高中數(shù)學(xué)第七章三角函數(shù)7.3三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象7.3.5已知三角函數(shù)值求角學(xué)案新人教B版必修第三冊(cè)

7．3.5已知三角函數(shù)值求角【課程標(biāo)準(zhǔn)】會(huì)利用已知的三角函數(shù)值求相應(yīng)的角．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一已知正弦值，利用正弦線或者正弦曲線求角．知識(shí)點(diǎn)二已知余弦值，利用余弦線或者余弦曲線求角．知識(shí)點(diǎn)三已知正切值，利用正切線或者正切曲線求角．基礎(chǔ)自測(cè)1．已知cosx＝－22，π＜x＜2π，則x＝(A．3π2B．5π4C．42．已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＝32，則α＝(A．π6 B．C．π6或5π6 D．3．已知tan2x＝－33且x∈[0，π]，則x＝________4．若cosx＝cosπ7，求x課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1已知正弦值求角例1已知sinx＝32.(1)當(dāng)x∈[－π2，π2(2)當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求x的取值集合；(3)當(dāng)x∈R時(shí)，求x的取值集合；(4)求不等式sinx<－12利用三角函數(shù)線、圖象結(jié)合周期性求解集．方法歸納(1)給值求角問(wèn)題，由于范圍不同，所得的角可能不同，一定要注意范圍條件的約束作用．(2)對(duì)于已知正弦值求角有如下規(guī)律：sinx＝a(－1≤a≤1)，當(dāng)x∈R時(shí)，可先求得[0，2π]內(nèi)的所有解α，π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋π3)(ω>0)的最小正周期為π，則方程f(x)＝1在(0，π]上的解集為(2)求不等式sinx>－22題型2已知余弦值求角例2(1)已知cosx＝－12①當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求x的值；②當(dāng)x∈R時(shí)，求x的取值集合．(2)已知cos(2x－π3)＝32，求(3)求不等式cos(12x＋π6)>－狀元隨筆(1)(2)利用余弦線、圖象求值．(3)先求出相等時(shí)的x值，再寫(xiě)出滿足不等式的x的范圍．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知cosx＝－22且x∈[0，2π)，求x(2)求不等式2cos(2x＋π6)－2<0方法歸納cosx＝a(－1≤a≤1)，當(dāng)x∈R時(shí)，可先求得[0，2π]內(nèi)的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．題型3已知正切值求角例3(1)已知tanα＝1.①若α∈(－π2，π2②若α∈R，求角α.(2)已知f(x)＝tan(3x－π6)，求使f(x)≤－33成立的狀元隨筆利用正切線或圖象求值，先求x的范圍，再根據(jù)周期寫(xiě)解集．方法歸納(1)已知角的正切值求角，可先求出(－π2，π2)內(nèi)的角α，再由y(2)tanx＝a，a∈R的解集為{x|x＝kπ＋α，k∈Z}．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知tanx＝－1，寫(xiě)出在區(qū)間[－2π，0]內(nèi)滿足條件的x.(2)當(dāng)0<x<π時(shí)，使tanx<－1成立的x的取值范圍為_(kāi)_______.(3)函數(shù)y＝1＋tan(2x－π6)在區(qū)間(－π，π)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7．3.5已知三角函數(shù)值求角新知初探·自主學(xué)習(xí)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：因?yàn)閤∈(π，2π)且cosx＝－22，∴x＝5答案：B2．解析：因?yàn)棣潦侨切蔚膬?nèi)角，所以α∈(0，π)，當(dāng)sinα＝32時(shí)，α＝π3或2答案：D3．解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].∵tan2x＝－33，∴2x＝5π6或2x∴x＝5π12或答案：5π124．解析：在同一個(gè)周期[－π，π]內(nèi)，滿足cosx＝cosπ7的角有兩個(gè)：π7和－又y＝cosx的周期為2π，所以滿足cosx＝cosπ7的x為2kπ±π7(k∈Z課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)∵y＝sinx在[－π2，π2]上是增函數(shù)，且sinπ3＝32，∴x＝π(2)∵sinx＝32＞0，∴x為第一或第二象限的角，且sinπ3＝sin(π－π3)∴在[0，2π]上符合條件的角有x＝π3或x＝2∴x的取值集合為{π3，(3)當(dāng)x∈R時(shí)，x的取值集合為{x|x＝2kπ＋π3，或x＝2kπ＋2π3，k∈(4)方法一由sinx＝－12<0可知，角x對(duì)應(yīng)的正弦線方向朝下，而且長(zhǎng)度為1可知角x的終邊可能是OP，也可能是OP′.又因?yàn)閟in(－5π6)＝sin(－π6)所以x＝－5π6＋2kπ或x＝－π6＋2kπ，k如果x終邊在∠POP′中，則有sinx<－12所以－5π6＋2kπ<x<－π6＋2kπ，k所以不等式的解集為{x|－5π6＋2kπ<x<－π6＋2kπ，k∈方法二因?yàn)閟inx＝－12如圖所示，由正弦函數(shù)的圖象，知在[－2π，0]內(nèi)，sin(－5π6)＝sin(－π6)所以x＝－5π6＋2kπ或x＝－π6＋2kπ，k所以－5π6＋2kπ<x<－π6＋2kπ，k所以不等式的解集為{x|－5π6＋2kπ<x<－π6＋2kπ，k∈跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)由題意可得：2πω＝π，解得ω＝所以f(x)＝2sin(2x＋π3)＝1，可得sin(2x＋π3)＝因?yàn)閤∈(0，π]，所以2x＋π3∈(π3所以2x＋π3＝5π6或13π6，即x(2)當(dāng)sinx＝－22x＝5π4＋2kπ或x＝－π4＋2kπ，k所以－π4＋2kπ<x<5π4＋2kπ，k所以不等式的解集為{x|－π4＋2kπ<x<5π4＋2kπ，k∈答案：(1){π4，11π例2【解析】(1)①∵cosx＝－12且x∈[0，π]，∴x＝2②當(dāng)x∈R時(shí)，先求出x在[0，2π]上的解．∵cosx＝－12，故x所以，由余弦函數(shù)的周期性知，當(dāng)x＝2π3＋2kx＝2kπ－2π3(k∈Zcosx＝－12，即所求x{x|x＝2π3＋2kπ或x＝2kπ－2π3(k(2)由cos(2x－π3)＝32>0，知角2x－π3如圖所示，可知角2x－π3的終邊可能是OP，也可能是OP又因?yàn)閏osπ6＝cos(－π6)＝所以2x－π3＝－π6＋2kπ或2x－π3＝π6＋2kπ，所以x＝π12＋kπ或x＝π4＋kπ，k∈(3)如圖所示，在[－π，π]上，x2+π6＝－3πcos(x2+π6所以x2+π6＝－3π4＋2kπ或x2+π6＝3π4＋2k令－3π4＋2kπ<x2+π6<3π4＋解得－11π6＋4kπ<x<7π6＋4kπ，所以不等式的解集為{x|－11π6＋4kπ<x<7π6＋4kπ，k跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)由于余弦函數(shù)值是負(fù)值且不為－1，所以x是第二或第三象限的角，由cos(π－π4)＝－cosπ4＝－22，所以在區(qū)間[0，2π)內(nèi)符合條件的第二象限的角是x＝π－π4＝3π4.又cos(π4＋π)＝－cosπ4＝－22，所以在區(qū)間[0，2π)故所求角的集合為{3π4(2)不等式變?yōu)閏os(2x＋π6)<2則π4＋2kπ<2x＋π6<7π4＋2kπ，解得π24＋kπ<x<19π24＋kπ，k所以不等式的解集為{x|π24＋kπ<x<19π24＋kπ，k∈例3【解析】(1)①由正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(－π2，π2)上是增函數(shù)可知，符合條件tanα＝1的角只有一個(gè)，即②α＝kπ＋π4(k∈Z)(2)方法一令t＝3x－π6，作出函數(shù)y＝tant則－π2＋kπ<t≤－π6＋kπ，k∈即－π2＋kπ<3x－π6≤－π6＋kπ，k解得－π9+kπ3<x≤k所以不等式tan(3x－π6)≤－3(－π9+kπ3，方法二因?yàn)閠an(3x－π6)＝－33<0，令t＝3x－所以角3x－π6對(duì)應(yīng)的正切線方向朝下，而且長(zhǎng)度為3如圖所示，可知3x－π6的終邊可能是OT，也可能是OT′因?yàn)閠an(－π6)＝tan5π6即－π2＋kπ<3x－π6≤－π6＋kπ，k解得－π9+kπ3<x≤k所以不等式tan(3x－π6)≤－3(－π9+kπ3，跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)∵tanx＝－1＜0，∴x是第二或第四象限的角．由tan(－π4)＝－tanπ4＝－所求符合條件的第四象限角為x＝－π4又由tan(－5π4)＝－tanπ4得所求符合條件的第二象限角為x＝－5π∴在[－2π，0]內(nèi)滿足條件的角是－π4與－5(2)由正切函數(shù)的圖象知，當(dāng)0<x<π時(shí)，若tanx<－1，則π2<x<