概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

第一章隨機(jī)事件及其概率

§1.I隨機(jī)事件

ー、給出事件描述,要求用運(yùn)算關(guān)系符表示事件:

二、給岀事件運(yùn)算關(guān)系符,要求判斷其正確性:

§1Z概率

A所含樣本占數(shù)

古典概型公式:P(A)=?匕昊年新實(shí)用中經(jīng)常采用“排列組合”的方法計(jì)算

。所含樣本點(diǎn)數(shù)

補(bǔ)例!：將n個(gè)球隨機(jī)地放到n個(gè)盒中去，問每個(gè)盒子恰有1個(gè)球的概率是多少?解：設(shè)A：

“每個(gè)盒子恰有1個(gè)球’求：P(A)=?Q所含樣本點(diǎn)數(shù)："?〃:???"二〃"

A所含樣本點(diǎn)數(shù)：〃.(れ一。.(―2)?1=〃!???尸⑷

補(bǔ)例2：將3封信隨機(jī)地放入4個(gè)信箱中,問信箱中信的封數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概

率各是多少?

解:設(shè)ヘ:“信箱中信的最大封數(shù)為九(i=1,2,3)求:P(A.)=?

Q所含樣本點(diǎn)數(shù):4.4?4=43=64

A1所含樣本點(diǎn)數(shù):4?3?2=24

Aユ所含樣本點(diǎn)數(shù):

んコ所含樣本點(diǎn)數(shù)：し;

注：由概率定義得出的幾個(gè)性質(zhì)：

1、0<P(A)<1

2、P(Q)=1,P()=0

§13概率的加法法則

定理：設(shè)A、B是互不相容事件(AB=4)),則:

P(AUB)=P(A)+P(B)

推論1：設(shè)A,.........A互不相容,則

P(AI+A2+...+An)=P(Aj)+P(A2)+..?+P(An)

推論2:設(shè)A；A,...........A"構(gòu)成完備キ件組,則

Izn

P(A1+A2+...+An)=l

推論3：P(A)=1-P('A)

推論4若BnA,則P(B—A)=P(B)—P(A)

推論5(廣義加法公式)：

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

補(bǔ)充——對(duì)偶律:

AuAu...uA=瓦ck

12n12n

スnAn...nA=ズ?ス-5..uZ-

12n12n

§1.4條件概率與乘法法則

ル①皿.ハ亠P(AB)尸(A8)

條件概率公式:P(A/B)=?れ、(P(B)HO)P(B/A)=?ハ(P(A)マ0)

P(B)尸(A)

：.P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)

有時(shí)須與P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)中的P(AB)聯(lián)系解題。

全概率與逆概率公式:

P⑻=エ尸(A)尸(8/A)

全概率公式:ii

i=\

屮⑷屮

逆概率公式:(Z=1,2,...,71)

(注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗(yàn)可看成分為兩步做,如果要求第二步某事

件的概率,就用全概率公式:如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率,就

用逆概率公式。)

§1.5獨(dú)立試驗(yàn)概型

事件的獨(dú)立性:ん與8相互獨(dú)立"〇SB)=PWP(B)

貝努里公式＜n重貝努里試驗(yàn)概率計(jì)算公式d課本P24

另兩個(gè)解題中常用的結(jié)論ーー

7rズTT7?

1、定理:有四對(duì)事件:A與B、A與ハ、れ與B、れ與°,如果其中有一對(duì)相互

獨(dú)立,則其余三對(duì)也相互獨(dú)立。

2、公式.P(Aしんu...uA)=1-P(A-A'...-A)

12n12〃

第二章隨機(jī)變量及其分布

2

ー、關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布問題

1、求分布列:⑴確定各種事件,記為g寫成一行;

⑵計(jì)算各種事件概率,記為Pk寫成第二行。得到的表即為所求的分布列。注意:應(yīng)

符合性質(zhì)一!、「ルと°(非負(fù)性)2、zムー1(可加性和規(guī)范性)

補(bǔ)例1:將一顆骰子連擲2次,以&表示兩次所得結(jié)果之和,試寫出4的概率分布。解:Q所

含樣本點(diǎn)數(shù):6X6=36

所求分布列為:

23456789101112

用列2：4y聊「⑵夾下即新開3625/364,6/3第怖飢14a6只,31/W/j20￠!:;1/36

心中:

京大號(hào)碼1試寫!:に的概る?yún)畏植肌?/p>

:3

解:3カ肯杵不忘雙:5二"

所求分，IIJツリノッ:

345

2、求分布函數(shù)F(x)：

分布函數(shù)Pk1/103/106/10

1

力(Xj=，セ<X)=とP

k

暗X

二、關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布問題：

x

VXGR,如果隨機(jī)變量g的分布函數(shù)F(x)可寫成F(x)=I4>(x)dx,則自為連

-00

續(xù)型。0(“)稱概率密度函數(shù)。

*(x)>0

解題中應(yīng)該知道的幾個(gè)關(guān)系式:

J/(x)dx=l

P{a<^<b]=P{a<^<b}=F(b)-F{a}=Jh^{x}dx

a

第三章隨機(jī)變量數(shù)字特征

3

ー、求離散型隨機(jī)變量&的數(shù)學(xué)期望E&=?

數(shù)學(xué)期望（均值）

Ew二2xp

kk

k

二、設(shè)&為隨機(jī)變量,f（x）是普通實(shí)函數(shù),則n=f（q）也是隨機(jī)變量，求En=?

x.X）Xk

PkP,p?Pk

n=f(O

y.ルyk

以上計(jì)算只要求這種離散型的。

補(bǔ)例1:設(shè)g的概率分布為:_

-10125

2

11133

pk

5ToToToTo

求:⑴り=[T,り=02的概率分布;⑵En。

解:因?yàn)?/p>

g-i0125

2

Pk11133

510101010

n=1—1-2-1013

2

n=12101425

T

所以，所求分布列為:

n=&-i-2-1013

2

Pk11133

510101010

和:

n畛101425

T

Pk11133

5ToToToTo

當(dāng)n=&—1時(shí),En=E(&-1)

111333

=-2X+(-l)X+0X+1X+X

5101010210

=1/4

,1113253

當(dāng)n=つ時(shí)L,En=E￡2=ix-+ox-+1x一+4X—+—x一

ゝf5101010410

=27/8

4

三、求&或n的方差D&=?Dn=?

實(shí)用公式英=虎2一歩1

其中,，2ゝ(&)2=(Zxkpj2

k

Eg2厶％2P

=kk

k

補(bǔ)例2:

匕-202

Pk0.4().30.3

求:E1和D&

E&

解:ラ=-2X0.4+0X0.3+2X0.3=-0.2

n2=(-2)2X0.4+02X0.3+22X0.3=2.8

=2.8—(—0.2)2=2.76

第四章幾種重要的分布

常用分布的均值與方差(同志們解題必備速査表)

參數(shù)

名稱概率分布或密度期望方差

范圍

=k}=Ckpkqn-k

二項(xiàng)分nO<P<1

npnpq

布(k=0,1,2,...,H)q=i—p

1(AT)?

q)(x)=_________-e2Q2,

ロ?0

正態(tài)分U任意

Ua2

布

%e(-8,+8).0,卩為常數(shù).0>0

泊松分

不要求XXx>o

布

5

指數(shù)分

不要求x>o

布11

九Ti

解題中經(jīng)常需要運(yùn)用的E&和D&的性質(zhì)（同志們解題必備速查表）

E4的性質(zhì)D&的性質(zhì)

E(c)=cZ)(c)=0

若一川獨(dú)立,則

E色±T|)=E^±Ev\

O6±r|)=D^+Dr\

若匕、n獨(dú)立,則—

￡新）=反?期

E(&)=c超。（比）=，。自

第五章參數(shù)估計(jì)

§8.1估計(jì)量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)（以下可作填空或選擇）

⑴若總體參數(shù)e的估計(jì)量為0,如果對(duì)任給的eメ）,有

limP{g_0<8}=10

Ir1,則稱。是9的一致估計(jì);

⑵如果滿足E⑥）=e,則稱。是e的無偏估計(jì);

ハー0ハ人人rf

⑶如果。1和"2均是〇的無偏估計(jì),若0?P<O?2），則稱。1是比,2有效的估

計(jì)量。

§83區(qū)間估計(jì):

幾個(gè)術(shù)語----

1、設(shè)總體分布含有一位置參數(shù),若由樣本算得的ー個(gè)統(tǒng)計(jì)量。1（ヽ…”人”）及

。メズ］,…，X”）,對(duì)于給定的a（0<a<D滿足:

6

尸｛0（%,…，x）＜9＜0（X,...,x）｝=l-a

11n21n

則稱隨機(jī)區(qū)間（ゝ,02）是的1。。。ー。）％的置信區(qū)間,1和2稱為的100

（l-a）%的置信下、上限,百分?jǐn)?shù)100（l-a）%稱為置信度。

ー、求總體期望（均值）Eあ的置信區(qū)間

1、總體方差。2已知的類型

①據(jù)a,得①0（リ」=1ーラ，反查表（課本P260表）得臨界值。a；

-1メエTTG

②Ti③求のリ。,/④置信區(qū)間（％-d,%+d）

補(bǔ)簡(jiǎn)例:設(shè)總體X~N（H,0.09）隨機(jī)取4個(gè)樣本其觀測(cè)值為12.6,13.4,12.8,13.2,

求總體均值u的95%的置信區(qū)間。

解:①?；l-a=0.95,a=0.05

a

???中（U）=1--=0.975,反查表得:U=1.96

。2。

14I

②丫=_プX=_(12.6+13.4+12.8+13.2)=13

/=1

③;。=0.3,n=4??卡4?就」.Xス也29

④所以,總體均值U的a=0.05的置信區(qū)間為:

(x-d,X+d)=(13-0.29,13+0.29)即(12.71,13.29)

2、總體方差02未知的類型（這種類型十分重要!務(wù)必掌握!?。?/p>

①據(jù)a和自由度n—1（n為樣本容量）,查表（課本P262表）得（（"一D;

1ゴ!?

②確定凜二萬Xi和§2==ぼーう”

S——

③求d=%（〃ー1＞赤④置信區(qū)間（％-d,"+d）

注：無特別聲明,一般可保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，下同。

二、求總體方差。2的置信區(qū)間

①據(jù)a和自由度n—1（n為樣本數(shù)）,查表得臨界值：

7

x2(n-1)%2(n-1)

a和?a

~1---

22

1z"1

②確定アニス"Z和?2=：;;5_7^(X-X)2

1=1i=[

(〃ー1)S2(れー1)S2

③上限％2（7l-l）下限X2(72-1)

a

1--

2

④置信區(qū)間（下限,上限）

典型例題:

補(bǔ)例1:課本P166之16已知某種木材橫紋抗壓カ的實(shí)驗(yàn)值服從正態(tài)分布,對(duì)10個(gè)試件

作橫紋抗壓カ試驗(yàn)得數(shù)據(jù)如下（單位:kg/cm2）：

482493457471510

446435418394469

試對(duì)該木材橫紋抗壓カ的方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（0=0.04）。

解:①???a=0.04,又n=10,自由度n—1=9

2("1)

X2(9)

???查表得,a0.02=19.7

2

曾〃T)-3

②院丄以=—(482+493+...+469)=457.5

10-10

/=1

S2=1Z(X-X)2=1[(457.5—482”+(457.5-493)2+…+(457.5-469)2]

9i9

=1240.28

(れー1)S29s29x1240.28

③上限％2(れー1)一二.2⑼=233=4412.06

1一巴0.98

2

(れー1)S29s29x1240.28

下限％2(Z2-1)=,2⑼=1977=566.63

aル0.02'

2

④所以,所求該批木材橫紋抗壓カ的方差的置信區(qū)間為(566.63,4412.06)

第六章假設(shè)檢驗(yàn)

必須熟練掌握ー個(gè)正態(tài)總體假設(shè)檢驗(yàn)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)

一般思路:

8

a

1、提出待檢假設(shè)即、選擇統(tǒng)計(jì)量3、據(jù)檢驗(yàn)水平,確定臨界值4、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的

值5、作出判斷

檢驗(yàn)類型⑵:未知方差。2,檢驗(yàn)總體期望（均值）口

①根據(jù)題設(shè)條件,提出サ日=卩（）（日〇已知）；

又一卩

②選擇統(tǒng)計(jì)量1I=

③據(jù)a和自由度n-l（n為樣本容量）,查表（課本P262表）得し（〃ー。;④由樣本值算

岀マ=?和5=?從而得到|リ|二

‘若（ルー1）,則接受Z/

<101a0

⑤作出判斷］若［T|>［5-1）,則拒絕H

1Iola0

典型例題:

對(duì)一批新的某種液體的存貯罐進(jìn)行耐裂試驗(yàn)，抽查5個(gè)，得到爆破壓カ的數(shù)據(jù)（公斤寸2）

為:545,545,530,550,545。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)爆破壓認(rèn)為是服從正態(tài)分布的,而過去該種液體

存貯罐的平均爆破壓カ為549公斤八f2,問這種新罐的爆破壓與過去有無顯著差異?（a

=0.05）解:サ日=549選擇統(tǒng)計(jì)量『ド|ノマ~一D

：a=0.05,n—1=4,.??查表得:OO§（*=2.776又=（（545+...+545）=543

ー卩

S2=1[(545-545)2+...+(543-545”]=57.陽=X543-549

40s7n,57.5/J5=1.'77'<2.776

???接受假設(shè),即認(rèn)為該批新罐得平均保爆破壓與過去的無顯著差異。

檢驗(yàn)類型⑶:未知期望（均值）N,檢驗(yàn)總體方差。2

（n-1）-52

①根據(jù)題設(shè)條件，提出へ:。=〇〇（〇〇已知）；②選擇統(tǒng)計(jì)量為2（〃ー1）=———

X2（〃ー］

③據(jù)a和自由度n—1（n為樣本容量）,查表（課本P264表）得臨界值:a

9

(n-1)-52

④由樣本值算出マ=?和s=?從而得到為(；(れ一D二

02

X2(n—1)/i\%2(n—1)

⑤若ペノ(為0295M—1)くaノ則接受假設(shè),否則拒絕!

~22

補(bǔ)例:某廠生產(chǎn)銅絲的折斷力在正常情況下服從正態(tài)分布,折斷カ方差b2=64)今從ー批

產(chǎn)品中抽10根作折斷カ試驗(yàn),試驗(yàn)結(jié)果(單位:公斤)：578,572,570,568,572,570,

572,596,584,570。是否可相信這批銅絲折斷力的方差也是64?(a=0.05)

a

解：H0：=64

,ハ(〃T>S2

選擇統(tǒng)計(jì)量X2(〃-1)=———

Va=0.05,n-l=9,.??查表得：

X2(H-1)為2(9)%2("—I)X2(9)

I—

又,:

T=[(578+...+570)=575.2S3=：[(575.2—578)2+…+(575.2-57()”]=75.73

1Uソ

x2(?-1)=~'—=10.65X2(9)=27〈算2(?-1)=10.65<

X2(9)]Q

0.025T9

.??接受假設(shè)，即認(rèn)為這批銅絲折斷力的方差也是64。

第1章隨機(jī)事件及其概率

JYl)

P"=-——從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。

(m-n)\

(1)排列

組合公式

Cn—從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。

m及!(ルー〃)！

加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n

某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成,第二種方法可由n

(2)加法

種方法來完成,則這件事可由m+n種方法來完成。

和乘法原

乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mXn

理

某件事由兩個(gè)步驟來完成,第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n

種方法來完成,則這件事可由mXn種方法來完成。

(3)ー些重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)

常見排列對(duì)立事件(至少有一個(gè))

10

順序問題

如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行,而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止ー個(gè),

(4)隨機(jī)

但在進(jìn)行ー次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果,則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試

試驗(yàn)和隨

驗(yàn)。

機(jī)事件

試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。

在ー個(gè)試驗(yàn)下,不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣ー組事件,它具有

如下性質(zhì):

①每進(jìn)行ー次試驗(yàn),必須發(fā)生且只能發(fā)生這ー組中的一個(gè)事件;

②任何事件,都是由這ー組中的部分事件組成的。

(5)基本

這樣ー組事件中的每ー個(gè)事件稱為基本事件，用03來表示。

事件、樣本

基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用。表示。

空間和事

ー個(gè)事件就是由。中的部分點(diǎn)(基本事件⑴)組成的集合。通常用大寫字母

件

A,B,C,…表示事件,它們是。的子集。

。為必然事件,0為不可能事件。

不可能事件(0)的概率為零,而概率為零的事件不一定是不可能事件;同理，

必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。

①關(guān)系:

如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分,(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：

AuB

如果同時(shí)有AUB,BつA,則稱事件A與事件B等價(jià),或稱A等于B：A=B。

A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件:AUB,或者A+B。

屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件,稱為A與B的差,記為A-B,也可表

示為A-AB或者A月,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。

(6)事件A、B同時(shí)發(fā)生:AnB,或者AB。A「B=0,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生,稱

的關(guān)系與

事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

運(yùn)算

。ーA稱為事件A的逆事件,或稱A的對(duì)立事件,記為ん。它表示A不發(fā)生

的事件?；コ馕幢貙?duì)立。

②運(yùn)算:

結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)D(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

可______________________________

德摩根率:川1AUB=AQS,AQB=AUB

設(shè)。為樣本空間,A為事件,對(duì)每ー個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若滿

足下列三個(gè)條件:

1°OWP(A)W1,

(7)概率2°P(Q)=1

的公理化3°對(duì)于兩兩互不相容的事件A],ん2,…有

定義

「斷,卜エP(A)

常前’扁可列(完全)可加性。

11

則稱P(A)為事件A的概率。

1°C=to,3…3),

12n

2°P((0)=P(CO)=???P(CO)=,。

12?n

(8)古典設(shè)任一事件月,它是由31,3，…3,“組成的,則有

概型P(A)=%>)U(S)U…U(3)}=ス(8)+尸(①)+???+P((￡>)

12tn12tn

_m_A所包含的基本事件數(shù)

7基本事件總數(shù)

若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻,同時(shí)樣本空

間中的每ー個(gè)基本事件可以使用ー個(gè)有界區(qū)域來描述,則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何

(9)幾何概型。對(duì)任一事件A,

概型

P(A)=Xう。其中L為幾何度量(長(zhǎng)度、面積、體積)。

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(10)加法

當(dāng)AB不相容P(AB)=0時(shí),P(A+B)=P(A)+P(B)

公式

當(dāng)AB獨(dú)立,P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)減法當(dāng)BuA時(shí),P(A-B)=P(A)-P(B)

公式

當(dāng)A=Q時(shí),P(萬)=1-P(B)

定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,則稱學(xué)建為事件A發(fā)生條件下,事

(12)條件件B發(fā)生的條件概率,記為P(B/A)=g^黑。

概率P(A)

條件概率是概率的ー種,所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。

例如P(C/B)=1=P(萬/A)=1-P(B/A)

乘法公式:P(A5)=P(4)P(8/A)

(13)乘法更一般地,對(duì)事件A,A,…A,若P(AA…A)>0,則有

P(AA?...ん)=(ス丨んア巴1スム)……P(ん1んム...

公式

4一)。

①兩個(gè)事件的獨(dú)立性

設(shè)事件A、8滿足「(AB)=P(A)P(B),則稱事件AヽB是相互獨(dú)立的。

若事件A、8相互獨(dú)立，且則有

P⑻A)=ゆ竺2=3型ド⑹

(14)獨(dú)立P(A)P(A)

性

若事件A、8相互獨(dú)立，則可得到A與8、A與B、ス與萬也都相互

獨(dú)立。

必然事件〇和不可能事件0與任何事件都相互獨(dú)立。

0與任何事件都互斥。

②多個(gè)事件的獨(dú)立性

12

設(shè)ABC是三個(gè)事件,如果滿足兩兩獨(dú)立的條件,

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互獨(dú)立。

對(duì)于n個(gè)事件類似。

設(shè)事件4,約,…,紇滿足

1°8*2「ー,紇兩兩互不相容,「(り)>°。=1,2「ー,〃)，

AuじB.

(15)全概2°J,

公式則有

P(A)=P(Bt)P(A1Bt)+P(B2)P(AI嗎)+…+P(Bn)P(A1紇).

全概率公式解決的是多個(gè)原因造成的結(jié)果問題,全概率公式的題型:將試驗(yàn)

可看成分為兩步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;

設(shè)事件。,與,...,紇及A滿足

1°約,…，%兩兩互不相容,「(團(tuán))>o,i=1,2,…，”，

AuピB.

o'P(A)>0

9ムi=l，，

則

c/c,ハP(B)P(A/B)

(16)貝葉P(B/A)=-----i--------1—,i=l,2,-no

￡P(guān)(B)P(A/B)

斯公式JJ

此公式即為貝’ふ斯公式。

P(及)，“=1,2,...,〃),通常叫先驗(yàn)概率。P(B./A),(‘=1,2,...,

11

〃),通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了

“由果朔因”的推斷。將試驗(yàn)可看成分為兩步做,如果求在第二步某事件發(fā)

生條件下第一步某事件的概率,就用貝葉斯公式。

我們作了〃次試驗(yàn),且滿足

?每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果,A發(fā)生或A不發(fā)生;

?〃次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的,即ん發(fā)生的概率每次均ー樣:

?每次試驗(yàn)是獨(dú)立的,即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)厶發(fā)生與

否是互不影響的。

(17)伯努這種試驗(yàn)稱為伯努利概型,或稱為〃重伯努利試驗(yàn)。

利概型

用”表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率,則A發(fā)生的概率為1ー〃=用り,伏)表

示"重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)ん(°"""")次的概率，

P“(k)=C"qメん=0,1,2,…,〃

n，°

13

第二章隨機(jī)變量及其分布

(1)離散設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為Xk(k=l,2,…)且取各個(gè)值的概率,即事

型隨機(jī)變件(X=Xノ的概率為

量的分布P(X=xk)=pk，k=l,2,???,

則稱上式あ離散型隨機(jī)變量x的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形

律

式給出:

x1xpそ」?、スド…

P(X=xjP|，P2,…,Pド…。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件:(1)P?N°,

-1

左二12…⑶￡ムP

，Jt=!0

(2)連續(xù)設(shè)"X)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),若存在非負(fù)函數(shù)/(X),對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有

型隨機(jī)變ド(X)=pf(x)dx

量的分布

-009

密度則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。八X)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù),簡(jiǎn)稱概

率密度。

"ハ〉0J+"(x)dx=l

密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì):1、ハわ2。。2、やノ〇

3、P(尤<X<x)=F(x)-F(x)=fr2f(x)dx

1221

vi

4、P(メニa)=0n為常數(shù),連續(xù)型隨機(jī)變量取個(gè)別值的概率為〇

(3)離散

P(X=x)?P(x<X<x+dx)?f(x)dx

與連續(xù)型

隨機(jī)變量積分元/(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與尸(X=ム)二P*在離散

的關(guān)系

型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。

14

(4)分布設(shè)X為隨機(jī)變量,X是任意實(shí)數(shù),則函數(shù)

函數(shù)

ド(x)=P(X<x)

稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),本質(zhì)上是ー個(gè)累積函數(shù)。

P(a<X<b)=F(b)-F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間3,切的概率。分布函

數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-8,x］內(nèi)的概率。

分布函數(shù)具有如下性質(zhì):

1°0<F(x)<1,一00cx<+oo；

2°F(x)是單調(diào)不減的函數(shù),即/<ム時(shí),有F(x,)<F(X2)；

3°F(-oo)=limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1；

X->-00X->4OO

4°F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的;

5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)o

對(duì)于離散型隨機(jī)變量,ド(x)=ZP；

k

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,ド(X)=/fMdx。

-00

(5)八大0-1分布P(X=l)=p,P(X=O)=q

分布二項(xiàng)分布

在〃重貝努里試驗(yàn)中,設(shè)事件ん發(fā)生的概率為P。事件A發(fā)生的次

數(shù)是隨機(jī)變量,設(shè)為X,則X可能取值為0,1,2,…,〃.

P(X=k)=P“(k)=Ckpkqn-k,其中

qp,Q<p<{,k-0,1,2,???,?,

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為”,P的二項(xiàng)分布。記為X~B(n,p)。

當(dāng)〃=1時(shí),P(X=k)=p