江蘇省常州市河心中學高三數(shù)學理模擬試題含解析

江蘇省常州市河心中學高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集，集合（

）A. B. C. D.參考答案：D2.已知命題p：；命題q：函數(shù)有一個零點，則下列命題為真命題的是（

）A．pq B． pq C．q

D．p(q)參考答案：B3.已知復數(shù)在復平面上對應點為，則關(guān)于直線的對稱點的復數(shù)表示是（

）．A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.設不等式組表示的平面區(qū)域為表示區(qū)域Dn中整點的個數(shù)(其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點），則=(

)A.1012

B.2012

C.3021

D.4001

參考答案：C因為，所以令,又為整數(shù)，所以.當x=1時，，有3n個整數(shù)點；當x=2時，，有2n個整數(shù)點；當x=3時，，有n個整數(shù)點.綜上，共有6n個整數(shù)點，所以.則數(shù)列是以為首項，公差為12的等差數(shù)列.故.5.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=ex（x+1），給出下列命題：①當x＞0時，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；②函數(shù)f（x）有2個零點；③f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正確命題的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】①根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可設x＞0，從而有﹣x＜0，從而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），②從而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零點，這便得出①②錯誤，③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，從而判斷出③的正誤，④可分別對x＜0和x＞0時的f（x）求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)符號可判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出f（x）的值域，這樣便可得出?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．【解答】解：①f（x）為R上的奇函數(shù)，設x＞0，﹣x＜0，則：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴故①錯誤，②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3個零點；故②錯誤，③當x＜0時，由f（x）=ex（x+1）＜0，得x+1＜0；即x＜﹣1，當x＞0時，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；得0＜x＜1，∴f（x）＜0的解集為（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；故③正確，④當x＜0時，f′（x）=ex（x+2）；∴x＜﹣2時，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0時，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（﹣2，0）上單調(diào)遞增；∴x=﹣2時，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2時，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；當x＞0時，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減；x=2時，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2時，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域為（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；故④正確，∴正確的命題為③④．故選：C6.已知函數(shù)，給出以下四個命題，其中為真命題的是

（

）A．若，則B．在區(qū)間上是增函數(shù)高考資源網(wǎng)C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位得到

參考答案：C略7.若不等式組，所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則=A． B． C．

D．參考答案：C8.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是

A.

B.

C.

D.參考答案：C9.某班在5男生4女生中選擇4人參加演講比賽，選中的4人中有男有女，且男生甲和女生乙最少選中一個，則不同的選擇方法有

A．91種

B．90種

C．89種

D．86種參考答案：D略10.如圖，四個全等的直角三角形和一個小正方形組成一個大正方形，直角三角形兩直角邊的比為1:2，小正方形的邊長為2，作出小正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機取-點，則此點取自圓內(nèi)部分的概率為(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】求得大正方形的邊長，得到大正方形的面積為5，再求得小正方形為為1，得打內(nèi)切圓半徑為，內(nèi)切圓的面積為，最后根據(jù)面積比的幾何概型，即可求解.【詳解】設直角三角形的直角邊為，則大正方形的邊長為，所以大正方形的面積為5，四個直角三角形的面積和為，所以小正方形的面積為，所以小正方形邊長為1，內(nèi)切圓半徑為，內(nèi)切圓的面積為，由面積比的幾何概型，可得概率為，故選C.【點睛】本題主要考查了幾何概型概率的計算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”，再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，且為第三象限角，則_________.參考答案：【知識點】三角求值C7因為，且為第三象限角，所以，則.【思路點撥】直接利用兩角和的正弦公式解答即可.12.方程有解，則________.參考答案：略13.已知R上的不間斷函數(shù)滿足：（1）當時，恒成立；（2）對任意的都有。奇函數(shù)滿足：對任意的,都有成立，當時，。若關(guān)于的不等式對恒成立，則的取值范圍

。參考答案：14.我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中．如圖，點F0,F1，F(xiàn)2是相應橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2，分別是“果圓”與x，y軸的交點． （I）若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則“果圓”的方程為

;（II）當|A1A2|>|B1B2|時，的取值范圍是

. 參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）15.在直角三角形中，，，點是斜邊上的一個三等分點，則

．參考答案：由題意知三角形為等腰直角三角形。因為是斜邊上的一個三等分點，所以，所以，所以，，所以。16.已知為不等式組所表示的平面區(qū)域，為圓（）及其內(nèi)部所表示的平面區(qū)域，若“點”是“點”的充分條件，則區(qū)域的面積的最小值為_________.參考答案：17.已知數(shù)列滿足a1=1，，則=______.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx+ax﹣x2（0＜a≤1）（I）時，求f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線的方程（II）設函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（s，t）（s＜t），求t﹣s的最大值．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（I）利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率f′（1），再計算f（1），代入點斜式方程化簡即可；（II）令f′（x）＞0可得2x2﹣ax﹣1＜0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系可得s=0，t=，再利用函數(shù)單調(diào)性和a的范圍得出t﹣s的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，又，∴y=f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程為y+=﹣（x﹣1），即．（Ⅱ），令f′（x）＞0得2x2﹣ax﹣1＜0，∵△=a2+8＞0，∴2x2﹣ax﹣1=0有兩根x1，x2（x1＜x2），又，∴（s，t）=（0，x2），則，而在（0，1]上單調(diào)遞增，∴a=1時，取得最大值1，∴a=1時t﹣s取得最大值1．19.在黨的第十九次全國代表大會上，習近平總書記指出：“房子是用來住的，不是用來炒的”．為了使房價回歸到收入可支撐的水平，讓全體人民住有所居，近年來全國各一、二線城市打擊投機購房，陸續(xù)出臺了住房限購令．某市一小區(qū)為了進一步了解已購房民眾對市政府出臺樓市限購令的認同情況，隨機抽取了本小區(qū)50戶住戶進行調(diào)查，各戶人平均月收入（單位：千元，）的戶數(shù)頻率分布直方圖如下圖：其中，贊成限購的戶數(shù)如下表：人平均月收入[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)贊成戶數(shù)4912631

(1)求人平均月收入在[9,13)的戶數(shù)，若從他們中隨機抽取兩戶，求所抽取的兩戶都贊成樓市限購令的概率；(2)求所抽取的50戶的人平均月收入的平均數(shù)；(3)若將小區(qū)人平均月收入不低于7千元的住戶稱為“高收入戶”，人平均月收入低于7千元的住戶稱為“非高收入戶”．根據(jù)已知條件完成如圖所給的2×2列聯(lián)表，并說明能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“收入的高低”與“贊成樓市限購令”有關(guān).

非高收入戶高收入戶總計贊成

不贊成

總計

附：臨界值表50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：.參考答案：(1)；(2)6.4千元；(3)答案見解析.試題分析：（1）根據(jù)均值公式計算即可；（2）住戶共有8戶，贊成樓市限購令的有4戶，從中隨機抽取兩戶，隨機變量的取值可能為0,1,2，分別計算其概率即可；（3）根據(jù)卡方公式計算即可得出結(jié)論.試題解析：（1）千元(1)由直方圖知：月收入在的住戶共有8戶，贊成樓市限購令的有4戶，從中隨機抽取兩戶，設為贊成樓市限購令的用戶數(shù).則所以的分布列為：

012P

（3）依題意，列聯(lián)表如下

非高收入戶高收入戶總計贊成251035贊成51015總計302050

所以不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“收入的高低”與“贊成樓市限購令”有關(guān).20.(12分)有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所得的利潤依次為M萬元和N萬元，它們與投入資金x萬元的關(guān)系可由經(jīng)驗公式給出：(x≥1)．今有8萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，且乙商品至少要求投資1萬元，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分配應是多少？共能獲得多大利潤？參考答案：當t＝時，可獲最大利潤萬元．此時，投入乙種商品的資金為萬元，甲種商品的資金為萬元．21.如圖，在△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），CD、BE分別是△ABC的兩條中線且相交于點G，且|CD|+|BE|=6．（Ⅰ）求點G的軌跡Γ的方程；（Ⅱ）直線l：y=x﹣1與軌跡Γ相交于M、N兩點，P為軌跡Γ的動點，求△PMN面積的最大值．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（Ⅰ）設BE與CD交于G點，則G為△ABC的重心，，根據(jù)橢圓定理為橢圓方程．（Ⅱ）設直線y=x+b，當直線與橢圓相切時，切點即為P，此時三角形面積最大，因為相切，故△=0．列式求得面積最大值，并求得該值．解答： 解：（Ⅰ）設BE與CD交于G點，則G為△ABC的重心，…由于|CD|+|BE|=6，則BG+CG=4，根據(jù)橢圓的定義，故G是以B，C為焦點，長軸長為4的橢圓（除x軸上點外），…即G滿足的軌跡方程為…（Ⅱ）設M（x1，y1），N（x2，y2），由得到7x2﹣8x﹣8=0，得到……設直線y=x+b，當直線與橢圓相切時，切點即為P，此時三角形面積最大，因為相切，故△=064b2﹣28（4b2﹣12）=0，b2=7，（舍）

…h(huán)=||=……備注：也可以用兩平行線距離公式d=點評：本題主要考查了軌跡方程的求解方法和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題．22.已知△ABC的面積S滿足，的夾角為θ．（Ⅰ）求θ