2019年全國(guó)中考數(shù)學(xué)續(xù)61套壓軸題分類解析匯編專題9-幾何綜合問題

/2019年全國(guó)中考數(shù)學(xué)〔續(xù)61套壓軸題分類解析匯編專題9：幾何綜合問題24.〔2019XXXX12分如圖.AB是⊙O的弦.D為OA半徑的中點(diǎn).過D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E.交⊙O于點(diǎn)F.且CE=CB．〔1求證：BC是⊙O的切線；〔2連接AF.BF.求∠ABF的度數(shù)；〔3如果CD=15.BE=10.sinA=.求⊙O的半徑．[答案]解：〔1證明：連接OB.∵OB=OA.CE=CB.∴∠A=∠OBA.∠CEB=∠ABC。又∵CD⊥OA.∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。∴∠OBA+∠ABC=90°?！郞B⊥BC?！郆C是⊙O的切線?！?連接OF.AF.BF.∵DA=DO.CD⊥OA.∴△OAF是等邊三角形?！唷螦OF=60°?！唷螦BF=∠AOF=30°。〔3過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G.由CE=CB.∴EG=BE=5。易證Rt△ADE∽R(shí)t△CGE.∴sin∠ECG=sin∠A=.∴?！唷Ｓ帧逤D=15.CE=13.∴DE=2.由Rt△ADE∽R(shí)t△CGE得.即.解得?！唷袿的半徑為2AD=。[考點(diǎn)]等腰〔邊三角形的性質(zhì).直角三角形兩銳角的關(guān)系.切線的判定.圓周角定理.勾股定理.相似三角形的判定和性質(zhì).銳角三角函數(shù)定義。[分析]〔1連接OB.有圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°即可證明BC是⊙O的切線?！?連接OF.AF.BF.首先證明△OAF是等邊三角形.再利用圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)?！?過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G.由CE=CB.可求出EG=BE=5.由Rt△ADE∽R(shí)t△CGE和勾股定理求出DE=2.由Rt△ADE∽R(shí)t△CGE求出AD的長(zhǎng).從而求出⊙O的半徑。25.〔2019XXXX10分已知：在△ABC中.∠ACB=900.點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn).過點(diǎn)A作AB的垂線.交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.MN⊥AC于點(diǎn)N.PQ⊥AB于點(diǎn)Q.A0=MN．〔1如圖l.求證：PC=AN；〔2如圖2.點(diǎn)E是MN上一點(diǎn).連接EP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)K.點(diǎn)D是AB上一點(diǎn).連接DK.∠DKE=∠ABC.EF⊥PM于點(diǎn)H.交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若NP=2.PC=3.CK：CF=2：3.求DQ的長(zhǎng)．[答案]解：〔1證明：∵BA⊥AM.MN⊥AP.∴∠BAM=ANM=90°?！唷螾AQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°.∴∠PAQ=∠AMN?！逷Q⊥ABMN⊥AC.∴∠PQA=∠ANM=90°?！郃Q=MN?！唷鰽QP≌△MNA〔ASA?！郃N=PQ.AM=AP?！唷螦MB=∠APM?！摺螦PM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°.∠AMB+∠ABM=90°.∴∠ABM=∠PBC?！逷Q⊥AB.PC⊥BC.∴PQ=PC〔角平分線的性質(zhì)?！郟C=AN?！?∵NP=2PC=3.∴由〔1知PC=AN=3?！郃P=NC=5.AC=8?！郃M=AP=5?！唷！摺螾AQ=∠AMN.∠ACB=∠ANM=90°.∴∠ABC=∠MAN?！唷！?∴BC=6?！逳E∥KC.∴∠PEN=∠PKC。又∵∠ENP=∠KCP.∴△PNE∽△PCK。∴?！逤K：CF=2：3.設(shè)CK=2k.則CF=3k?！?。過N作NT∥EF交CF于T.則四邊形NTFE是平行四邊形。∴NE=TF=.∴CT=CF－TF=3k－。∵EF⊥PM.∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF?！唷螧PC=∠BFH?！逧F∥NT.∴∠NTC=∠BFH=∠BPC?！唷！??！郈T=?！唷！郈K=2×=3.BK=BC－CK=3?！摺螾KC+∠DKC=∠ABC+∠BDK.∠DKE=∠ABC.∴∠BDK=∠PKC。∴。∴tan∠BDK=1。過K作KG⊥BD于G?！遲an∠BDK=1.tan∠ABC=.∴設(shè)GK=4n.則BG=3n.GD=4n?！郆K=5n=3.∴n=?！郆D=4n+3n=7n=?！?AQ=4.∴BQ=AB－AQ=6?！郉Q=BQ－BD=6－。[考點(diǎn)]相似形綜合題.全等三角形的判定和性質(zhì).角平分線的性質(zhì).勾股定理.相似三角形的判定和性質(zhì).等腰直角三角形的判定和性質(zhì).解直角三角形。[分析]〔1確定一對(duì)全等三角形△AQP≌△MNA.得到AN=PQ；然后推出BP為角平分線.利用角平分線的性質(zhì)得到PC=PQ；從而得到PC=AN?！?由已知條件.求出線段KC的長(zhǎng)度.從而確定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中.解直角三角形即可求得BD、DQ的長(zhǎng)度。26.〔2019XXXX10分如圖1.⊙O是△ABC的外接圓.AB是直徑.OD∥AC.且∠CBD=∠BAC.OD交⊙O于點(diǎn)E．〔1求證：BD是⊙O的切線；〔2若點(diǎn)E為線段OD的中點(diǎn).證明：以O(shè)、A、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；〔3作CF⊥AB于點(diǎn)F.連接AD交CF于點(diǎn)G〔如圖2.求的值．[答案]解：〔1證明：∵AB是⊙O的直徑.∴∠BCA=90°?！唷螦BC+∠BAC=90°。又∵∠CBD=∠BAC.∴∠ABC+∠CBD=90°。∴∠ABD=90°。∴OB⊥BD。∴BD為⊙O的切線。〔2證明：如圖.連接CE、OC.BE.∵OE=ED.∠OBD=90°.∴BE=OE=ED。∴△OBE為等邊三角形。∴∠BOE=60°。又∵OD∥AC.∴∠OAC=60°。又∵OA=OC.∴AC=OA=OE。∴AC∥OE且AC=OE。∴四邊形OACE是平行四邊形。而OA=OE.∴四邊形OACE是菱形?！?∵CF⊥AB.∴∠AFC=∠OBD=90°。又∵OD∥AC.∴∠CAF=∠DOB。∴Rt△AFC∽R(shí)t△OBD。∴.即。又∵FG∥BD.∴△AFG∽△ABD?！?即?！唷考點(diǎn)]圓的綜合題.圓周角定理.直角三角形兩銳角的關(guān)系.切線的判定.直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).等邊三角形的判定和性質(zhì).平行的判定和性質(zhì).菱形的判定.相似三角形的判定和性質(zhì)。[分析]〔1由AB是⊙O的直徑.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠BCA=90°.則∠ABC+∠BAC=90°.而∠CBD=∠BA.得到∠ABC+∠CBD=90°.即OB⊥BD.根據(jù)切線的判定定理即可得到BD為⊙O的切線?！?連接CE、OC.BE.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BE=OE=ED.則△OBE為等邊三角形.于是∠BOE=60°.又因?yàn)锳C∥OD.則∠OAC=60°.AC=OA=OE.即有AC∥OE且AC=OE.可得到四邊形OACE是平行四邊形.加上OA=OE.即可得到四邊形OACE是菱形。〔3由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°.而OD∥AC.則∠CAF=∠DOB.根據(jù)相似三角形的判定易得Rt△AFC∽R(shí)t△OBD.則有.即.再由FG∥BD易證得△AFG∽△ABD.則.即.然后求FG與FC的比即可。27.〔2019XXXX11分等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2.P是BC邊上的任一點(diǎn)〔與B、C不重合.連接AP.以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE.分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N〔如圖1。〔1求證：AM=AN；〔2設(shè)BP=x。=1\*GB3①若.BM=.求x的值；=2\*GB3②記四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積為S.求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；=3\*GB3③連接DE.分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H〔如圖2.當(dāng)x取何值時(shí).∠BAD=150？并判斷此時(shí)以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形.請(qǐng)說明理由。[答案]解：〔1證明：∵△ABC、△APD和△APE都是等邊三角形.∴AD=AP.∠DAP=∠BAC=600.∠ADM=∠APN=600?！唷螪AM=∠PAN?！唷鰽DM≌△APN〔ASA.∴AM=AN?！?=1\*GB3①易證△BPM∽△CAP.∴.∵BN=.AC=2.CP=2－x.∴.即。解得x=或x=。=2\*GB3②四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積?！摺鰽DM≌△APN.∴。∴。如圖.過點(diǎn)P作PS⊥AB于點(diǎn)S.過點(diǎn)D作DT⊥AP于點(diǎn)T.則點(diǎn)T是AP的中點(diǎn)。在Rt△BPS中.∵∠P=600.BP=x.∴PS=BPsin600=x.BS=BPcos600=x?！逜B=2.∴AS=AB－BC=2－x。∴。∴。∴。∴當(dāng)x=1時(shí).S的最小值為。=3\*GB3③連接PG.設(shè)DE交AP于點(diǎn)O。若∠BAD=150.∵∠DAP=600.∴∠PAG=450。∵△APD和△APE都是等邊三角形.∴AD=DP=AP=PE=EA。∴四邊形ADPE是菱形。∴DO垂直平分AP。∴GP=AG。∴∠APG=∠PAG=450。∴∠PGA=900。設(shè)BG=t.在Rt△BPG中.∠B=600.∴BP=2t.PG=?！郃G=PG=?！?解得t=－1?！郆P=2t=2－2?！喈?dāng)BP=2－2時(shí).∠BAD=150。猜想：以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形。∵四邊形ADPE是菱形.∴AO⊥DE.∠ADO=∠AEH=300。∵∠BAD=150.∴易得∠AGO=450.∠HAO=150.∠EAH=450。設(shè)AO=a.則AD=AE=2a.OD=a?！郉G=DO－GO=〔－1a。又∵∠BAD=150.∠BAC=600.∠ADO=300.∴∠DHA=∠DAH=750。∵DH=AD=2a.∴GH=DH－DG=2a－〔－1a=〔3－a.HE=2DO－DH=2a－2a=2〔－1a。∵..∴。∴以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形。[考點(diǎn)]等邊三角形的性質(zhì).全等三角形的判定和性質(zhì).相似三角形的判定和性質(zhì).解一元二次方程.銳角三角函數(shù)定義.特殊角的三角函數(shù)值.二次函數(shù)的最值.菱形的判定和性質(zhì).勾股定理和逆定理。[分析]〔1由△ABC、△APD和△APE都是等邊三角形可得邊角的相等關(guān)系.從而用ASA證明。〔2=1\*GB3①由△BPM∽△CAP.根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得等式.解方程即可。=2\*GB3②應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì).銳角三角函數(shù)和勾股定理相關(guān)知識(shí)求得.用x的代數(shù)式表示S.用二次函數(shù)的最值原理求出S的最小值。=3\*GB3③由∠BAD=150得到四邊形ADPE是菱形.應(yīng)用相關(guān)知識(shí)求解。求出DG、GH、HE的表達(dá)式.用勾股定理逆定理證明。28.〔2019XXXX14分在正方形ABCD中.對(duì)角線AC.BD交于點(diǎn)O.點(diǎn)P在線段BC上〔不含點(diǎn)B.∠BPE＝∠ACB.PE交BO于點(diǎn)E.過點(diǎn)B作BF⊥PE.垂足為F.交AC于點(diǎn)G．〔1當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)〔如圖①．求證：△BOG≌△POE；〔4分〔2通過觀察、測(cè)量、猜想：=▲.并結(jié)合圖②證明你的猜想；〔5分〔3把正方形ABCD改為菱形.其他條件不變〔如圖③.若∠ACB=α.求的值．〔用含α的式子表示〔5分[答案]解：〔1證明：∵四邊形ABCD是正方形.P與C重合.∴OB=OP.∠BOC=∠BOG=90°。∵PF⊥BG.∠PFB=90°.∴∠GBO=90°—∠BGO.∠EPO=90°—∠BGO。∴∠GBO=∠EPO。∴△BOG≌△POE〔AAS。〔2。證明如下：如圖.過P作PM//AC交BG于M.交BO于N.∴∠PNE=∠BOC=900.∠BPN=∠OCB。∵∠OBC=∠OCB=450.∴∠NBP=∠NPB。∴NB=NP。∵∠MBN=900—∠BMN.∠NPE=900—∠BMN.∴∠MBN=∠NPE。∴△BMN≌△PEN〔ASA。∴BM=PE。∵∠BPE=∠ACB.∠BPN=∠ACB.∴∠BPF=∠MPF。∵PF⊥BM.∴∠BFP=∠MFP=900。又∵PF=PF.∴△BPF≌△MPF〔ASA?！郆F=MF.即BF=BM?！郆F=PE.即?！?如圖.過P作PM//AC交BG于點(diǎn)M.交BO于點(diǎn)N.∴∠BPN=∠ACB=α.∠PNE=∠BOC=900。由〔2同理可得BF=BM.∠MBN=∠EPN。∵∠BNM=∠PNE=900.∴△BMN∽△PEN。∴。在Rt△BNP中..∴.即。∴。[考點(diǎn)]幾何綜合題.正方形和菱形的性質(zhì).平行的性質(zhì).全等、相似三角形的判定和性質(zhì).銳角三角函數(shù)定義。[分析]〔1由正方形的性質(zhì)可由AAS證得△BOG≌△POE。〔2過P作PM//AC交BG于M.交BO于N.通過ASA證明△BMN≌△PEN得到BM=PE.通過ASA證明△BPF≌△MPF得到BF=MF.即可得出的結(jié)論。〔3過P作PM//AC交BG于點(diǎn)M.交BO于點(diǎn)N.同〔2證得BF=BM.∠MBN=∠EPN.從而可證得△BMN∽△PEN.由和Rt△BNP中即可求得。29.〔2019XXXX12分已知.如圖①.∠MON=60°.點(diǎn)A.B為射線OM.ON上的動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)A.B不與點(diǎn)O重合.且AB=.在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有一點(diǎn)P.且AP=BP.∠APB=120°.〔1求AP的長(zhǎng)；〔2求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上；〔3如圖②.點(diǎn)C.D.E.F分別是四邊形AOBP的邊AO.OB.BP.PA的中點(diǎn).連接CD.DE.EF.FC.OP.①當(dāng)AB⊥OP時(shí).請(qǐng)直接寫出四邊形CDEF的周長(zhǎng)的值；②若四邊形CDEF的周長(zhǎng)用t表示.請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．[答案]解：<1>過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q∵PA=PB.∠APB=120°.AB=4.∴AQ=AB=×4=2.∠APQ=∠APB=×120°=60°。在Rt△APQ中.sin∠APQ=∴AP=＝4。〔2證明：過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S.PT⊥ON于點(diǎn)T.∴∠OSP=∠OTP=90°。在四邊形OSPT中.∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°.∴∠APB=∠SPT=120°?！唷螦PS=∠BPT。又∵∠ASP=∠BTP=90°.AP=BP.∴△APS≌△BPT〔AAS。∴PS=PT。∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上。〔3①8+4②4+4＜t≤8+4。[考點(diǎn)]等腰三角形的.銳角三角函數(shù)定義.特殊角的三角函數(shù)值.多邊形內(nèi)角和定理.全等三角形的判定和性質(zhì).點(diǎn)在角平分線上的判定.三角形中位線定理[分析]〔1過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q．根據(jù)等腰三角形的"三線合一"的性質(zhì)推知AQ=BQ=AB.然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數(shù)的定義可以求得AP的長(zhǎng)度。〔2作輔助線PS、PT〔過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S.PT⊥ON于點(diǎn)T構(gòu)建全等三角形△APS≌△BPT；然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推知PS=OT；最后由角平分線的性質(zhì)推知點(diǎn)P在∠MON的平分線上?！?利用三角形中位線定理知四邊形CDEF的周長(zhǎng)的值是OP+AB。①當(dāng)AB⊥OP時(shí).根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義可以求得OP的長(zhǎng)度；②當(dāng)AB⊥OP時(shí).OP取最大值.即四邊形CDEF的周長(zhǎng)取最大值；當(dāng)點(diǎn)A或B與點(diǎn)O重合時(shí).四邊形CDEF的周長(zhǎng)取最小值.據(jù)此寫出t的取值范圍。30.〔2019XXXX12分如圖1.梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC＝2∠BCD＝2α.點(diǎn)E在AD上.點(diǎn)F在DC上.且∠BEF=∠A.

〔1∠BEF=_____<用含α的代數(shù)式表示>；

〔2當(dāng)AB＝AD時(shí).猜想線段ED、EF的數(shù)量關(guān)系.并證明你的猜想；

〔3當(dāng)AB≠AD時(shí).將"點(diǎn)E在AD上"改為"點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上.且AE＞AB.AB＝mDE.AD＝nDE".其他條件不變〔如圖2.求的值〔用含m、n的代數(shù)式表示。[答案]解：〔1180°－2α。〔2EB=EF。證明如下：連接BD交EF于點(diǎn)O.連接BF?！逜D∥BC.∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α.∠ADC=180°－∠C=180°-α?！逜B=AD.∴∠ADB=〔180°－∠A=α?！唷螧DC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。由〔1得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。又∵∠EOB=∠DOF.∴△EOB∽△DOF?！?即?！摺螮OD=∠BOF.∴△EOD∽△BOF?！唷螮FB=∠EDO=α。∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。〔3延長(zhǎng)AB至G.使AG=AE.連接BE.GE.則∠G=∠AEG=。∵AD∥BC.∴∠EDF=∠C=α.∠GBC=∠A.∠DEB=∠EBC。∴∠EDF=∠G。∵∠BEF=∠A.∴∠BEF=∠GBC。∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF.即∠EBG=∠FED。∴△DEF∽△GBE?！?。∵AB=mDE.AD=nDE.∴AG=AE=〔n+1DE。∴BG=AG－AB=〔n+1DE－mDE=〔n+1－mDE。∴。[考點(diǎn)]梯形的性質(zhì).平行線的性質(zhì).相似三角形的判定和性質(zhì).等腰三角形的性質(zhì)。[分析]〔1由梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC=2∠BCD=2α.根據(jù)平行線的性質(zhì).易求得∠A的度數(shù).又由∠BEF=∠A.即可求得∠BEF的度數(shù)：∵梯形ABCD中.AD∥BC.∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。又∵∠BEF=∠A.∴∠BEF=∠A=180°－2α?！?連接BD交EF于點(diǎn)O.連接BF.由AB=AD.易證得△EOB∽△DOF.根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.可得.從而可證得△EOD∽△BOF.又由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等.易得∠EBF=∠EFB=α.即可得EB=EF?！?延長(zhǎng)AB至G.使AG=AE.連接BE.GE.易證得△DEF∽△GBE.然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.即可求得的值。31.〔2019XXXX12分如圖.正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上.點(diǎn)B坐標(biāo)〔3.3.將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α〔0°＜α＜90°.得到正方形ADEF.ED交線段OC于點(diǎn)G.ED的延長(zhǎng)線交線段BC于點(diǎn)P.連AP、AG．〔1求證：△AOG≌△ADG；〔2求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系.說明理由；〔3當(dāng)∠1=∠2時(shí).求直線PE的解析式．[答案]解：〔1證明：∵∠AOG=∠ADG=90°.∴在Rt△AOG和Rt△ADG中.AO=AD.AG=AG.∴△AOG≌△ADG〔HL?！?∠PAG=45°,PG=OG+BP。理由如下：由〔1同理可證△ADP≌△ABP.則∠DAP=∠BAP。∵由〔1△AOG≌△ADG.∴∠1=∠DAG。又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°.∴2∠DAG+2∠DAP=90°.即∠DAG+∠DAP=45°?！唷螾AG=∠DAG+∠DAP=45°?！摺鰽OG≌△ADG.△ADP≌△ABP.∴DG=OG.DP=BP?！郟G=DG+DP=OG+BP?！?∵△AOG≌△ADG.∴∠AGO=∠AGD。又∵∠1+∠AGO=90°.∠2+∠PGC=90°.∠1=∠2.∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°.∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。在Rt△AOG中.AO=3.OG=AOtan30°=.∴G點(diǎn)坐標(biāo)為：〔.0.CG=3﹣。在Rt△PCG中.PC=.∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：〔3.。設(shè)直線PE的解析式為y=kx+b.則.解得?！嘀本€PE的解析式為y=x﹣1。[考點(diǎn)]一次函數(shù)綜合題.全等三角形的判定和性質(zhì).三角形內(nèi)角和定理.銳角三角函數(shù)定義.特殊角的三角函數(shù)值.待定系數(shù)法.直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系.解二元一次方程組。[分析]〔1由AO=AD.AG=AG.利用"HL"可證△AOG≌△ADG?！?利用〔1的方法.同理可證△ADP≌△ABP.得出∠1=∠DAG.∠DAP=∠BAP.而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°.由此可求∠PAG的度數(shù)；根據(jù)兩對(duì)全等三角形的性質(zhì).可得出線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系。〔3由△AOG≌△ADG可知.∠AGO=∠AGD.而∠1+∠AGO=90°.∠2+∠PGC=90°.當(dāng)∠1=∠2時(shí).可證∠AGO=∠AGD=∠PGC.而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°.得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°.即∠1=∠2=30°.解直角三角形求OG.PC.確定P、G兩點(diǎn)坐標(biāo).得出直線PE的解析式。32.〔2019XX威海11分探索發(fā)現(xiàn)：已知：在梯形ABCD中.CD∥AB.AD、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.AC、BD相交于點(diǎn)O.連接EO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M.交CD于點(diǎn)N。〔1如圖=1\*GB3①.如果AD=BC.求證：直線EM是線段AB的垂直平分線；〔2如圖=2\*GB3②.如果AD≠BC.那么線段AM與BM是否相等？請(qǐng)說明理由。學(xué)以致用：僅用直尺〔沒有刻度.試作出圖=3\*GB3③中的矩形ABCD的一條對(duì)稱軸?！矊懗鲎鲌D步驟.保留作圖痕跡[答案]解：〔1證明：∵AD=BC.CD∥AB.∴AC=BD.∠DAB=∠CBA?！郃E=BE?！帱c(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上。在△ABD和△BAC中.∵AB=BA.AD=BC.AC=BD.∴△ABD≌△BAC〔SSS。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB?！帱c(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上。∴直線EM是線段AB的垂直平分線。〔2相等。理由如下：∵CD∥AB.∴△EDN∽△EAM.△ENC∽△EMB.△EDC∽△EAB?！唷！唷！唷！逤D∥AB.∴△OND∽△OMB.△ONC∽△OMA.△OCD∽△OAB?！?。∴。∴。∴。∴AM2=BM2?！郃M=BM。〔3作圖如下：作法：①連接AC.BD.兩線相交于點(diǎn)O1；②在梯形ABCD外DC上方任取一點(diǎn)E.連接EA.EB.分別交DC于點(diǎn)G.H；③連接BG.AH.兩線相交于點(diǎn)O2；④作直線EO2.交AB于點(diǎn)M；⑤作直線MO1。則直線MO1。就是矩形ABCD的一條對(duì)稱軸。[考點(diǎn)]平行的性質(zhì).全等、相似三角形的判定和性質(zhì).等腰三角形的判定.線段垂直平分線的判定.復(fù)雜作圖。[分析]〔1一方面由已知可得點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上；另一方面可由SSS證明△ABD≌△BAC.從而得∠DBA=∠CAB.因此OA=OB.得出點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上。從而直線EM是線段AB的垂直平分線?！?一方面由CD∥AB.得△EDN∽△EAM.△ENC∽△EMB.△EDC∽△EAB.利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得；另一方面由CD∥AB.得△OND∽△OMB.△ONC∽△OMA.△OCD∽△OAB.利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得。從而得到.即可得到AM=BM的結(jié)論?！?按〔2的結(jié)論作圖即可。33.〔2019XXXX9分如圖.△ABC內(nèi)接于⊙O.AB是⊙O的直徑.C是的弧AD中點(diǎn).弦CE⊥AB于點(diǎn)H.連結(jié)AD.分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q.連結(jié)BD。<1>求證：P是線段AQ的中點(diǎn)；<2>若⊙O的半徑為5.AQ=.求弦CE的長(zhǎng)。[答案]解：〔1證明：∵AB是⊙O的直徑.弦CE⊥AB.∴。又∵C是弧的中點(diǎn).∴?！唷！唷螦CP=∠CAP?！郟A=PC?！逜B是直徑．∴∠ACB=90°?！唷螾CQ=90°－∠ACP.∠CQP=90°－∠CAP?！唷螾CQ=∠CQP?！郟C=PQ?！郟A=PQ.即P是AQ的中點(diǎn)?！?∵.∴∠CAQ=∠ABC。又∵∠ACQ=∠BCQ.∴△CAQ∽△CBA?！唷Ｓ帧逜Q=.BA=10.∴。設(shè)AC=3k.BC=4k.則由勾股定理得..解得k=2。∴AC=6.BC=8。根據(jù)直角三角形的面積公式.得：AC?BC=AB?CH.∴6×8=10CH?！郈H=。又∵CH=HE.∴CE=2CH=。[考點(diǎn)]圓的綜合題.圓周角定理。垂徑定理.相似三角形的判定和性質(zhì).勾股定理。[分析]〔1首先利用等角對(duì)等邊證明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC.然再證明PC=PQ.即可得到P是AQ的中點(diǎn)?！?首先證明：△CAQ∽△CBA.依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得AC、BC的長(zhǎng)度.然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得CH的長(zhǎng).則可以求得CE的長(zhǎng)。34.〔2019XXXX10分如圖.AB是⊙O的直徑.弦CD⊥AB于H.過CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于F．切點(diǎn)為G.連接AG交CD于K．〔1求證：KE=GE；〔2若=KD·GE.試判斷AC與EF的位置關(guān)系.并說明理由；〔3在〔2的條件下.若sinE=.AK=.求FG的長(zhǎng)．[答案]解：〔1證明：如答圖1.連接OG?！逧G為切線.∴∠KGE+∠OGA=90°?！逤D⊥AB.∴∠AKH+∠OAG=90°。又OA=OG.∴∠OGA=∠OAG。∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。〔2AC∥EF.理由如下：連接GD.如答圖2所示。∵KG2=KD?GE.∴。又∵∠KGE=∠GKE.∴△GKD∽△EGK。∴∠E=∠AGD。又∵∠C=∠AGD.∴∠E=∠C?！郃C∥EF?！?連接OG.OC.如答圖3所示。由〔2∠E=∠ACH.∴sinE=sin∠ACH=。∴可設(shè)AH=3t.則AC=5t.CH=4t。∵KE=GE.AC∥EF.∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。在Rt△AHK中.根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2.即〔3t2+t2=〔2.解得t=。設(shè)⊙O半徑為r.在Rt△OCH中.OC=r.OH=r﹣3t.CH=4t.由勾股定理得：OH2+CH2=OC2.即〔r﹣3t2+〔4t2=r2.解得r=t=。∵EF為切線.∴△OGF為直角三角形。在Rt△OGF中.OG=r=.tan∠OFG=tan∠CAH=.∴FG=。[考點(diǎn)]切線的性質(zhì).勾股定理.垂徑定理.圓周角定理.等腰三角形的判定和性質(zhì).相似三角形的判定和性質(zhì).平行的判定.銳角三角函數(shù)定義。[分析]〔1如答圖1.連接OG．根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB.可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE.根據(jù)等角對(duì)等邊得到KE=GE?！?AC與EF平行.理由為：如答圖2所示.連接GD.由∠KGE=∠GKE.及KG2=KD?GE.利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似.又利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠C=∠AGD.可推知∠E=∠C.從而得到AC∥EF?！?如答圖3所示.連接OG.OC．首先求出圓的半徑.根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在Rt△OGF中.解直角三角形即可求得FG的長(zhǎng)度。35.〔2019廣西XX10分如圖.AB是⊙O的直徑.AC是弦.直線EF經(jīng)過點(diǎn)C.AD⊥EF于點(diǎn)D.∠DAC=∠BAC．〔1求證：EF是⊙O的切線；〔2求證：AC2=AD?AB；〔3若⊙O的半徑為2.∠ACD=30°.求圖中陰影部分的面積．[答案]解：〔1證明：連接OC.∵OA=OC.∴∠BAC=∠OCA。∵∠DAC=∠BAC.∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。∵AD⊥EF.∴OC⊥EF。∵OC為半徑.∴EF是⊙O的切線。〔2證明：∵AB為⊙O直徑.AD⊥EF.∴∠BCA=∠ADC=90°。∵∠DAC=∠BAC.∴△ACB∽△ADC。∴。∴AC2=AD?AB。〔3∵∠ACD=30°.∠OCD=90°.∴∠OCA=60°.∵OC=OA.∴△OAC是等邊三角形?！郃C=OA=OC=2.∠AOC=60°。∵在Rt△ACD中.AD=AC=1。由勾股定理得：DC=.∴陰影部分的面積是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×〔2+1×﹣。[考點(diǎn)]圓的綜合題.等腰〔邊三角形的判定和性質(zhì).平行的判定和性質(zhì).切線的判定.圓周角定理.相似三角形的判定和性質(zhì).解直角三角形.扇形面積。[分析]〔1連接OC.根據(jù)OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC.推出OC∥AD.得出OC⊥EF.根據(jù)切線的判定推出即可。〔2證△ADC∽△ACB.得出比例式.即可推出答案。〔3求出等邊三角形OAC.求出AC、∠AOC.在Rt△ACD中.求出AD、CD.求出梯形OCDA和扇形OCA的面積.相減即可得出答案。36.〔2019廣西貴港11分如圖.Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F.且∠ACB＝90°.AB＝5.BC＝3。點(diǎn)P在射線AC上運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作PH⊥AB.垂足為H?！?直接寫出線段AC、AD以及⊙O半徑的長(zhǎng)；〔2設(shè)PH＝x.PC＝y(tǒng).求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；〔3當(dāng)PH與⊙O相切時(shí).求相應(yīng)的y值。[答案]解：〔1AC=4；AD=3.⊙O半徑的長(zhǎng)為1。〔2在Rt△ABC中.AB=5.AC=4.則BC=3。∵∠C=90°.PH⊥AB.∴∠C=∠PHA=90°。∵∠A=∠A.∴△AHP∽△ACB。∴.即。∴.即y與x的函數(shù)關(guān)系式是。〔3如圖.P′H′與⊙O相切于點(diǎn)M.連接OD.OE.OF.OM。∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°.OM=OD.∴四邊形OMH′D是正方形。∴MH′=OM=1。∵CE、CF是⊙O的切線.∠ACB=90°.∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°.CF=CE?！嗨倪呅蜟EOF是正方形.CF=OF=1?！郟′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C.即x=y。又由〔2知..∴.解得。[考點(diǎn)]圓的綜合題.圓的切線性質(zhì).勾股定理.正方形的判定和性質(zhì).相似三角形的判定和性質(zhì)。[分析]〔1連接AO、DO.EO.FO.設(shè)⊙O的半徑為r.在Rt△ABC中.由勾股定理得AC=.∴⊙O的半徑r=〔AC+BC-AB=〔4+3-5=1?！逤E、CF是⊙O的切線.∠ACB=90°.∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°.CF=CE。∴四邊形CEOF是正方形。∴CF=OF=1。又∵AD、AF是⊙O的切線.∴AF=AD。∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3.即AD=3。〔2通過相似三角形△AHP∽△ACB的對(duì)應(yīng)邊成比例知..將"PH=x.PC=y"代入求出即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。〔3根據(jù)圓的切線定理證得四邊形OMH′D、四邊形CFOE為正方形；然后利用正方形的性質(zhì)、圓的切線定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C.即x=y；最后將其代入〔2中的函數(shù)關(guān)系式即可求得y值。37.〔2019XXXX12分如圖.在⊙O中.直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P.∠CAB=40°.∠APD=65°．〔1求∠B的大小；〔2已知AD=6.求圓心O到BD的距離．[答案]解：〔1∵∠APD=∠C+∠CAB.∠CAB=40°.∠APD=65°.∴∠C=65°﹣40°=25°?！唷螧=∠C=25