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遼寧省撫順市四方中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B2.正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,二面角A﹣BD1﹣B1的大小是()A. B. C. D.參考答案:C【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法.【分析】以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A﹣BD1﹣B1的大?。窘獯稹拷猓阂訢為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),=(0,﹣1,0),=(﹣1,﹣1,1),=(0,0,1),設(shè)平面ABD1的法向量=(x,y,z),則,取y=1,得,設(shè)平面BB1D1的法向量=(a,b,c),則,取a=1,得=(1,﹣1,0),設(shè)二面角A﹣BD1﹣B1的大小為θ,則cosθ===﹣,∴θ=.∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小為.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的大小的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.3.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足,當(dāng)時(shí),.函數(shù),則f(x)與g(x)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為(
)A.3 B.4 C.5 D.6參考答案:A【分析】根據(jù)題意,分析可得與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱,作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,分析其交點(diǎn)的情況即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足,則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的位置關(guān)系如圖所示,可知兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn),一個(gè)在直線上,另外2個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱,則兩個(gè)函數(shù)圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為3;故選:A.【點(diǎn)睛】一般地,如果函數(shù)滿足,那么的圖像關(guān)于對(duì)稱,如果函數(shù)滿足,那么的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.刻畫函數(shù)圖像時(shí),注意利用上述性質(zhì).4.在ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,若,則角B的值為(
)A.
B.
C.或
D.或參考答案:D5.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.10π+96 B.9π+96 C.8π+96 D.9π+80參考答案:C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖知幾何體為一個(gè)正方體和一個(gè)圓柱的組合體,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)求出正方體表面積和圓柱的側(cè)面積相加可得答案.【解答】解:由三視圖知幾何體為一個(gè)正方體與一個(gè)圓柱的組合體,其中圓柱的直徑為2,高為4,S側(cè)面積=2π×1×4=8π,S圓柱上表面積=S圓柱下表面積=π,正方體的邊長為4,S正方體=6×42=96,∴幾何體的表面積S=9π+96﹣π=8π+96.故選:C.6.(本小題滿分5分)若函數(shù)f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是減函數(shù),則b的取值范圍是()A.[-1,+∞)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,-1]參考答案:D7.已知,t是大于0的常數(shù),且函數(shù)的最小值為9,則t的值為(
)A.4
B.6
C.8 D.10參考答案:A8.在長為4的線段上任取一點(diǎn),則該點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離均不小于1的概率為
(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:A略9.已知圓:,圓:,若圓
的切線交圓于兩點(diǎn),則面積的取值范圍是A.
B.C.
D.參考答案:A略10.如圖,平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,若、分別是M到直線和的距離,則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.對(duì)于給定的常數(shù),給出下列命題:①若,則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有1個(gè);②若,且,則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有2個(gè);③若,則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有4個(gè).上述命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n3﹣n2,則a10=.參考答案:252考點(diǎn):數(shù)列的函數(shù)特性專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析:直接利用已知條件求出a10=S10﹣S9的結(jié)果即可.解答:解:數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n3﹣n2,則a10=S10﹣S9=103﹣102﹣(93﹣92)=252.故答案為:252.點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的函數(shù)的特征,基本知識(shí)的考查12.已知向量,.若,則實(shí)數(shù)__________
參考答案:13.已知圓的極坐標(biāo)方程,則該圓的圓心到直線的距離是______________________。參考答案:14.已知A,B,C,P為半徑為R的球面上的四點(diǎn),其中AB,AC,BC間的球面距離分別為,,,若,其中O為球心,則的最大值是__________.參考答案:【分析】根據(jù)球面距離可求得三邊長,利用正弦定理可求得所在小圓的半徑;,根據(jù)平面向量基本定理可知四點(diǎn)共面,從而將所求問題變?yōu)榈淖畲笾?;根?jù)最小值為球心到所在平面的距離,可求得最小值,代入可求得所求的最大值.【詳解】間的球面距離為
同理可得:
所在小圓的半徑:設(shè)
四點(diǎn)共面若取最大值,則需取最小值最小值為球心到所在平面的距離本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查球面距離、球的性質(zhì)的應(yīng)用、平面向量基本定理的應(yīng)用、正余弦定理解三角形等知識(shí);關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出符合平面向量基本定理的形式,從而證得四點(diǎn)共面,將問題轉(zhuǎn)化為半徑與球心到小圓面距離的比值的最大值的求解的問題.
15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在曲線y=lnx上,且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(-e,-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.參考答案:.【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),得到切線方程,然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn),則.又,當(dāng)時(shí),,點(diǎn)A在曲線上的切線為,即,代入點(diǎn),得,即,考查函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,且,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,注意到,故存在唯一實(shí)數(shù)根,此時(shí),故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題:一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào),防止與乘法公式混淆.二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),直線不一定是曲線的切線,同樣,直線是曲線的切線,則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn).16.已知f(x)=x2+2x·f′(1),則f′(0)=_______.參考答案:-417.參考答案:D略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營的某一型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x(0<x≤10)與銷售價(jià)格y(單位:萬元/輛)進(jìn)行整理,得到如表的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):使用年數(shù)246810售價(jià)16139.574.5(1)試求y關(guān)于x的回歸直線方程;(參考公式:=,=y﹣)(2)已知每輛該型號(hào)汽車的收購價(jià)格為w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2萬元,根據(jù)(1)中所求的回歸方程,預(yù)測x為何值時(shí),小王銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤L(x)最大?(利潤=售價(jià)﹣收購價(jià))參考答案:【考點(diǎn)】BK:線性回歸方程.【分析】(1)由表中數(shù)據(jù)計(jì)算b,a,即可寫出回歸直線方程;(2)寫出利潤函數(shù)L(x)=y﹣w,利用導(dǎo)數(shù)求出x=6時(shí)L(x)取得最大值.【解答】解:(1)由已知:,,…,,,…所求線性回歸直線方程為…(2)L(x)=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣(0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2)=﹣0.01x3+0.09x2+1.5(0<x≤10)…L′(x)=﹣0.03x2+0.18x=﹣0.03x(x﹣6)…x∈(0,6)時(shí),L′(x)>0,L(x)單調(diào)遞增,x∈(6,10]時(shí),L′(x)<0,L(x)單調(diào)遞減…所以預(yù)測x=6時(shí),銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤L(x)最大.…19.(本小題滿分12分)在Δ中,,,,求:(Ⅰ)Δ的面積;(Ⅱ)邊的長。參考答案:;(Ⅰ)Δ的面積;(Ⅱ)邊的長為。20.如圖,AB是底面半徑為1的圓柱的一條母線,O為下底面中心,BC是下底面的一條切線。(1)求證:OB⊥AC;(2)若AC與圓柱下底面所成的角為30°,OA=2。求三棱錐A-BOC的體積。參考答案:(1)連結(jié)OB,由圓的切線性質(zhì)有OB⊥BC,而BC是AC在底面⊙O上的射影,∴OB⊥平面ABC,∴OB⊥AC。(2)在RtΔOAB中,AB=.又∵∠ACB就是AC與底面⊙O所成角,,21.(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;(2)設(shè)數(shù)列滿足:且;①求證:;②比較與的大?。畢⒖即鸢福航猓?1),令=0,.當(dāng)時(shí),<0,在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,在單調(diào)遞增.故.令,函數(shù),因?yàn)?lt;0,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,故,又,故,從而有兩個(gè)零點(diǎn).…5分(2)①因?yàn)?,即,所以.下面用?shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí),成立.假設(shè)當(dāng)時(shí),,則,故,從而,則,故當(dāng)時(shí)不等式成立.從而對(duì).
…….……11分②因?yàn)?,考慮函數(shù).因?yàn)?,所以在?,1)上是增函數(shù),故,從而,即.……
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