什么是數(shù)學模型

關于什么是數(shù)學模型第1頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三什么是數(shù)學建模數(shù)學建模舉例數(shù)學建模競賽第2頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模數(shù)學建模方法：機理分析和測試分析

第3頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三近幾年數(shù)模競賽題調(diào)整加油站計量器乘公交看奧運眼科醫(yī)院就診方案確定出版社資源配置長江水質(zhì)的評價和預測移植器官的分配體系尋找好的衛(wèi)生保健系統(tǒng)艾滋病的治療方案確定量化評價上海世博會的影響第4頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三模型建模的知識結構范圍廣、學科多：包括工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學、生物學、政治、經(jīng)濟、軍事、社會、管理、信息技術等方面。學科知識非常廣泛：如微分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、圖與網(wǎng)絡、回歸分析、層次分析、量綱分析、機理分析、規(guī)劃論、排隊論、對策論、決策論、插值方法、差分方法、樣條方法、變分方法等優(yōu)化方法，以及計算機的操作和編程。數(shù)學建模所需要知識首先是“廣”，其次才是“精”。

第5頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模引例從包湯圓（餃子）說起第6頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三通常，1公斤面，1公斤餡，包100個湯圓（餃子）

今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問應多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？問題圓面積為S的一個皮，包成體積為V的湯圓。若分成n個皮，每個圓面積為s，包成體積為v。V和nv哪個大?Ssss…Vvvv(共n個)從包湯圓（餃子）說起定性分析V比nv大多少?定量分析第7頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三假設1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣

模型應用若100個湯圓（餃子）包1公斤餡,則50個湯圓(餃子)可以包公斤餡R~大皮的半徑；r~小皮的半徑V是nv是倍1.4從包湯圓（餃子）說起第8頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數(shù)數(shù)學建模的方法和步驟第9頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’第10頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具數(shù)學建模的一般步驟第11頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用數(shù)學建模的一般步驟第12頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐第13頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三開展數(shù)學建模教學的目的1.培養(yǎng)學生的數(shù)學素質(zhì)和創(chuàng)新能力培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力培養(yǎng)學生的想象力培養(yǎng)學生的洞察力培養(yǎng)學生的判斷力培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識第14頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三2.培養(yǎng)學生用數(shù)學的能力，探索數(shù)學教學改革的途徑

數(shù)學教育應該培養(yǎng)學生兩種能力：“算數(shù)學”（計算、推導、證明…）和“用數(shù)學”（實際問題建模及模型結果的分析、檢驗、應用）；

傳統(tǒng)數(shù)學教學體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者；

數(shù)學建模引入教學是不打亂現(xiàn)有體系下的教改實驗。

第15頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模的重要意義電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術領域數(shù)學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地。第16頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學建模計算機技術知識經(jīng)濟如虎添翼第17頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模舉例第18頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三椅子問題第19頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三

把椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍挪動幾次，就可以使四腳著地放穩(wěn)了。這個看來似乎與數(shù)學無關的現(xiàn)象能用數(shù)學語言給出表述，并用數(shù)學工具來證實嗎？問題的提出

第20頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三⑴椅子的四條腿一樣長，椅子與地面接觸處可視為一個點，四腳連線呈正方形。模型假設：⑵地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面。⑶對于椅子腳的間距和椅子腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。第21頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三模型的建立AxA’yBB’CDC’D’設A、C兩腳與地面距離之和為

B、C兩腳與地面距離之和為

其中：第22頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三對任何

所滿足的條件

不妨設

第23頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三建立數(shù)學模型(化為數(shù)學命題）設是的連續(xù)函數(shù)，,

且對任意，有則存在使第24頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三模型求解由介值定理，必存在使即但故即椅子的四條腿能同時著地。假設條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子第25頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三體重問題第26頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三問題的提出問題人體的體重是怎樣隨時間變化的？人體的體重會達到平衡嗎？如何減肥？在一般情況下，人們每天的進食量是相對固定的，所獲得的熱量一部分用于自身的新陳代謝，一部分用于勞動和體育鍛煉，剩余的熱量以脂肪小形式貯藏起來。第27頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三假設以脂肪的形式貯藏的熱量100%地有效，而1kg脂肪含熱量10000卡，模型的假設1每天的進食量是2500卡2每天用于基本新陳代謝(即自動消耗)的熱量是1200卡在健身訓練中，他每天消耗的熱量大約是

16卡/kg乘上他的體重(kg)5體重是時間t的函數(shù)w(t)，假定w(0)=w0

第28頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三模型的建立在時間內(nèi)考慮能量的改變：所以第29頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三模型的求解方程是一個一階線性非齊次方程，其解為：人體的體重能達到平衡狀態(tài)第30頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三結果分析進食量新陳代謝運動量與體重有關的因素：

1進食量2新陳代謝

3運動量減肥的方法：控制飲食調(diào)節(jié)內(nèi)分泌加強運動第31頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三人口模型第32頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.3如何預報人口的增長第33頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長第34頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三指數(shù)增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預測不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)第35頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第36頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)第37頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）

186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第38頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0x(2010)=306.0實際為380.0第39頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模競賽第40頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模競賽的開展情況

20世紀60~70年代進入西方國家的大學（數(shù)學建模教材較集中地出現(xiàn)在70年代）。

20世紀80年代初開始進入我國大學；1987年出版第1本教材（《數(shù)學模型》，姜啟源編，高教社）；80年代末估計30~40所學校開課（數(shù)學系，講座）。

1985年美國大學生數(shù)學建模競賽開始舉辦，1989年我國大學生開始參加這項競賽。

1992年我國大學生數(shù)學建模競賽開始舉辦，1999年有26省（市、自治區(qū)）460所學校參加。數(shù)學建模競賽與教學相互促進，估計目前開課的學校約400所（各專業(yè)，必修課，選修課，講座）。第41頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三全國大學生數(shù)學建模競賽

1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月)年份?。ㄊ小⒆灾螀^(qū)）數(shù)院校數(shù)隊數(shù)1992107931419931610142019942119686719952325912341996253371683199726373187419982640021031999264602241/4162000285172602/6082001285293081/7802002284448全國高校規(guī)模最大的課外科技活動第42頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三全國大學生數(shù)學建模競賽

1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月)年份省（市、自治區(qū)）數(shù)院校數(shù)隊數(shù)200331637540620043272468812005327958492200632846998520073296911742200832102312846200933113715042201033119717317全國高校規(guī)模最大的課外科技活動第43頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學建模競賽培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神，提高學生綜合素質(zhì)競賽內(nèi)容：題目由工程技術、管理科學中的實際問題簡化而成，沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。競賽形式：三名大學生組成一隊，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計算機、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時間內(nèi)分工合作完成一篇論文。評獎標準：假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結果的正確性和文字表述的清晰程度。大學階段難得的一次近似于“真刀真槍”的訓練，模擬了畢業(yè)后工作時的情況，既豐富、活躍了廣大同學的課外生活，也為優(yōu)秀學生脫穎而出創(chuàng)造了條件。第44頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三遼寧1994-2008參賽院校數(shù)量統(tǒng)計年份19941995199619971998199920002001數(shù)量410111110152025年份20022003200420052006200720082009數(shù)量27303434354041第45頁，講稿共51頁，2023年5月2日，星期三遼寧1994-2008參賽隊數(shù)量統(tǒng)計年份1994199519961997199