高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.4平面向量的應用6.4.3余弦定理正弦定理第4課時余弦定理正弦定理綜合問題學案新人教A版必修第二冊

第4課時余弦定理、正弦定理綜合問題課程標準1.掌握三角形的面積公式．2．利用面積公式，正、余弦定理及三角函數(shù)公式求解綜合問題．新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點三角形的面積公式1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積公式為(1)S＝__________＝__________＝__________；(2)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c2．△ABC中的常用結(jié)論(1)A＋B＋C＝______，sin(A＋B)＝______，cos(A＋B)＝______；(2)大邊對大角，即a>b?A>B?sinA>sinB；(3)任意兩邊之和______第三邊，任意兩邊之差______第三邊．夯實雙基1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)公式S＝12absinC適合求任意三角形的面積．((2)三角形中已知三邊無法求其面積．()(3)在三角形中已知兩邊和一角就能求三角形的面積．()(4)在△ABC中，A>B?cosA>cosB．()2．在△ABC中，若AB＝1，AC＝2，A＝π4，則S△ABC的值為(A．2B．2C．1D．13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a＝1，C＝45°，△ABC的面積為2，則b＝()A．22B．4C．42D．434．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC的外接圓的半徑為3，則a＝________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1三角形面積的計算例1[2022·福建三明高一期末]在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且3b＝2csinB.(1)求角C的大?。?2)若c＝6，且a＋b＝3，求△ABC的面積．題后師說1．求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，轉(zhuǎn)化為求兩邊及其夾角的正弦問題，要注意方程思想在解題中的應用．2．余弦定理中，要注意對完全平方公式的應用．鞏固訓練1已知a、b、c分別為△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面積為3，求b、c.題型2三角形面積的最值問題例2[2022·廣東肇慶高一期末]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB＝c(sinA－sinC)．(1)求B；(2)若b＝3，求△ABC面積的最大值．題后師說求三角形面積最值的方法鞏固訓練2[2022·河北唐山高一期末]△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3csinA＋ccosA＝a＋b.(1)求C；(2)若D為AB的中點，CD＝1，求△ABC面積的最大值．題型3余弦、正弦定理在平面幾何中的應用例3[2022·山東濱州高一期末]如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，AD＝22，△ABC的面積為3.(1)求AC；(2)求∠ACD.題后師說在平面幾何中求邊、求角，通常思路是先找所求的邊、角所在的三角形，再在三角形中通過余弦、正弦定理求邊和角．鞏固訓練3[2022·河北滄州高一期中]如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，B＝π6，點D在邊BC上，且cos∠ADB＝－6(1)求AD；(2)求△ACD的面積．第4課時余弦定理、正弦定理綜合問題新知初探·課前預習[教材要點]要點1．(1)12absinC12acsinB122．(1)180°sinC－cosC(3)大于小于[夯實雙基]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：S△ABC＝12AB·ACsinA＝22×答案：D3．解析：由題可知，12absinC＝2?12×1·b·22＝2?b＝42答案：C4．解析：由S△ABC＝5，有12bcsinA＝12×20×sinA＝5?sinA＝再由正弦定理有asinA＝2×3，即a＝12×2×答案：3題型探究·課堂解透例1解析：(1)因為3b＝2csinB，所以由正弦定理得3sinB＝2sinCsinB，因為sinB≠0，則sinC＝32，又因為C是銳角，故C＝(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos60°，所以6＝(a＋b)2－3ab＝9－3ab，又因為a＋b＝3，所以ab＝1，則S△ABC＝12absinC＝3鞏固訓練1解析：(1)由正弦定理得：sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0，又A＋C＝π－B，則sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA，則sinAcosC＋3sinAsinC－sinAcosC－sinCcosA－sinC＝0，整理得3sinAsinC－sinCcosA－sinC＝0，又sinC≠0，故3sinA－cosA＝1，即2sinA-π6＝1，sinA-π6＝12，又0<(2)S△ABC＝12bcsinA＝34bc＝3，故bc＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosπ3，即4＝b2＋c2則b2＋c2＝8，(b－c)2＝b2＋c2－2bc＝0，故b＝c＝2.例2解析：(1)由正弦定理，得a2－b2＝ac－c2，所以cosB＝a2+c2-b22ac故B＝π3(2)方法1：由余弦定理得3＝b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac≥ac，當a＝c＝3時等號成立，又S△ABC＝12acsinB＝34ac≤334，所以△方法2：由正弦定理，得asinA＝csinC＝所以a＝2sinA，c＝2sinC，S△ABC＝12acsinB＝34ac＝3sinAsin又A＋C＝2π3，所以C＝2π所以S△ABC＝3sinAsin2＝3(32sinAcosA＋12＝3(34sin2A－14cos2＝31當A＝π3時，△ABC的面積最大，最大值為3鞏固訓練2解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得3sinCsinA＋sinCcosA＝sinA＋sinB，而sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，則3sinCsinA＝sinA＋sinAcosC，又sinA>0，3sinC＝1＋cosC，(1＋cosC)2＝3sin2C＝3(1＋cosC)(1－cosC)，由0<C<π知，－1<cosC<1，于是得cosC＝12，解得C＝π所以C＝π3(2)因D為AB的中點，即有2CD＝CB+CA，則4CD2＝CB2＋CA2＋2CBCAcos因此4＝a2＋b2＋ab≥3ab，即ab≤43，當且僅當a＝b＝2△ABC的面積S＝12absinC＝34ab≤所以△ABC的面積的最大值為33例3解析：(1)因為△ABC的面積為3，所以12AB·BCsinB＝3.又因為B＝120°，AB＝2，所以BC＝2.由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，AC2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，所以AC＝23(2)因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，且B＝120°，所以D＝60°.又AD＝22，由正弦定理可得，ADsin∠ACD＝ACsinD，故sin∠ACD＝ADsinDAC＝22sin60°23＝22鞏固訓