初中數(shù)學(xué)數(shù)與式模塊1-4整式講義（二）（含答案解析）

整式（二）題型練

題型一同底數(shù)嘉的乘法

（1）同底數(shù)基的乘法法則：同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

am，an=am+?（加,〃是正整數(shù)）

mn+

（2）推廣：a-a"-aP^a'^P（;?,n,p都是正整數(shù)）

在應(yīng)用同底數(shù)基的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,3與（/〃）

%（x—y）2與G—y）3等；②?？梢允菃雾検剑部梢允嵌囗検剑孩郯凑者\算性質(zhì)，只有

相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

例1.計算：計算的結(jié)果等于

【解析】

解：小?/=/+2=爐

變式

工.已知2x=8,則2x+3的值為.

【答案】11

【解析】

【分析】直接代入求值即可.

【詳解】解：，.2=8,

.,,2x4-3=8+3=11,

故答案為：11.

【點睛】此題主要考查了代數(shù)式求值，熟練掌握含字母的式子求值的方法是他題的

關(guān)鍵.

題型二募的乘方

塞的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（a"1）"=型"（加，〃是正整數(shù)）

注意：

①基的乘方的底數(shù)指的是寨的底數(shù)；

②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是嘉的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)累的乘法中

“指數(shù)相加”的區(qū)別.

例2.計算：(/)2=—.

【解析】解:(/)2=儼

變式

2.已知加+3〃—4=0,則2"'.8"的值為.

【答案】16

【解析】

【分析】用n表示出m,得罐=4一3〃，將m代入到2叫8"即可求解.

【詳解】解：???加+3〃-4=0,

.,.加=4-3〃，

2"'-S"=2"'.2"=24-3,,?23/'=24=16.

故答案為：16

【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，同底數(shù)塞的乘法，正理解同底幕的乘法法則是

解題的關(guān)鍵.

題型三積的乘方

積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

(M)"=曖〃("是正整數(shù))

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘

方的意義，計算出最后的結(jié)果.

例3.計算(Ny)3的結(jié)果等于.

【解析】

解：(x2y)3—(X2)

變式

3.am=2,b'"=5，貝U(⑹"=.

【答案】工。.

【解析】

【分析】根據(jù)(必)”=優(yōu)'/,將4，=2,〃"=5代入求解即可.

【詳解】解：(aby=”

?/a'"=2,b"'=5

：.(abS=a"'bm=2?510,

故答案是：10.

【點睛】本題考查了積的乘方的逆運算，熟悉相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

題型四同底數(shù)嘉的除法

同底數(shù)基的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

(aWO,加，〃是正整數(shù)，機>〃)

①底數(shù)。力0,因為0不能做除數(shù)：

②單獨的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0;

③應(yīng)用同底數(shù)幕除法的法則時，底數(shù)“可是單項式，也可以是多項式.

例4：計算：加+加=.

【解析】

解：i=m2

變式

4.已知3'=3,3'=6,則32f的值為?

3

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)幕的乘方運算及同底數(shù)幕的除法法則，同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指

數(shù)相減即可求出答案.

【詳解】解：321=>=苴

3〉3V

?.?3'=3,3>'=6,

22

.32X-,_(3')_3_3

3y62

3

故答案是：—.

2

【點睛】本題考查了塞的乘方運算及同底數(shù)辱的除法法則的逆運算，解題的關(guān)鍵是:

掌握累的乘方運算及同底數(shù)基的除法法則.

題型五單項式乘單項式

運算性質(zhì)：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式

里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

注意：

①在計算時，應(yīng)先進行符號運算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；

②注意按順序運算；

③不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；

④此性質(zhì)對于多個單項式相乘仍然成立.

例5.計算：—3a*2ab=.

【解析】

解：-3a?2ab

=(—3X2),(a*a)*b

——6a2b.

變式

5.已知單項式3x2^與-5/產(chǎn)的積為wx4/"那么/M-〃=____.

【答案】-20.

【解析】

【分析】將兩單項式相乘后利用待定系數(shù)即可取出m與n的值.

【詳解】解：3x2y3x(-5x2y2)=-15x4y5,

/.mx4yn=-15x4y5,

??-15,n^5

.*.m-n=-15-5=-20

故答案為-20

【點睛】本題考查單項式乘以單項式，解題關(guān)鍵是熟練運用整式的乘法法則，本題

屬于基礎(chǔ)題型.

題型六單項式乘多項式

(1)單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的

每一項，再把所得的積相加.

(2)單項式與多項式相乘時，應(yīng)注意以下幾個問題：

①單項式與多項式相乘實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式；

②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；

③注意確定積的符號.

例6:計算2a(5a+3a2)的結(jié)果是().

A.10a+6a3B.10a2+6a3C.10iz2+3a3D.5a2+6a2

【解析】

解：2a(5。+3涼)

=10。2+6加

變式

(o,計算：6a~一分)—2。力((7—b).

【答案】-4a2b2

【解析】

【分析】利用乘法分配律展開括號，再合并同類項.

【詳解】原式=2a3b-6a2b2-2a3b+2a2b2=-4a2b2.

【點睛】此題考查整式的混合運算，掌握單項式乘以多項式法則，去括號法則是解

題的關(guān)鍵.

題型七多項式乘多項式

(1)多項式與多項式相乘的法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積

相加.

(2)運用法則時應(yīng)注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；

②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)

之積.

例7:計算(a+3)(6—2)

【解析】

解：(。+3)(6—2)=ab—2a+3b—6

變式

7.已知：實數(shù)〃?，〃滿足：m+n=3,mn=4,則(1+m)(1+n)的值等于.

【答案】8

【解析】

［分析］將(1+加)(1+〃)按照多項式乘以多項式展開得1+加+〃+加〃在將機+〃的值

和〃?〃的值代入即可求解.

【詳角單】V(l+m)(l+M)=l+m+n+mn

又；加+〃=3,=4

(l+m)(l+M)=l+3+4=8

故答案為：8.

【點睛】本題考查了多項式乘以多項式的運算，熟練掌握其運算法則以及整體代入

得思想是解題關(guān)鍵.

題型八平方差公式

(1)平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

(。+6)(a—h)=a2~b2

(2)應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；

②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；

③公式中的。和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；

④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多

項式法則簡便.

例8:計算(y+2)⑶-2)的結(jié)果等于—.

【解析】

解：(y+2)(,y—2)=y2~4

變式

8.若左=］,a-b=y,則的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】由次一按=1可得(。+6)(a-b)=1,結(jié)合，“一求解即可.

【詳解】a2-b2=1,即(.a+b)(a-b)=1,

因為a—b=y,

所以a+b=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，運用平方差公式計算時，關(guān)鍵要找相同項

和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方.

題型九平方差公式的幾何背景

開，拼成右邊的長方形，根據(jù)圖形的變化過程寫出正確的等式是()

a

A.a2~b2=(a+b)(。-6)B.a2~ab=a(〃-6)

C.a2—b2=(a—b)2D.a2—2。。+〃=(a—b)2

【解析】

解：第一個圖形陰影部分的面積是次一〃,

第二個圖形的面積是（a+b）（a-b）.

.?.。2—b2=（。+6）（Q-b）.

變式

<?.從邊長為。的正方形中剪掉一個邊長為6的正方形（如圖1）,然后將剩余部分

拼成一個長方形（如圖2）.

（1）上述操作能驗證的等式是.（請選擇正確的選項）

A.ci2-b2=(Q+b)(Q-/7)

B.a1-2ab-^-b2=(a-6,

C.a2+ah=a(a+b)

（2）若/=16,a+/>=8,求。一方的值；

（3）用你選的等式進行簡便計算：199992-199982

【答案】（1）A；（2）。-6=2；（3）39997.

【解析】

【分析】（1）圖1剩余部分的面積拼成了圖2的長方形，所以面積相等，根據(jù)面積

相等列出等式即可；

（2）根據(jù)平方差公式進行計算即可；

（3）根據(jù)（1）的公式進行計算.

【詳解】解：（1）圖1得剩余部分的面積為：a2-b2,

圖2把剩余部分拼成一個長方形，長為（。+9，寬為（。-力），面積為（。+與（a-9，

/.a2-b2=（a+6）（a-6）.

故選：A.

(2)Va+b=S,

/.a1-b2=(a+b\a-b)=8(〃?b)=16,

:?a-b=2；

(3)199992—199982

=(19999+19998X19999-19998)

=39997?1

=39997.

【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型十完全平方公式

(1)完全平方公式：(a+h)2=a2+2ab+b2

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

(2)完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，

其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算

符號相同.

(3)應(yīng)用完全平方公式時，要注意：

①公式中的a,6可是單項式，也可以是多項式：

②對形如兩數(shù)和(或差)的平方的計算，都可以用這個公式：

③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式.

例10.利用完全平方公式計算：(機+3).

【解析】

解：(w+3)2

=m2+2X3-m+32

=m2+6m+9

變式

1O.若(x+y)2=3,刈=；,則(x-y)2=—.

【答案】1

【解析】

【分析】利用完全平方和公式和完全平方差公式展開，由條件求出y+/的值，即

可求出答案.

【詳解】解：(x+y)2=x?+2盯+/=3,

1

?.?孫=],

x?+j廣=3-2xy=3—1=2,

v(x-_v)2-x2+y2-2xy

=2c—2cx—1

2

=1

故答案是：1.

【點睛】本題考查了完全平方和與差的公式，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握完全平方和

與差的公式.

題型十一完全平方公式的幾何背景

(1)運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對

完全平方公式做出幾何解釋.

(2)常見驗證完全平方公式的兒何圖形

(a+6)2^a2+2ab+b2(用大正方形的面積等于邊長為。和邊長為6的兩個正方形與兩個

長寬分別是。，6的長方形的面積和作為相等關(guān)系)

例11.如圖，用不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積，可以表示下面哪個等式()

A.(a+b)2—a2+2a6+Z>2B.(a+b)(a—b)—a2—b2

C.(a—b)2=a2—2ab-\-b2D.a(a+b)=a2+ab

b

b\

【解析】

解：陰影部分面積：方法一：(〃-b)2,

方法二：大正方形面積為：標，

小正方形面積為加，

2

兩個矩形面積為2(a—h)h=2ah—2hf

22222

，陰影部分面積為:a~b—^2ab~2b)=a—2ab+bf

/?(。一b)2=a2-2ab~\~b2

變式

工工.(1)如圖，用四塊完全相同的長方形拼成正方形，用不同的方法，計算圖中陰影

部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么?(用含有X、y的等式表示)_______________________；

(2)若(3x—2y)2=5,(3x+2y>=9,求孫的值；

(3)若2x+y=5,中=2,求2x—y的值.

【答案】(1)4xy=(x+y)2-(x-y)2；(2)盯=工；(3)2x-y=+3.

6

【解析】

【分析】(1)陰影部分的面積可以由邊長為x+y的大正方形的面積減去邊長為x-y

的小正方形面積求出，也可以由4個長為x,寬為y的矩形面積之和求出，表示出

即可；

(2)先利用完全平方公式展開，然后兩個式子相減，即可求出答案；

(3)利用完全平方變形求值，即可得到答案.

【詳解】解：(1)圖中陰影部分的面積為：

4xy=(x+y)2-(x-y)2；

故答案為：4xy=(x+y)2-(x-y)2；

(2)?.?(3x-2y)2=5,

9x2-I2xy+4y2=5①，

,.?(3尤+2方=9,

9x2+12xy+4y2=9②，

由②-①，得

24xy-9-5=4,

1

-6

(3)V2x+y=5,xy=2,

(2x+y曰=4x2+4xy+y2=25,

：.4x2+/=25-4x2=17,

/.(2x-y)2=4x2+/-4xy=17-4x2=9：

2x-y-±3；

【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，準確識圖，以及完全平方公式變形

求值，根據(jù)陰影部分的面積的兩種不同表示方法得到的代數(shù)式的值相等列式是解題

的關(guān)鍵.

題型十二完全平方式

完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式4如果存在另一個實系數(shù)整式B,

使4=不，則稱力是完全平方式.

a2+2ab+b2—(a±6)2

完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方.另一種是完

全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方.算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末

項乘積的2倍中間放，符號隨中央.(就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，

再乘以2,然后把這個數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個數(shù)以前一個數(shù)間的符號隨原式中間的

符號，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用一，后邊的符號都用+)”

例12.若關(guān)于x的二次三項式x2+丘+81是完全平方式，則上的值是一.

【解析】

解：《+履+81是關(guān)于x的完全平方式,

**-k=i18,

解得：〃=±18

變式

12.多項式9/+1加上一個單項式后，使它成為一個整式的完全平方，那么加上的

單項式可以是()

8]

A.±6xB.-1或一￡*C.-9x2D.±6x或一1或一9x2

4

或融

4

【答案】P

【解析】

【分析】根據(jù)完全平方公式計算解答.

【詳解】解：添加的方法有5種，分別是：

添加6x,得9x?+l+6x=(3x+l)2；

添加-6x,得9x2+l-6x=(3x-1)2；

添加-9x2,得9x2+l-9x2=l2；

添加-1,得9x2+1-1=(3x)2,

添加)V,得見/+9/+1=0》+1],

4412)

故選：D.

【點睛】此題考查添加一個整式得到完全平方式，熟記完全平方式的特點是解題的

關(guān)鍵.

題型十三整式的除法

整式的除法：

(1)單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)基分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式

里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式.

關(guān)注：從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟：①系數(shù)相除；②同底數(shù)幕相除;

③對被除式里含有的字母直接作為商的一個因式.

(2)多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.

說明：多項式除以單項式實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式.多項式除以單項式的結(jié)果仍是

一個多項式.

例13.計算：(1)24a3h2-i-3ab=；(2)(12/+6涼一3。)+3a=.

【解析】解：(1)24a3"3ab=8形；

(2)原式=4q2+2a—1

變式

13.已知7x3y2與一個多項式之積是28x4y2+7x4y3-21x3y2,則這個多項式是.

【答案】4x+xy-3

【解析】

【分析】根據(jù)7x3y2與一個多項式之積是28x，y2+7x4y3-21x3y2,用28x,y2+7x4y3-

21x3y2除以7x3y2,用多項式除以單項式的法則，即可得到答案.

【詳解】解：?.,7x3y2與一個多項式之積是28x4y2+7x，y3-21x3y2,

(28x4y2+7x4y3-21x3y2)4-7x3y2=(4x+xy-3)(7x3y2)4-7x3y2

=4x+xy-3

【點睛】本題主要考查了多項式的除法、多項式除以單項式的法則，關(guān)鍵是根據(jù)已

知條件得到這個多項式是(28x4y2+7x4y3-21x3y2)-4-7x3y2.

題型十四整式的混合運算

(1)有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)

的混合運算順序相似.

(2)“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速

地解決相關(guān)問題，此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來.

例14.計算：(-a)3'a2+(2a4)24-a3

【解析】

解：(1)原式=—。3?42+408+“3

=-/+4/

=3/

變式

14.計算：(y+3)(y—3)—(2y—1)2

［答案］-可+4夕，。

【解析】

【分析】利用平方差公式，完全平方公式計算，在合并同類項即可求解.

［詳解］(y+3)(y-3)-(2y-l)2

=y2_9_紂2+4y_］

=—3y2+4y_］0

【點睛】本題考查了完全平方公式，平方差公式，熟練掌握其運算法則是解題關(guān)鍵.

題型十五整式的混合運算一化簡求值

先按運算順序把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的

混合運算順序相似.

例15.計算：先化簡，再求值：(x—2y)2—x(x—4y),其中，x=\,y=—1

解：原式=x?—4xy-\-4y2—x2+4rv

=4產(chǎn)，

當(dāng)x=l,y=l時，

原式=4X1=4

變式

IS.已知一+》_1=0,求代數(shù)式(3x+l『—x(x—2)的值

【答案】9

【解析】

【分析】根據(jù)完全平方公式展開所求代數(shù)式，把已知式子代入求解即可；

【詳解】解：(3X+12)—X(X—2),

=9x2+6x+l—x2+2x>

=8f+8x+l，

x2+x-1=0，

X2+X=1,

/.原式=8(x2+x)+l=8xl+l=9.

【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，結(jié)合完全平方公式化簡是解題的關(guān)鍵.

題型十六因式分解的意義

1、分解因式的定義：

把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做

分解因式.

2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形

式.因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式.例如：

x2-1.e<x+i)<x-i)

---於犬痛必

3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗.

例16.

16.下列由左邊到右邊的變形，是因式分解的有(填序號)

①a(x+y)=ax+ay^

②10x2—5x=5x(2x—1)；

③1—4y+4=(y—2)2；

④產(chǎn)一16+3f=(f—4)(z+4)+3f.

【答案】②③.

【解析】

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：①a(x+y)=ax+ay,等式從左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于

因式分解，故不符合題意；

②10x2-5x=5x等式從左邊到右邊的變形屬于因式分解，符合題意；

(3)y.4y+4=(y-2)2,等式從左邊到右邊的變形屬于因式分解，符合題意；

④理一16+3片(/-4)(/+4)+33等式從左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故不符合

題意；

即等式從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的有②③，

故答案為：②③.

【點睛】本題考查了因式分解的定義，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形

式，叫因式分解.

變式

17.下列等式中，從左到右的變形屬于因式分解且分解徹底的是()

A.ai-\-2a1+a=a(a+1)2B.a{a-b)=a2-ah

C.x4-1=(x2+1)(x2-1)D.ax2-abx+a=a(x2-bx)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)因式分解的定義和因式分解的方法逐個判斷即可；

【詳解】A、從左到右的變形屬于因式分解且分解徹底，故本選項符合題意；

B、從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

C、從左到右的變形屬于因式分解但分解不徹底，故本選項不符合題意；

D、從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了因式分解的定義和因式分解的方法，注意：把一個多項式化成

幾個整式的積的形式，叫因式分解；

題型十七公因式

1、定義：多項式機,中，各項都含有一個公共的因式小，因式，”叫做這個多項

式各項的公因式.

2、確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：

①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；

②定字母，即確定各項的相同字母因式(或相同多項式因式)；

③定指數(shù)，即各項相同字母因式(或相同多項式因式)的指數(shù)的最低次塞.

例17.多項式x3y一9的公因式是

【解析】

解：多項式X，一孫的公因式是個.

變式

18.多項式3a26—6。%各項的公因式是.

【答案】3/6

【解析】

【分析】根據(jù)公因式的尋找方法：先確定系數(shù)：最大公約數(shù)，再找同底的幕：指數(shù)

最低的；即可確定答案.

【詳解】V3a2h-6a3h=3a2b(\-2a),

...公因式為3a，.

故答案為：3a%.

【點睛】本題考查公因式的確定方法：如果各項都是單項式，先確定系數(shù)：最大公

約數(shù)，再找同底的累：指數(shù)最低的；如果是多項式，就需要先因式分解.

題型十八因式分解一提公因式法

1、提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項

式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具體方法：

(1)當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相

同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的：取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的.

(2)如果多項式的第一項是負的，一般要提出“一”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正

數(shù).

提出“一”號時，多項式的各項都要變號.

3、口訣：找準公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶.

4、提公因式法基本步驟：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并確定另一個因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；

②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式,

所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的

剩下的另一個因式；

③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

例18.因式分解：3mx—9my=

【解析】

解：3加x—9〃少=3m(x-3y).

變式

工乞因式分解：

(1)一20〃一15ax

(2)(a-3)2-(2a-6)

【答案】(1)-5a(4+3x)；(2)("3)(』-5)

【解析】

【分析】(1)直接提取公因式-5?進而得出即可；

(2)直接提取公因式(a-3),進而得出即可.

【詳解】解：(1)一20。-15ax=-5ax4-5a,3x=-5a(4+3x)；

(2)((a-3)2-(2(7-6)=(a-3)2-2(a-3)=("3)(a-3-2)=(a-3)(a-5)

【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確提取公因式得出是解題關(guān)鍵.

題型十九因式分解一運用公式法

1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2=(a+6)(“一/>)；

完全平方公式：a2+2ab+b2—(a±6)2；

2、概括整合：

①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且

符號相反.

②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或

式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍.

3、要注意公式的綜合應(yīng)用，分解到每一個因式都不能再分解為止.

例19.下列分解因式不正確的是()

A.a4+l-2a2=(°-1)2(a+1)28.4產(chǎn)一1=(4y+l)(例一1)

9131

C.—x1-x-\—=(—X——)2D.—16+a4=(t72+4)(a-2)(6f+2)

4923

【解析】

解：A.a4+1—2a2

=(a2)2—2次+1

=(a2—1)2

=[(a+1)(a-1)]2

=(a+1)2(a-1)2,正確，不符合題意；

B.4/-1

=(2y)2—12

=(2y+l)(2y—1),錯誤，符合題意；

9,1

C.-x2—xd—=

49

,3、，31.1,

=(-x)2—2*—x*—F(—)2

2233

31

=(―x——)2,正確，不符合題意；

23

D.—16+a4

=(次)2-42

=(a2+4)(tz2—4)

—(4+4)(a+2)(a—2),正確，不符合題意.

變式

2.0.因式分解：(a2+4)2-16a2.

【答案】(a+2)2(a—2尸

【解析】

【分析】原式利用平方差公式化簡，再利用完全平方公式分解即可.

【詳解】原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a)

=(a+2)2(a-2)2.

故答案為值+2尸(a-2)2.

【點睛】此題考查因式分解-運用公式法，掌握運算法則是解題關(guān)鍵

題型二十因式分解一十字相乘法

借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相

乘法.

①N+(p+g)x+pq型的式子的因式分解.

這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；

可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：

x2+(p+夕)x+pq=(x+p)(x+g)

②加十區(qū)+c(aWO)型的式子的因式分解

這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)。分解成兩個因數(shù)0,42的積m?〃2,把常數(shù)項。分解成兩

個因數(shù)C2的積CJC2,并使正好是一次項6,那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx

+c=(?ix+ci)(3+c2)?

例20?分解因式：x2+3x—10=.

解：原式=(x—2)(x+5).

變式

21.分解因式：(p-4)(p+l)+6.

【答案】(P—1)(P—2).

【解析】

【分析】先去括號，再用十字相乘法因式分解.

【詳解】解：原式=p2-3p+2

=(pT)(P-2)

【點睛】考核知識點：因式分解.掌握十字相乘法是關(guān)鍵.

題型二十一因式分解一分組分解法

1、分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分

組后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式.

2、對于常見的四項式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①〃x+ay+bx+by

=x(o+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

@2xy-x2+1-y2

=-Cx2-2xy+y1)+1

=1—Cx-y)2

=(1+x~y)(1—x+y)

例21.因式分解：9~x2+2xy—y2

W：9^x2+2xy—y2

=9—(x2-2砂+產(chǎn))

=9—(x—y)2

=(3+x—y)(3—x+y).

變式

22.觀察“探究性學(xué)習(xí)”小組的甲、乙兩名同學(xué)進行的分解因式：

甲：x1—xy+^x—^y

=(x2—盯)+(4x—4y)(分成兩組)

=x(x—y)+4(—y)(直接提公因式)

=(x-y)(x+4).

乙：W—R—4+2bc

=必—g2+c2—26c)(分成兩組)

=/一(方一c)2(直接運用公式)

=(a+b—c)(a—b—c).

請你在他們的解法的啟示下，完成下面的分解因式：

(1)機3—2加2-4m+8；(2)x2—2xy+y2—9.

【答案】⑴(口一2)2(力+2);(2)(x—戶3)(x—尸3).

【解析】

【分析】(1)將原式進行分組，再分別因式分解即可求解；

(2)先利用完全平方公式把前面部分因式分解，再利用平方差公式進行因式分解.

【詳解】(1)原式=(加?2m2)+(—4〃?+8)

=/n2(/n-2)—4(m—2)

=(加一2)(加2—4)

=(加一2>(加+2).

⑵原式=(x2—2xy+y2)—9

=(x-y)2-9

=(x-尹3)(x—y—3).

【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵根據(jù)材料靈活使用提取公因式法與公

式法進行因式分解.

題型二十二因式分解的應(yīng)用

1、利用因式分解解決求值問題.

2、利用因式分解解決證明問題.

3、利用因式分解簡化計算問題.

【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用

1.因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用

解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整

體代入.

2.用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是

其中的一部分.

例22.若x+2y=6,xy=-3,則2￥2夕+4?爐=_.

解：*.'x+2j)=6,xy——3,

2^y+4x)^=2xy(x+2y)=2X(—3)X6=-36

變式

222

23若AZBC的三邊長是〃、b、c,^.a+b+c=ab+bc+ac，則這個三角形

形狀是角形.

【答案】等邊

【解析】

【分析】先等式兩邊同乘以2,再移項，利用完全平方公式，即可得到答案.

【詳解】a?+〃+c?=ab+bc+ac，

*,-2a2+2b2+2c°=2ab+2bc+2ac>

2a2+2b~+2c2-2ab-2bc-2ac=0，

(iz-b)-+(a—c)_+(b—c)-=0,

22

V(a-6)>O,(a-c)>0,(6-C)2>0,

(a-bf=0,(a-c)?=0,(6-c)2=0，

a=b=c,

這個三角形是等邊三角形，

故答案是：等邊

【點睛】本題主要考查完全平方公式，偶數(shù)次幕的非負性以及等邊三角形的定義，

熟練掌握完全平方公式，是解題的關(guān)鍵.

實戰(zhàn)練

24.已知2x+3y-5=0,則9“27>'的值為.

【答案】243

【解析】

【分析】先將9“27y變形為32x+3y,然后再結(jié)合同底數(shù)基的乘法的概念和運算法則進

行求解即可.

【詳解】V2x+3y-5=0,

2x+3y=5，

.?.9x?27y=32x'33y=32x+3y=35=243.

故答案為243.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握同底數(shù)哥乘法的概

念和運算法則.

25.已知/"=3,則（第如）2_（X2）2”的值為.

【答案】18

【解析】

【分析】根據(jù)哥的乘方的公式的逆用，對指數(shù)進行變形，然后整體帶入求值即可.

【詳解】解：（”）2-（x2）2"

=（X2"）3-（X2"）2

=33-32

=27-9

=18.

故答案為：18.

【點睛】本題考查了幕的乘方，會對公式進行逆用是解題的關(guān)鍵.

26.(-0.25)100X4,01=.

【答案】4

【解析】

【分析】逆用積的乘方進行求解即可.

【詳解】解：(一0.25嚴、4皿

=(-1)IOOX4,00X4

=(——x4)100x4

4

=(一1四。x4

=1x4

=4.

故答案為：4.

【點睛】此題主要考查了積的乘方的逆用，掌握住積的乘方運算公式是解答此題的

關(guān)鍵.

27.已知a-6=14,ab=6,則/+〃=.

【答案】208

【解析】

【分析】將。―6=14兩邊平方，即可得出a2_2ab+〃=196,再根據(jù)M=6,即可

求出/+〃的值.

【詳解】'：a-h=l4,

...(4-6)2=196,BPa2-lab+h2=196>

'/ab=6,

?*./+/-2X6=196，

/+/=196+12=208.

故答案為：208.

【點睛】本題考查完全平方式和代數(shù)式求值.掌握完全平方公式并能夠進行靈活變

形是解答本題的關(guān)鍵.

28.我們知道，同底數(shù)幕的除法法則為曖+優(yōu)=產(chǎn)〃(其中存0,相，〃為正整數(shù)),

類似地，我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)〃?，〃的一種新運算：/(加-〃)=/(/?)+/(〃)其

中/(加)，/(〃)都為正數(shù))，請根據(jù)這種新運算填空：

(1)若/(2)=4,/(3)=8,則/(I)=；

(2)若/(2000)=k,/(2)=4,那么/(500)=(用含左的代數(shù)式表示,

其中k>0).

【答案】CD.2②.

【解析】

【分析】(1)由新運算法則直接求解；

(2)同過新定義的運算法則，推導(dǎo)出前幾項的結(jié)果，同過前幾項發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)

律來解答.

【詳解】解：(1)根據(jù)新運算:/(〃?—〃)=/(〃?)+/(〃)，

/(I)=/(3-2)=/(3)+/(2)=8+4=2,

故答案是：2.

(2)v/(1998)=/(2000-2)=-4=-

4

A

/(1996)=/(2000-2x2)=/(l998-2)=

42A

/(1994)=/(2000-2x3)=/(1996-2)=

43

/(500)=/(2000—2x750)=/(502—2)=擊

根據(jù)規(guī)律得：

/'(500)=3，

故答案是：

【點睛】本題考查了新定義運算法則，解題的關(guān)鍵是：理解新定義的運算法則，從

運算中找到規(guī)律，用來解答.

24.觀察下列各式：(x-l)(x+l)=x2-1；(x-l)(x2+x+1)=x3-1；

(x-l)(x3+X2+x+1)=x4-1；(x-l)(x4+X3+X2+X+1)=x5-1....;則

22。。8+22。。7+22006+…+2?+2+1=.

【答案】22009-1

【解析】

【分析】觀察其右邊的結(jié)果：第一個是X2-1;第二個是X3-1;…依此類推，得出第

n個的結(jié)果，從而得出要求的式子的值.

【詳解】根據(jù)給出的式子的規(guī)律可得：(xT)(xn+x」l+...x+l)

則22008+22007+22006+....+22+2+1

=(2-1)X(22008+22007+22006+……+22+2+1)

=22009—1；

故答案為：22。。9T.

【點睛】本題考查了平方差公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：右邊X的指數(shù)正好比前邊X的最高指

數(shù)大1是解題的關(guān)鍵.

3(2.下列計算正確的是()

A.a3-i-a2=aB.a3*a2=a6C.a3+a2=a5D.(—a3)2=a5

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用同底數(shù)累的乘除法、合并同類項以及積的乘方和幕的乘方運算法

則進行計算即可判斷.

232

【詳解】解：A.a^a=a-=a,計算正確，故此選項符合題意；

B././=/+2=/，原選項計算錯誤，故不符合題意；

325

C.a+a^a,原選項計算錯誤，故不符合題意；

D(一/)2=d,原選項計算錯誤，故不符合題意；

故選：A

【點睛】此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除法、合并同類項以及積的乘方和累的乘方

運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解答此題的關(guān)鍵.

”.要使(犬-X+5)(2--G-4)展開式中不含/項，貝丑的值等于()

A.-6B.6C.14D.-14

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的法則進行展開，然后按照x的降序排列，使x的

二次項的系數(shù)為0即可.

【詳解】解:(x2-x+5)(2x2-ax-4)

=2x4-ojc3-4x2-2x3+ax2+4x+10x2-5ax-20

=2x4-(a+2)x3+(a+6)x2+(4-5a)x-20,

???展開式中不含x2項，

.*.a+6=0,

a=-6,

故選：A.

【點睛】本題考查多項式乘以多項式，掌握多項式乘以多項式的計算法則是正確解

答的前提，令x的二次項的系數(shù)為0是正確解答的關(guān)鍵.

32.在下列計算中，不能用平方差公式計算的是()

A.(x3-y3)(x3+y3)B.(m—n)(—m+n)

C.(—a—b)(a—b)D.(c2-d2)(d2+c2)

【答案】8

【解析】

【分析】方差公式的式子的特點：兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完

全相同，另一項互為相反數(shù).

【詳解】A.(x3-y3)(x3+y3),有相同的項和互為相反數(shù)的項，故能用平方差公式計算;

B.(m-n)(—m+n),沒有相同的項，兩項都是互為相反數(shù)的項，故不能用平方差公

式計算；

C.(-a-b)(a-b),有相同的項和互為相反數(shù)的項，故能用平方差公式計算；

D.(c2-d2)(d2+c2),有相同的項和互為相反數(shù)的項，故能用平方差公式計算；

故選B.

【點睛】本題主要考查平方差公式，(a+b)(a-b)=a2-b2,其特點是：①兩個二項式相

乘，②有一項相同，另一項互為相反數(shù)，③a和8既可以代表單項式，也可以代表

多項式.熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.

33.如果自然數(shù)a是一個完全平方數(shù)，那么與a之差最小且比a大的一個完全平方

數(shù)是（）

A.a+1B.a2+lC.a2+2a+lD.a+2\[a+1

【答案】P

【解析】

【分析】當(dāng)兩個完全平方數(shù)是自然數(shù)時，其算術(shù)平方根是連續(xù)的話，這兩個完全平

方數(shù)的差最小.

【詳解】解：?.?自然數(shù)a是一個完全平方數(shù)，

???a的算術(shù)平方根是血,

.?.比a的算術(shù)平方根大1的數(shù)是6+1,

這個平方數(shù)為：（6+1）F+26+1.

故選D.

【點睛】解此題的關(guān)鍵是能找出與a之差最小且比a大的一個完全平方數(shù)是緊挨著

自然數(shù)及后面的自然數(shù)：夜+1的平方.

34.下列計算正確的是（）

A.x2+x3=x5

B.3）（mn+3）=mn2—9

C.（―3狀）24-（x2y）=9y3

D.（-x—y）2=x1-2xy-\-y1

【答案】c

【解析】

【分析】利用同類項的概念，平方差公式，單項式乘方和單項式除以單項式法則以

及完全平方公式逐一判斷即可.

【詳解】A./與Y不是同類項，不能合并，此選項錯誤；

B.（加.一3）（加〃+3）=加%2-9,此選項錯誤;

C.(-3xy2y^x2y)=9x2y4^x2y=9y3,此選項正確；

D.(-x-y)2=(x+j^)2=x2+2xy+y2,此選項錯誤；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握整式的混合運算順序

及相關(guān)運算法則，平方差公式，完全平方公式.

55.我們知道，同底數(shù)幕的乘法法則為"".優(yōu)=優(yōu)』(其中存0,小〃為正整數(shù))，

類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)相、〃的一種新運算：h(/?+?)=h(m)?h(〃)；

比如h(2)=3,貝！Jh(4)=h(2+2)=3*3=9,若h(2)=k(存0),那么h(2〃)

?h(2020)的結(jié)果是()

A.2k+2021B.2i+,010C.kn+'0l°D.2022k

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)定義的新運算法則，將原式進行變形，再根據(jù)同底數(shù)嘉的乘法運算法

則計算求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

久2〃)?〃(2020)=hQn+2020)=/?[2(〃+1010)]

=h(2+2+2+2+…+2),

有Q+1010)個2相加,

.-./?(2?)-/i(2O2O)=F+,010,

故選：C.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，定義新運算，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握運算

的性質(zhì)和法則.

36.若(a2nlZ>2?)=a5b3,則求的值.

14

【答案】y.

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則把左側(cè)化簡，然后列出關(guān)于m和n的方程組求解

即可.

【詳解】解：(am+'bn+2)(a2"''b2")=an'+'^a2"''xbn+2^b2n

—I+2〃-1xb〃+2+2〃Q〃?+2%3〃+2=05〃

(m+2n-5

3〃+2=3

,113

解得：?=j,m=—,

14

m+n=—.

3

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，以及二元一次方程組的解法，根據(jù)題意列出

方程組是解答本題的關(guān)鍵.

37.已知〃為正整數(shù)，且X2"=4

(1)求爐r*5+1＞的值；

(2)求9(鐘)2—13(%2)2"的值.

【答案】(1)16.(2)368

【解析】

【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則以及幕的乘方法則將原式化簡為(f"丫，再

將=4代入計算即可；

(2)根據(jù)同底數(shù)幕乘法法則以及事的乘方法則將原式化簡為9(/)3—13(/)2,再

將=4代入計算即可.

【詳解】(1)=4,xfj+l)=爐-3.鈔+3=X-3+3.+3=”=卜2"丫=42=16；

(2)=4，...9卜3")2—13儼廣=912")3_]3(/了=9x43—13x42=368；

【點睛】本題考查的是同底數(shù)幕的乘法法則和幕的乘方法則，解題的關(guān)鍵是能夠熟

練地掌握球的乘方法則是底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)幕的乘法法則是底數(shù)不變，

指數(shù)相加.

38.(1)已知m+4n-3=0,求2mT611的值.

(2)已知n為正整數(shù)，且X2n=4,求便11)?一2便產(chǎn)的值.

【答案】(1)8；(2)32

【解析】

【分析】(1)根據(jù)塞的運算法則變形后，代入已知即可得到結(jié)論；

(2)原式變形后代入計算即可求出值.

【詳解】解：(1)Vm+4n-3=0,：.m+4n=3,2m-16"=2m-24n=2m+4w=23=8;

(2)原式=”'_2/=(/)3_2(鐘)2=64-2X16=64-32=32.

【點睛】本題考查了幕的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

39.(1)已知3義邦義27，"=3"，求加的值.

(2)已知2“=3,4&=5,8c=5,求8葉「2&的值.

77

【答案】3)m=2.(2)—

25

【解析】

【分析】(1)直接運用同底數(shù)幕的乘法法則以及幕的乘方法則計算即可；

(2)利用同底數(shù)幕的乘除法則以及幕的乘方法則將原式變形即可.

【詳解】(1)V3x9mx27,n=3x32mx33ra=3l+5ra=3"，

1+5zn=11?解得m=2；

(2),/2U=3-4=5,8'=5,

/.2"=3.4A=22*=5,8"=23°=5,

...8326=23(0+16)=23O乂23c丫=3385+§3=.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)幕的乘除法法則和幕的乘方的運算法則，熟練地掌握

相關(guān)的運算法則是解題的關(guān)鍵.

40.計算:

(i)??xs-(2x4)2+x'fl,x2；

(2)4a(a-3b)(3b-2a)(2a+3fe)；

(3)(3/爐415到3)?(9x4r)；

(4)請用簡便方法計算：704,696-7002

【答案】(1)-2x8;(2)8a2-\2ab-9b2；(3)45x3/；(4)-16.

【解析】

【分析】(1)先算乘方，再算乘除，最后合并同類項即可；

(2)先根據(jù)單項式乘以多項式和平方差公式進行計算，再合并同類項即可；

(3)先根據(jù)積的乘方化簡，再從左往右計算即可；

(4)先變形，再根據(jù)平方差公式進行計算，最后求出答案即可.

【詳