函數(shù)展開成冪級數(shù)

函數(shù)展開成冪級數(shù)（1）級數(shù)收斂：如果級數(shù)∑i=1∞ui\sum_{i=1}^\inftyu_i∑i=1∞?ui?的部分和數(shù)列{sn}\{s_n\}{sn?}有極限s，即limn→∞sn=slim_{n\to\infty}s_n=slimn→∞?sn?=s那么稱無窮級數(shù)∑i=1∞ui\sum_{i=1}^\inftyu_i∑i=1∞?ui?收斂，這時極限是叫做這級數(shù)的和，并寫出s=u1+u2+???+ui+???；s=u_1+u_2+···+u_i+···；s=u1?+u2?+???+ui?+???；如果sn{s_n}sn?沒有極限，那么稱無窮級數(shù)∑i=1∞ui\sum_{i=1}^\inftyu_i∑i=1∞?ui?發(fā)散。1、函數(shù)項級數(shù)的概念如果給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列u1(x),u2(x),u3(x),???,un(x),???u_1(x),u_2(x),u_3(x),···,u_n(x),···u1?(x),u2?(x),u3?(x),???,un?(x),???那么由這函數(shù)列構成的表達式u1(x)+u2(x)+u3(x)+???+un(x)+???(1)u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+···+u_n(x)+···\tag{1}u1?(x)+u2?(x)+u3?(x)+???+un?(x)+???(1)稱為定義在區(qū)間I上的（函數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱（函數(shù)項）級數(shù)。對于每一個確定的值x0∈Ix_0\inIx0?∈I，函數(shù)項級數(shù)（1）成為常數(shù)項級數(shù)u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+???+un(x0)+???(2)u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+···+u_n(x_0)+···\tag{2}u1?(x0?)+u2?(x0?)+u3?(x0?)+???+un?(x0?)+???(2)這個級數(shù)（2）可能收斂也可能發(fā)散。如果級數(shù)（2）收斂，就稱點x0x_0x0?是函數(shù)項級數(shù)（1）的收斂點；如果級數(shù)（2）發(fā)散，就稱點x0x_0x0?是函數(shù)項級數(shù)（1）的發(fā)散點。函數(shù)項級數(shù)（1）的收斂點的全體稱為它的收斂域，發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域。對應于收斂域內的任意一個數(shù)x，函數(shù)項級數(shù)稱為一收斂的常數(shù)項級數(shù)，因而有一確定的和s。這樣，在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x)s(x)s(x)，通常稱s(x)s(x)s(x)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，這函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域，并寫成s(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+???+un(x)+???s(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+···+u_n(x)+···s(x)=u1?(x)+u2?(x)+u3?(x)+???+un?(x)+???把函數(shù)項級數(shù)（1）的前n項的部分和記作sn(x)s_n(x)sn?(x)，則在收斂域上有l(wèi)imn→∞sn(x)=s(x)lim_{n\to\infty}s_n(x)=s(x)limn→∞?sn?(x)=s(x)記rn(x)=s(x)?sn(x)r_n(x)=s(x)-s_n(x)rn?(x)=s(x)?sn?(x)，rn(x)r_n(x)rn?(x)叫做函數(shù)項級數(shù)的余項（當然，只有x在收斂域上rn(x)r_n(x)rn?(x)才有意義），并有l(wèi)imn→∞rn(x)=0lim_{n\to\infty}r_n(x)=0limn→∞?rn?(x)=0。2、冪級數(shù)的定義函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都是常數(shù)乘冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)，即所謂冪級數(shù)，它的形式是∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+???+anxn+???，\sum_{n=0}^\inftya_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+···+a_nx^n+···，n=0∑∞?an?xn=a0?+a1?x+a2?x2+???+an?xn+???，其中常數(shù)a0,a1,a2,???，an,???a_0,a_1,a_2,···，a_n,···a0?,a1?,a2?,???，an?,???叫做冪級數(shù)的系數(shù)。性質1：冪級數(shù)∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^\inftya_nx^n∑n=0∞?an?xn的和函數(shù)s(x)s(x)s(x)在其收斂域I上連續(xù)。性質2：冪級數(shù)∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^\inftya_nx^n∑n=0∞?an?xn的和函數(shù)s(x)s(x)s(x)在其收斂域I上可積，并有逐項積分公式∫0xs(t)dt=∫0x[∑n=0∞antn]dt=∑n=0∞∫0xantndt=∑n=0∞ann+1xn+1(x∈I)\int_0^xs(t)dt=\int_0^x[\sum_{n=0}^\inftya_nt^n]dt=\sum_{n=0}^\infty\int_0^xa_nt^ndt=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}(x\inI)∫0x?s(t)dt=∫0x?[n=0∑∞?an?tn]dt=n=0∑∞?∫0x?an?tndt=n=0∑∞?n+1an??xn+1(x∈I)逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。性質3：冪級數(shù)∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^\inftya_nx^n∑n=0∞?an?xn和和函數(shù)s(x)s(x)s(x)在其收斂區(qū)間(?R,R)(-R,R)(?R,R)內可導，且有逐項求導公式s′(x)=(∑n=0∞anxn)’=∑n=0∞(anxn)′=∑n=1xnanxn?1(∣x∣<R)s'(x)=(\sum_{n=0}^\inftya_nx^n)’=\sum_{n=0}^\infty(a_nx^n)'=\sum_{n=1}^xna_nx^{n-1}(|x|<R)s′(x)=(n=0∑∞?an?xn)’=n=0∑∞?(an?xn)′=n=1∑x?nan?xn?1(∣x∣<R)逐項求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。結論：冪級數(shù)∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^\inftya_nx^n∑n=0∞?an?xn的和函數(shù)s(x)s(x)s(x)在其收斂區(qū)間(?R,R)(-R,R)(?R,R)內具有任意階導數(shù)。3、函數(shù)展開成冪級數(shù)給定函數(shù)f(x)f(x)f(x)，要考慮它是否能在某個區(qū)間“展開成冪級數(shù)”，就是說，是否能找到這樣一個冪級數(shù)，它在某區(qū)間收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)f(x)f(x)。如果能找到這樣的冪級數(shù)，則函數(shù)f(x)f(x)f(x)在該區(qū)間能展開成冪級數(shù)，而這個冪級數(shù)在該區(qū)間就表達了函數(shù)f(x)f(x)f(x)。假設函數(shù)f(x)f(x)f(x)在點x0x_0x0?的某鄰域U(x0)U(x_0)U(x0?)內能展開成冪級數(shù)，既有f(x)=a0+a1(x?x0)+a2(x?x0)2+???+an(x?x0)n+???,x∈U(x0)(1)f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+···+a_n(x-x_0)^n+···,x\inU(x_0)\tag{1}f(x)=a0?+a1?(x?x0?)+a2?(x?x0?)2+???+an?(x?x0?)n+???,x∈U(x0?)(1)則根據(jù)和函數(shù)的性質，可知f(x)f(x)f(x)在U(x0)U(x_0)U(x0?)內應具有任意階導數(shù)，且f(n)(x)=n!an+(n+1)!an+1(x?x0)+(n+2)!2!an+2(x?x0)2+???，f^{(n)}(x)=n!a_n+(n+1)!a_{n+1}(x-x_0)+\frac{(n+2)!}{2!}a_{n+2}(x-x_0)^2+···，f(n)(x)=n!an?+(n+1)!an+1?(x?x0?)+2!(n+2)!?an+2?(x?x0?)2+???，由此可得fn(x0)=n!anf^{n}(x_0)=n!a_nfn(x0?)=n!an?于是an=1n!f(n)(x0)(n=0,1,2,???)(2)a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)\quad(n=0,1,2,···)\tag{2}an?=n!1?f(n)(x0?)(n=0,1,2,???)(2)這就表明，如果函數(shù)f(x)f(x)f(x)有冪級數(shù)展開式（1），那么該冪級數(shù)的系數(shù)ana_nan?由公式（2）確定，即該冪級數(shù)必為f(x0)+f′(x0)(x?x0)+???+1n!f(n)(x0)(x?x0)n+???=∑n=0∞1n!f(n)(x0)(x?x0)n(3)f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+···+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+···\\=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n\tag{3}f(x0?)+f′(x0?)(x?x0?)+???+n!1?f(n)(x0?)(x?x0?)n+???=n=0∑∞?n!1?f(n)(x0?)(x?x0?)n(3)而展開式必為∑n=0∞1n!f(n)(x0)(x?x0)n,x∈U(x0)(4)\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,x\inU(x_0)\tag{4}n=0∑∞?n!1?f(n)(x0?)(x?x0?)n,x∈U(x0?)(4)冪級數(shù)（3）叫做函數(shù)f(x)f(x)f(x)在點x0x_0x0?處的泰勒級數(shù)，展開式(4)(4)(4)叫做函數(shù)f(x)f(x)f(x)在點x0x_0x0?處的泰勒展開式。由以上討論知，函數(shù)f(x)f(x)f(x)在U(x0)U(x_0)U(x0?)內能展開成冪級數(shù)的充分必要條件是泰勒展開式（4）成立，也就是泰勒級數(shù)（3）在U(x0)U(x_0)U(x0?)內收斂，且收斂到f(x)f(x)f(x)。定理：設函數(shù)f(x)f(x)f(x)在點x0x_0x0?的某一鄰域U(x0)U(x_0)U(x0?)內具有各階導數(shù)，則f(x)f(x)f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是在該鄰域內f(x)f(x)f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)R_n(x)Rn?(x)當n→∞n\to\inftyn→∞時的極限為零，即limn→∞Rn(x)=0,x∈U(x0)lim_{n\to\infty}R_n(x)=0,\quadx\inU(x_0)limn→∞?Rn?(x)=0,x∈U(x0?)在（3）式中，取x0=0x_0=0x0?=0，得f(0)+f′(0)x+???+1n!f(n)(0)xn+???=∑n=0∞1n!f(n)(0)xn(5)f(0)+f'(0)x+···+\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n+···=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n\tag{5}f(0)+f′(0)x+???+n!1?f(n)(0)xn+???=n=0∑∞?n!1?f(n)(0)xn(5)級數(shù)（