多邊形課件青島版數(shù)學(xué)七年級下冊

第13章平面圖形的認(rèn)識青島版七年級下冊13.2多邊形觀察與思考觀察下圖，你能說出這些圖形有什么共同特征嗎?平面內(nèi)，若干條線段首尾順次相接，且有公共端點(diǎn)的線段不在同一條直線上，這樣得到的圖形叫做多邊形.

組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊，它們的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)，相鄰兩條邊所組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角.一個(gè)多邊形有四條邊，叫做四邊形；

有五條邊，叫做五邊形；一般地，有n條邊，叫做n邊形(n是大于2的整數(shù)).觀察上圖，思考下面的問題：(1)把圖中四邊形、五邊形和六邊形的頂點(diǎn)分別用字母表示出來，然后分別讀出這些多邊形，說出這些多邊形的每條邊和每個(gè)角；三邊形習(xí)慣上叫做三角形，它是邊數(shù)最少的多邊形.(2)對于一個(gè)n邊形來說，它的邊數(shù)、頂點(diǎn)個(gè)數(shù)和角的個(gè)數(shù)分別是多少?(3)分別連接圖中四邊形、五邊形、六邊形不相鄰的任意兩個(gè)頂點(diǎn)，得到哪些線段?連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.對角線(4)數(shù)一數(shù)，四邊形一共有幾條對角線?五邊形呢?六邊形呢?分別度量圖中每個(gè)多邊形的邊和角，你發(fā)現(xiàn)它們具有什么特點(diǎn)?各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.正三角形(等邊三角形)正方形(正四邊形)正五邊形正六邊形正八邊形挑戰(zhàn)自我你能用若干個(gè)(個(gè)數(shù)不限)同樣大小的含45°的三角尺拼成四邊形嗎?這些四邊形內(nèi)角度數(shù)有幾種不同情況?試一試.兩個(gè)同樣大小的含45°的三角形尺能拼成一個(gè)正方形或一個(gè)平行四邊形，如下圖：正方形的四個(gè)角都是90°平行四邊形的內(nèi)角為45°和135°故拼成的四邊形內(nèi)角度數(shù)有90°、45°135°三種情況智趣園多邊形有兩類：一類是凸多邊形，它的每個(gè)內(nèi)角都小于180°例如我們認(rèn)識的三角形、平行四邊形、梯形、正多邊形都是凸多邊形；另一類是凹多邊形，它的內(nèi)角中至少有一個(gè)大于180°.錦旗如圖是一面錦旗的圖片，它是一個(gè)凹五邊形.你能找出它的哪個(gè)內(nèi)角大于180°嗎?

五角星形是凹多邊形嗎?

你能分別畫出一個(gè)凹四邊形和凹六邊形嗎?試試看.錦旗練習(xí)1.舉出生活中多邊形的實(shí)例.多邊形：由三條或三條以上的線段首尾順次連接所組成的平面圖形.生活中的多邊形有被套、餐桌、地磚等.2.圖中的多邊形是幾邊形?說出它的邊、頂點(diǎn)與內(nèi)角.略3.如圖，畫出正五邊形ABCDE的所有對角線.略實(shí)驗(yàn)與探究(1)一個(gè)正方形的內(nèi)角和是多少度?一個(gè)長方形呢?一個(gè)正方形的內(nèi)角和是360°，一個(gè)長方形的內(nèi)角和是360°；(2)在紙上任意畫出一個(gè)四邊形

ABCD.將四邊形的四個(gè)內(nèi)角剪下來，并將剪下來的各個(gè)內(nèi)角按中圖所示的方式拼在一起，你有什么發(fā)現(xiàn)?在圖中∠1，∠2，∠3，∠4有公共的頂點(diǎn)，相鄰的角有一條公共邊，它們恰好拼成了一個(gè)周角，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°(3)除了利用上面的實(shí)驗(yàn)方法外，利用三角形的內(nèi)角和的性質(zhì)，能說明四邊形的內(nèi)角和是360°嗎?為了解決問題的需要，在原來圖形上添畫的線叫做輔助線.

輔助線通常畫成虛線.小資料如圖，在一個(gè)任意的四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)O，

連接AO，BO、CO、DO，得到△OAB，△OBC，△OCD和△ODA.這四個(gè)三角形所有內(nèi)角之和為4×180°，比四邊形ABCD的內(nèi)角和多出了以O(shè)為頂點(diǎn)的四個(gè)角之和，即360°.從而，可以得出任意四邊形的內(nèi)角和等于：4×180°－360°＝360°.(4)用上面的方法，你能求出任意五邊形的內(nèi)角和嗎?(5)如果O是n邊形A1A2A3···An－1An內(nèi)的一點(diǎn)連接OA1，OA2，···，OAn－1，OAn，

你能利用△OA1A2，△OA2A3，···，△OAn－1An，△OAnA1的所有內(nèi)角的度數(shù)之和，推導(dǎo)出n邊形A1A2A3

···An－1An的內(nèi)角和嗎?與同學(xué)交流.n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°觀察與思考你還記得什么是三角形的外角嗎?三角形外角的意義可以推廣到多邊形上.多邊形一個(gè)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角，叫做多邊形的外角.任意畫出一個(gè)四邊形ABCD.思考下面的問題：(1)從四邊形ABCD的任意一個(gè)頂點(diǎn)(例如頂點(diǎn)C)處，畫四邊形的外角.

你能畫出幾個(gè)?它們具有什么位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系?(2)四邊形ABCD共有多少個(gè)外角?(3)四邊形ABCD的一個(gè)外角跟與它相鄰的內(nèi)角有什么數(shù)量關(guān)系?(4)如圖，在四邊形ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)處分別畫出它的一個(gè)外角這些外角的和是多少?你是怎樣得到這個(gè)結(jié)果的?五邊形呢?六邊形呢?四邊形ABCD的每個(gè)外角都與相鄰的內(nèi)角組成一個(gè)平角.

四邊形有4個(gè)內(nèi)角，組成的四個(gè)平角的和是4×180°.

再減去四邊形的內(nèi)角和360°，因此這4個(gè)外角的和為360°.一般地，在多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處分別取多邊形的一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.多邊形的外角和如圖所示，∠1，∠2，∠3，∠4的和就是四邊形ABCD的外角和四邊形的外角和等于360°.(5)n邊形的外角和是多少?說明你的理由.n邊形的每一個(gè)內(nèi)角跟與它相鄰的一個(gè)外角都組成一個(gè)平角，n邊形有n個(gè)內(nèi)角，所以，這些平角的和為n·180°，其中所有內(nèi)角的和為(n－2)·180°，因此n邊形的外角和為：

n·180°－(n

－2)·180°

＝n·180°－n·180°＋2×180°＝360°多邊形的外角和等于360°.挑戰(zhàn)自我任意多邊形的內(nèi)角中，最多有幾個(gè)銳角?說明理由.由于n邊形外角和為360°，則外角中至多有三個(gè)鈍角，因此n邊形內(nèi)角中最多有三個(gè)銳角.練習(xí)1.分別計(jì)算九邊形、十二邊形、二十邊形的內(nèi)角和.九邊形的內(nèi)角和為：(9－2)×180°＝1260°十二邊形的內(nèi)角和為：(12－2)×180°＝1800°二十邊形的內(nèi)角和為：(20－2)×180°＝3240°.2.求正八邊形的每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù).每個(gè)內(nèi)角為135°，每個(gè)外角為45°.習(xí)題復(fù)習(xí)與鞏固1.把n邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)與各頂點(diǎn)相連接，這些線段把n邊形分成多少個(gè)三角形?把n邊形一邊上的任意一點(diǎn)(不是頂點(diǎn))與其他邊上的各頂點(diǎn)相連接，這些線段把n邊形分成多少個(gè)三角形?把n邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)與各頂點(diǎn)相連接這些線段把n邊形分成(n－2)個(gè)三角形；把n邊形一邊上的任意一點(diǎn)(不是頂點(diǎn))與其他邊上的各頂點(diǎn)相連接這些線段把n邊形分成(n－1)個(gè)三角形.2.如果一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線把這個(gè)多邊形分成6個(gè)三角形，這個(gè)多邊形是幾邊形?設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，由題意得，n－2＝6.解答n＝8.答：這個(gè)多邊形是八邊形.3.下面的說法正確嗎?如果不正確，你能用一個(gè)例子作出說明嗎?(1)如果一個(gè)多邊形的各邊都相等，那么它是正多邊形；如果一個(gè)多邊形的各邊都相等，那么它是正多邊形，說法錯(cuò)誤，菱形的各邊都相等，但菱形不是正多邊形；(2)如果一個(gè)多邊形的所有內(nèi)角都相等，那么它是正多邊形.如果一個(gè)多邊形的所有內(nèi)角都相等，那么它是正多邊形，說法錯(cuò)誤，矩形的四個(gè)角都是直角但矩形不是正多邊形.4.正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一個(gè)內(nèi)角各是多少度?根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得：

正三角形的內(nèi)角和為：(3－2)×180°＝180°，

∴正三角形的每一個(gè)內(nèi)角為180°÷3＝60°正方形的內(nèi)角和為：(4－2)×180°＝360°，∴正方形的每一個(gè)內(nèi)角為360°÷4＝90°；正五邊形的內(nèi)角和為：(5－2)×180°＝540°，∴正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為540°÷5＝108°；正六邊形的內(nèi)角和為：(6－2)×180°＝720°，∴正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為720°÷6＝120°.5.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為2700°，求它的邊數(shù).設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n.由題意得：(n－2)×180°＝2700°解得n＝17.即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為17.6.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，這個(gè)多邊形是幾邊形?設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n.由題意得：(n－2)×180°＝360°解得n＝4.即這個(gè)多邊形是四邊形。拓展與延伸7.如圖，五角星中含有幾個(gè)五邊形?幾個(gè)四邊形?幾個(gè)三角形?把它們分別表示出來.略8.能不能找出一個(gè)多邊形，使它的每一個(gè)內(nèi)角都是與它相鄰?fù)饨堑?倍?能，這個(gè)多邊形是正八邊形.每一個(gè)外角的度數(shù)：180°÷4＝45°，360÷45＝8.這個(gè)多邊形是正八邊形探索與創(chuàng)新9.(1)四邊形ABCD中，從頂點(diǎn)A引對角線AC，將四邊形分為幾個(gè)三角形?這幾個(gè)三角形所有內(nèi)角之和與四邊形內(nèi)角之和有什么關(guān)系?由圖形可知，從頂點(diǎn)A引對角線AC，將四邊形分成2個(gè)三角形，這2個(gè)三角形所有內(nèi)角和等于四邊形內(nèi)角之和；(2)五邊形ABCDE中，過頂點(diǎn)A最多能引幾條對角線?它們將五邊形分為幾個(gè)三角形?這幾個(gè)三角形所有內(nèi)角之和與五邊形內(nèi)角之和有什么關(guān)系?五邊形ABCDE中，從頂點(diǎn)A最多能引2條對角線，它們將五邊形分成3個(gè)三角形，這3個(gè)三角形所有內(nèi)角和等于五邊形內(nèi)角之和；(3)過n邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)最多可引幾條對角線?它們將n邊形分為幾個(gè)三角形這幾個(gè)三角形所有內(nèi)角之和與n邊形內(nèi)角之和有什么關(guān)系?由此你能得出n邊形內(nèi)角之和的公式嗎?試一試.過n邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)最多可以(n－3)條對角線，它們將n邊形分為(n－2)個(gè)三角形，這(n－2)個(gè)三角形所有內(nèi)角之和等于n邊形內(nèi)角之和，由此可得出n邊形內(nèi)角之和的公式為(n－2)×180°10.四邊形的邊比三角形的邊多了一條，內(nèi)角和多了多少度?五邊形的邊比四邊形的邊多了一條，內(nèi)角和多了多少度?由此可以推測，