所以

a<1,Ia-21=2-a.

(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)>0.

Ia2-4a+4

va2-4a+3

_|a-2|.J3一a+1

^/(a~l)(a_3)a-2Jl-a

—_2_-a.?-J-3---—--a-+-.1

Jl-a?V3-aa-2Jl-a

1t1

Jl-aJi-a

=0.

指出：由于二次根式的基本性質(zhì)好=間要由a的取值范圍確定，即

'a(a20),

a[=4/

1-a(a<0).

而、砥=忑?而除唉成立的條件是a?0及b》0Ca>0,b>0),因此在運用

這些性質(zhì)化簡含二次根式的式子時，要注意上述條件，并要闡述清楚是怎樣滿足這些條

件的.

例4已知"號T哪-g+4-卜『4的值?

問：上面的代數(shù)式中的兩個二次根式的被開方數(shù)的式子如何化為完全平方式？

121(a4)_4=a、92

答:a—+4=a~=+2a

aa

問：如何確定a+4及a二的值是正值還是負值?

aa

答：可由已知條件=忑*

a有一\加〉0,-=V3+V2,知a-l■—〉0.

1l「1

a--=(A/3-應)

a、仔--72

=(73-72)-(73+72)

=-2^2<0.

解

=a+—+a一

a

=2a.

時,

原式=2a=2（右-、加）=2后-2、也.

分析：先把第二個式子化簡，再把兩個式子進行通分，然后進行計算.

+x1-X

例5計算

J1+X+J1-X&_，-1+X

解

Jl+X+1-X

J1+X+71-X71+X2-1+X

J1+X1-X

=---4-{----

J1+彳+-X&+--1+X

—1+.J1-X

J1+X+J1-XJ1+X-J1-彳

Jl+X(J1+X-Jl_X)+Jl-x(jl+X+J]_X)

(Jl+X+J]_■)(J]+X-J]-X)

41+x(A/1-x)2

=—--+―------—

Vl+X+Jl-XJ(1_