湖南省株洲市鉆石中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

湖南省株洲市鉆石中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）（2011?遼寧校級模擬）已知m、n、s、t為正數(shù)，m+n=2，=9其中m、n是常數(shù)，且s+t最小值是，滿足條件的點(diǎn)（m，n）是橢圓=1一弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為（）A．x﹣2y+1=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x+y﹣3=0D．x+2y﹣3=0參考答案：D【考點(diǎn)】：橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】：計算題．【分析】：由題設(shè)知（）（s+t）=n+m+≥=，滿足時取最小值，由此得到m=n=1．設(shè)以（1，1）為中點(diǎn)的弦交橢圓=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中點(diǎn)從坐標(biāo)公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分別代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，k=，由此能求出此弦所在的直線方程．解：∵sm、n、s、t為正數(shù)，m+n=2，=9，s+t最小值是，∴（）（s+t）的最小值為4∴（）（s+t）=n+m+≥=，滿足時取最小值，此時最小值為=2+2=4，得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．設(shè)以（1，1）為中點(diǎn)的弦交橢圓=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中點(diǎn)從坐標(biāo)公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分別代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，∴k=，∴此弦所在的直線方程為，即x+2y﹣3=0．故選D．【點(diǎn)評】：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意均值不等式和點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．2.將正奇數(shù)按下列規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個數(shù)為（）135791113151719212325272931…A．811 B．809 C．807 D．805參考答案：B【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】第一行有1個奇數(shù)，第二行有2個奇數(shù)，…第n行有n個奇數(shù)，每行的最后的奇數(shù)是第1+2+3+…+n=（1+n）×n÷2個奇數(shù)，這個奇數(shù)是2×（1+n）×n÷2﹣1=（1+n）×n﹣1，這就是行數(shù)n和這行的最后一個奇數(shù)的關(guān)系，依照這個關(guān)系，可得答案．【解答】解：由題意知前20行共有正奇數(shù)1+3+5+…+39=202=400個，則第21行從左向右的第5個數(shù)是第405個正奇數(shù)，所以這個數(shù)是2×405﹣1=809．故選：B【點(diǎn)評】本題從觀察數(shù)陣的排列規(guī)律，考查了數(shù)列的求和應(yīng)用問題；解題時，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用所學(xué)知識，來解答問題．3.已知數(shù)列中，a1＝1，a2＝2＋3，a3＝4＋5＋6，a4＝7＋8＋9＋10，依此類推，則a10＝（

）A．610

B．510

C．505

D．750參考答案：C略4.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關(guān)系是 (A)垂直 (B)斜交 (C)平行 (D)重合參考答案：A6.如右圖所示，在邊長為10cm的正方形中挖出為兩個直角邊長為8cm的等腰直角三角形，現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，則粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C7.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍為(

)A.(1,2) B.(1,2] C.(2,3] D.[2,3)參考答案：A8.已知條件:=，條件：直線與圓相切，則是的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略9.對于曲線∶=1，給出下面四個命題：（1）曲線不可能表示橢圓；（2）若曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1＜＜；（3）若曲線表示雙曲線，則＜1或＞4；（4）當(dāng)1＜＜4時曲線表示橢圓，其中正確的是（

）A.(2)(3)

B.(1)(3)

C.(2)(4)

D.(3)(4)參考答案：A略10.函數(shù)f（x）=sin2x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x參考答案：D【考點(diǎn)】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【分析】將f（x）=sin2x看成外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)，分別求導(dǎo)即可．【解答】解：將y=sin2x寫成，y=u2，u=sinx的形式．對外函數(shù)求導(dǎo)為y′=2u，對內(nèi)函數(shù)求導(dǎo)為u′=cosx，故可以得到y(tǒng)=sin2x的導(dǎo)數(shù)為y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故選D【點(diǎn)評】考查學(xué)生對復(fù)合函數(shù)的認(rèn)識，要求學(xué)生會對簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不相等的正實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，c、a、b成等比數(shù)列，則a:b:c=

。參考答案：2:(-1):412.已知數(shù)列{an}滿足，且，則__________．參考答案：13.平面、β、r兩兩垂直，點(diǎn)A∈，A到β、r的距離都是1，P是上的動點(diǎn)，P到β的距離是到點(diǎn)A距離的倍，則P點(diǎn)軌跡上的點(diǎn)到r距離的最小值是

。參考答案：014.用數(shù)學(xué)歸納法證明，在驗(yàn)證n=1成立時，等式左邊是

參考答案：略15.某地球儀上北緯60°緯線長度為6πcm，則該地球儀的體積為cm3．參考答案：288π【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】地球儀上北緯60°緯線的周長為6πcm，可求緯圓半徑，然后求出地球儀的半徑，再求體積．【解答】解：由題意：地球儀上北緯60°緯線的周長為6πcm，緯圓半徑是：3cm，地球儀的半徑是：6cm；地球儀的體積是：π×63=288cm3，故答案為：288π．16.若圓錐曲線的焦距與實(shí)數(shù)無關(guān)，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

．參考答案：(0,±3)17.設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為________.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)與函數(shù)在點(diǎn)處有公共的切線，設(shè).（1）求的值（2）求在區(qū)間上的最小值.參考答案：（1）因?yàn)樗栽诤瘮?shù)的圖象上又，所以所以

（2）因?yàn)?，其定義域?yàn)?/p>

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增所以在上最小值為

當(dāng)時，令，得到(舍)當(dāng)時，即時，對恒成立，所以在上單調(diào)遞增，其最小值為

當(dāng)時，即時，對成立，所以在上單調(diào)遞減，其最小值為

當(dāng)，即時，對成立，對成立

所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

其最小值為綜上，當(dāng)時，

在上的最小值為

當(dāng)時，在上的最小值為

當(dāng)時，

在上的最小值為.

略19.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有（1）求、的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和為，求.參考答案：解：（1）∵是等差數(shù)列，且，，設(shè)公差為。

∴，

解得

∴

（）

在中，∵

當(dāng)時，，∴

當(dāng)時，由及可得

，∴

∴是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列

∴

（）

（2）

①

②

①-②得

∴

（）

略20.（本小題滿分10分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，離心率為．直線與橢圓交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若橢圓的右焦點(diǎn)恰好為的垂心，求直線的方程．參考答案：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，則由題意知．所以，解得．所以橢圓的方程為．

…………4分（Ⅱ）易知直線的斜率為，從而直線的斜率為．設(shè)直線的方程為，，，，由得.根據(jù)韋達(dá)定理，，.于是解之得或.當(dāng)時，點(diǎn)即為直線與橢圓的交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，經(jīng)檢驗(yàn)知和橢圓相交，符合題意．所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時，點(diǎn)是的垂心.

………10分21.函數(shù)f（x）=2cosx（x∈[﹣π，π]）的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象．【分析】由f（﹣x）=2cos（﹣x）=2cosx=f（x），得出f（x）為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對稱，排除A、D，再令x=π代入f（x）的表達(dá)式即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=2cos（﹣x）=2cosx=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對稱，排除A、D，把x=π代入得f（π）=2﹣1=0.5，故圖象過點(diǎn)（π，0.5），C選項(xiàng)適合，故選：C．22.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對一切n∈N*，點(diǎn)（n，）都在函數(shù)f（x）=x+的圖象上．（1）求a1，a2，a3的值，猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）將數(shù)列{an}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），（a22，a23），（a24，a25，a26），（a27，a28，a29，a30）；…分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，求b2018﹣b1314的值．參考答案：【分析】（1））得到數(shù)列遞推式，代入計算可得結(jié)論，猜想an的表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，（2）因?yàn)閍n=2n（n∈N*），所以數(shù)列{an}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號，故b100是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20，同理，由各組第4個括號中所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；【解答】解（1）∵點(diǎn)（n，）在函數(shù)f（x）=x+的圖象上，∴=n+，∴Sn=n2+an．令n=1得，a1=1+a1，∴a1=2；令n=2得，a1+a2=4+a2，∴a2=4；令n=3得，a1+a2+a3=9+a3，∴a3=6．由此猜想：an=2n，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n=1時，由上面的求解知，猜想成立．②假設(shè)n=k（k≥1）時猜想成立，即ak=2k成立，則當(dāng)n=k+1時，注意到Sn=n2+an（n∈N*），故Sk+1=（k+1）2+ak+1，Sk=k2+ak．兩式相減得，ak+1=2k+1+ak+1﹣ak，所以ak+1=4k+2﹣ak．由歸納假設(shè)得，ak=2k，故ak+1=4k+2﹣ak=4k+2﹣2k=2（k+1）．這說明n=k+1時，猜想也成立．由①②知，對一切n∈N*，an=2n成立，（2）因?yàn)閍n=2n（n∈N*），所以數(shù)列{an}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循