貴州省“陽光校園·空中黔課”階段性檢測2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

貴州省“陽光校園·空中黔課”階段性檢測2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.2．已知為偶函數(shù)，且，則___________.3．已知點是拋物線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（）A. B.C. D.4．已知兩個向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.85．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.6．在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為（）A. B.C. D.7．在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，，則（）A.9 B.3C. D.8．函數(shù)在區(qū)間（0，e）上的極小值為（）A.－e B.1－eC.－1 D.19．在等比數(shù)列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±1210．與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.11．命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，12．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則______.14．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____15．已知點F是拋物線的焦點，點，點P為拋物線上的任意一點，則的最小值為_________.16．設(shè)是數(shù)列的前項和，且，則_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為,且,,數(shù)列滿足，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列{}的前n項和.18．（12分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若的前n項和為，且，，求數(shù)列的前n項和19．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點.（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.20．（12分）已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率，若不能，說明理由21．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m，交橢圓于A，B兩個不同點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求m的取值范圍；（Ⅲ）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.22．（10分）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，證明，，；（2）若函數(shù)在上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【題目詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B2、8【解題分析】由已知條件中的偶函數(shù)即可計算出結(jié)果，【題目詳解】為偶函數(shù)，且，.故答案為：83、C【解題分析】分析可知圓的圓心為拋物線的焦點，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【題目詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，有，由圓的圓心坐標(biāo)為，是拋物線的焦點坐標(biāo)，有，由圓的幾何性質(zhì)可得，又由，可得的最小值為故選：C.4、B【解題分析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運算計算即可.【題目詳解】因為，所以，即，解得.故選：B5、A【解題分析】設(shè)七巧板正方形邊長為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計算作答.【題目詳解】設(shè)七巧板正方形邊長為4，則大陰影等腰三角形底邊長為4，底邊上的高為2，可得小正方形對角線長為2，小正方形邊長為，小陰影等腰直角三角形腰長為，小白色等腰直角三角形底邊長為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為.故選：A6、C【解題分析】求解不等式，利用幾何概型的概率計算公式即可容易求得.【題目詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計算公式可得：在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為.故選：.7、A【解題分析】利用等比數(shù)列的通項公式可得，結(jié)合條件即求.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由，，得，解得或，又單調(diào)遞減，故，.故選：A.8、D【解題分析】求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解【題目詳解】的定義域為(0，＋∞)，，令，得x＝1，當(dāng)x∈(0，1)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，e)時，，單調(diào)遞增，故在x＝1處取得極小值.故選：D.9、D【解題分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：10、C【解題分析】由直線平行及直線所過的點，應(yīng)用點斜式寫出直線方程即可.【題目詳解】與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C11、D【解題分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可得到答案.【題目詳解】因為命題，，所以，.故選：D12、D【解題分析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【題目詳解】因為，則，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】取，代入計算得到答案.【題目詳解】，當(dāng)時故答案為【題目點撥】本題考查了前項和和通項的關(guān)系，取是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】聯(lián)立直線得，由無公共點得，進(jìn)而得，即可求出離心率的取值范圍.【題目詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.15、3【解題分析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【題目詳解】如圖，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立，故的最小值為3，故答案為：3.16、【解題分析】根據(jù)題意可知，再利用裂項相消法，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）【解題分析】（1）求數(shù)列的通項公式主要利用求解，分情況求解后要驗證是否滿足的通項公式，將求得的代入整理即可得到的通項公式；（2）整理數(shù)列的通項公式得，依據(jù)特點采用錯位相減法求和試題解析：（1）∵，∴當(dāng)時，.當(dāng)時，.∵時，滿足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考點：1.數(shù)列通項公式求解；2.錯位相減法求和【方法點睛】求數(shù)列的通項公式主要利用，分情況求解后，驗證的值是否滿足關(guān)系式，解決非等差等比數(shù)列求和問題，主要有兩種思路：其一，轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解（即分組求和）或錯位相減來完成，其二，不能轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的，往往通過裂項相消法，倒序相加法來求和，本題中，根據(jù)特點采用錯位相減法求和18、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差即可求解作答.(2)由已知條件求出數(shù)列的通項，再利用錯位相減法計算作答.【小問1詳解】等差數(shù)列中，，解得，則公差，所以數(shù)列的通項公式為：.【小問2詳解】的前n項和為，，，則當(dāng)時，，于是得，即，而，即，，因此，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，由(1)知，，則，因此，，，所以數(shù)列的前n項和.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)即證；（2）利用坐標(biāo)法，結(jié)合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問1詳解】，是的中點，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問2詳解】，，，取的中點，連接，則，平面，以為坐標(biāo)原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得，∵二面角的大小為，，解得，，則三棱錐的體積.20、（1）證明見解析（2）能為平行四邊形；斜率為4－或4＋【解題分析】（1）設(shè)兩點坐標(biāo)，由點差法證明（2）求出兩點坐標(biāo)，由平行四邊形的幾何性質(zhì)判斷【小問1詳解】設(shè)的斜率為,，兩式相減可得，即故【小問2詳解】由（1）得的直線為，直線方程為聯(lián)立，解得聯(lián)立解得若四邊形OAPB為平行四邊形，則對角線互相平分為中點，解得，經(jīng)檢驗，均符合題意故四邊形OAPB能為平行四邊形，此時斜率為4－或4＋21、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）證明見解析.【解題分析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，從而求得橢圓的方程；（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立消元，根據(jù)直線與橢圓方程有兩個不同交點，利用即可求出m取值范圍；（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，根據(jù)題意把所證問題轉(zhuǎn)化為證明k1+k2=0即可.【題目詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，解得，∴橢圓方程為；（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，，所以設(shè)直線的方程為，由消元，得∵直線l與橢圓交于A，B兩個不同點，所以，解得，所以m的取值范圍為.（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，設(shè)，由（Ⅱ）可知，則，由，而，，故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.22、（1）證明見解析：（2）【解題分析】(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.(2),若函數(shù)在上存在兩個極值點,則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點即可.【題目詳解】(1)證明：當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,則,